江西省上饶市鄱阳中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷（含解析）

江西省上饶市鄱阳县鄱阳中学2025-2026学年高一上学期开学考数学试题一、单选题1．如下图所示，（

）

A． B． C． D．2．的结果在哪两个连续整数之间（

）A．7与8 B．8与9 C．9与10 D．10与113．如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（

）A． B．C． D．4．若：，，（），则：代数式的值等于（

）A． B． C． D．5．已知是二次函数图象上的一系列点，其中，记（n为正整数），令，则S的值是（

）A． B． C． D．6．如图，正方形ABCD内接于，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q.若，则的值为（

）A． B． C． D．7．如图，BD，CE是的中线，P，Q分别是BD，CE的中点，则等于（

）A． B． C． D．8．如图，点M是正方形ABCD内一点，△MDC是等边三角形，连接AM、BM，对角线BD交CM于点N，给出下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题9．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．关于x的不等式的解集可以是B．关于x的不等式的解集可以是C．函数在上可以有两个零点D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”10．对于实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则11．如图，矩形中，，，点在对角线上，过点作，交边于点，过点作交于点，连接．下列结论正确的是（）A．B．四边形的面积不变C．当时，D．的最小值是20三、填空题12．已知，则集合的真子集的个数为___________.13．计算______．14．如图，在中，，，点在直线上，，，则的最小值为______________．四、解答题15．集合，．(1)若，求；(2)若，求实数a的取值范围．16．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面10米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.(1)求这个抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？17．已知不等式的解集为．（1）求，的值，并求不等式的解集；（2）解关于的不等式（，且）．18．在直角坐标系中，正方形的两边分别在轴、轴上，点的坐标为．(1)如图，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标．(2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点．求证：平分．(3)若，为延长线上一动点，过三点作，交于，如图．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．19．已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，，是直线上方抛物线上的两点，且．(1)求点的坐标；(2)求与之间的关系式，并直接写出的取值范围；(3)过点作轴交于点，过点作轴交于点，设四边形的周长为()．①求()与之间的函数关系式；②若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围．参考答案1．C【详解】在七边形中，其内角和为，即，因为七边形的外角和为，即，则，故选：C.

2．C【详解】，，，.故选：C.3．B【详解】当点在上时，四边形是正方形，边长为，，，，，，，，，，，，，，，，当点在上时，同理可得：，．由此可知，只有B中图象符合题意，故选：B.4．D【详解】由题意：，解得：，（），所以.故选：D.5．D【详解】由是二次函数图象上的一系列点，,所以，，，，所以故选：D6．D【详解】连接，设，在正方形中，，由，得，又，则，解得，令，则，所以.故选：D7．B【详解】取BE的中点M，连接PM，QM，DE，如图，因BD，CE是的中线，即点D，E分别为边AC，AB的中点，则，因M是BE的中点，P是BD的中点，则有，，又M是BE的中点，Q是CE的中点，则有，，因此点M，P，Q共线，所以，即.故选：B8．D【详解】对于①：是等边三角形，，四边形是正方形，，，，，同理，，故①正确；对于②：四边形是正方形，，，，，，，，，，，故②正确；对于③：过点作于，如图所示：设，在Rt中，，，，，故③正确；对于④：过作于，设，如图所示：则∥，，，，∥，，故④正确；故选：D．9．BCD【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得，而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确；对C，取，，则由，得或3，故C正确；对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得，若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，，且，关于x的方程有一个正根和一个负根.因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确.故选：BCD.10．BD【详解】A：当时，不成立，错误；B：由，有，则，正确；C：由，则，错误；D：若或，有，与题设矛盾，故，正确.故选：BD11．BCD【详解】对于A，因为，如果，则点在线段的中垂线上，又，则有，即点为中点，因点是矩形对角线上的动点，不能推得此结论，故A错误；对于B，如图，延长交于点，因为，，易得，从而与相似，故有,因,代入可得，解得，所以四边形的面积,为定值，故B正确；对于C，因为,所以，解得，易得与相似，故，又因为,所以,故C正确；对于D，因为,所以当最小时，的值最小，分别作点关于的对称点，如图，作，连接，易得与全等,则得,由图知，当三点共线时，的值最小，同理可得与全等,所以,而,所以,又因为,所以四边形为菱形，设,则由可得,解得，所以,所以,所以的最小值为，故D正确.12．7【详解】由题意得，集合中含有，，三个元素，所以集合的真子集个数为.故答案为：7.13．5【详解】此问题可以看作数列的前50项和.即.故答案为：5.14．【详解】，，即，∴点在以为直径的圆上，如图，取的中点，连接，则，，，是的直径，.连接，，，，，，即，.，.延长交于点，则，，，.，，.，.，∴点在上.取点，连接，则，连接，则，，，即点在以点为圆心，1为半径的上运动，当位于点时，最小，最小值为，，∴点共线，，∴BP=PO∴BC的最小值为.15．(1)(2)【详解】（1）若，则，由得，得，则，所以或.（2）因为，所以，当时，，得，此时满足；当时，，解得，综上所述：a的取值范围为.16．(1)；(2)会，理由如下：当运动员在空中距池边的水平距离为米，即时，，所以此时运动员距水面距离为，所以此次跳水会出现失误.(3)米.【详解】（1）依题意，设抛物线方程为，而抛物线必过，两点，则有，解得，即有，所以这个抛物线的解析式为；（2）此次跳水会出现失误，理由略；（3）设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m(m>2)，则有，解得，所以运动员此时距池边的水平距离最大为米.17．(1)，R；(2)当时，，当时，.【详解】(1)因不等式的解集为，则，且，2是方程的两个根，于是得，解得，所以，不等式化为：，即恒成立，所以不等式的解集为R；(2)由(1)知关于的不等式化为：，即，而，当时，，解得，当时，原不等式化为：，而，解得，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.18．(1)(2)详见解析；(3)【详解】（1）如图：连接OG，因为，由轴对称得，又，所以，则.（2）如图：过作，与AO交于点G，与BC交于点E，因为，所以，由切线长定理得：，所以，由切线长定理得，所以平分.（3）如图：连接HT，HS，HA，在AT上取点V，使TV=AS，则，因为，所以，因为，所以，又因为，所以，，因为，所以，，因为，所以，所以为等腰三角形，所以.19．(1)(2)，的取值范围为且；(3)①；②.【详解】（1）令，即，解得，又因为当时，，所以；（2）设直线的解析式为，将代入，得，解得，所以直线的解析式为，又因为，是直线上方抛物线上的两点，所以，且，如图①，过作于点，因为，易得,因为，,所以，即，整理得：，所以，的取值范围为且；（3）①因为轴，