山东省德州市六校联考2026届高三上学期校级联考（三）数学试卷（含解析）

山东省德州市六校2025-2026学年高三上学期1月期末联考数学试题一、单选题1．已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．2．直线，，则是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．展开式中的系数为（

）A． B．5 C． D．1004．已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（

）A．149 B．153 C．155 D．1575．第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（

）A． B． C． D．6．已知，设，，，则（

）A． B． C． D．7．已知，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．38．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．数据1，2，3，5，7，9的中位数大于平均数B．数据0，1，0，1，0，1的标准差大于方差C．在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强D．在回归分析中，残差平方和越大，相应模型的拟合效果越好10．如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．点的坐标为11．已知抛物线C：的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，O为坐标原点，分别过点A，B作抛物线C的切线，交于点M，且与x轴分别交于点D，E，则（

）A．若，则点B．若，则直线恒过定点C．若直线过点，则点M恒在直线上D．若直线过点F，则三、填空题12．已知函数，若，则______．13．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，切点分别为M，N，且，则双曲线C的离心率是__________.14．箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是__________.四、解答题15．在中，角所对的边分别为，且满足.(1)求;(2)若,设中边上的高分别为,求的最大值.16．如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，，侧面底面(1)证明：；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值.17．已知函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，，求a的取值范围.18．如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C．(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围．19．已知数列，定义，其中i，且(1)若，求和(2)若，证明：对于且，，，都有(3)对于，4，，n，设若正项数列为递增数列，求证：中至少有两个不同的元素，且中最大元素与最小元素之比小于参考答案1．D【详解】复数z满足，则，所以.故选：D2．A【详解】由，得，解得或，当时，，即，，此时重合；当时，，，此时.综上所述，是的充要条件.故选：A3．C【详解】由，而展开式的通项公式为，则展开式中的系数为.故选：C4．B【详解】设等比数列的公比为，则，则，可得，所以，则，所以.故选：B.5．A【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则，因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区，则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区，基本事件的总数为，若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁，此时，不同的参观情况种数为，若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，此时，不同的参观情况种数为种，因此，，由条件概率公式可得.故选：A.6．B【详解】设，，，根据指数函数、幂函数及对数函数的单调性可知：在上，单调递减，值域为，即，在上，单调递增，值域为，即，在上，单调递减，值域为，即，所以.故选：B7．D【详解】由题可知，，又因为,则,当且仅当时，即当时，等号成立.因此的最小值为4，故的最小值为3.故选：D.8．A【详解】球心为正方体中心，半径，法一：连接，相交于点，点为的中点，连接，可得，因为平面，平面，所以平面，在上，则到平面的距离等于点到平面的距离，设为，，，由平面、得：，则截面圆半径，所以截面面积；法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，，令，则，所以，则到平面的距离，截面圆半径，所以截面面积.故选：A．9．BC【详解】对于A，中位数为，平均数为：，所以中位数小于平均数，故A错误；对于B，因为平均数为，则方差为，则标准差为，，即标准差大于方差，故B正确；对于C，在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，C正确；对于D，若残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越差，故D错误.故选：BC.10．ACD【详解】A.因为点是的中点，且，所以，故A正确；B.有条件可知，，，，，所以，故B错误；C.，故C正确；D.所以点的坐标为，故D正确.故选：ACD11．BCD【详解】A.设，，则，则，即，故A错误；B.设直线，，，联立抛物线方程得，，即，，，所以，得，所以直线恒过定点，故B正确；C.，所以直线方程为，联立，得得，，，则，所以切线，即，同理切线，联立，，得，，则焦点恒在直线上，故C正确；D.由C可知，，，，所以，，所以，故D正确.故选：BCD12．1【详解】函数，，所以，即，解得.故答案为：113．【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：，圆的圆心，半径为：b，由题意可得圆心到双曲线渐近线的距离，得，即，，又，所以，解得，解得故答案为：14．【详解】由题意得，比赛对甲、乙是公平的，所以先计算甲、乙得分相同的概率，情形一：甲、乙都得0分，即每一轮甲、乙摸到的球的标号相同，发生的概率为；情形二：甲、乙都得1分，即三轮中有一轮甲得1分，有一轮乙得1分，有一轮两人摸到的球的标号相同，都不得分，若相同的标号为1，则，同理，相同的标号为2的概率，相同的标号为3的概率，所以甲的累计得分比乙的累计得分大的概率故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）因为，所以；即即即得，即因为，即得到；又因为,所以.（2）因为分别为边上的高，所以,所以；由正弦定理,所以，；所以；因为,，所以所以由余弦定理得，即；即，所以，即所以，当且仅当时等号成立；所以；即当且仅当时，的最大值为.16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）等边三角形中，D为AC中点，所以，因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，又因为平面，所以（2）在中，，，所以，所以，所以是等腰三角形，又D为AC中点，所以，由知，，平面，又平面，所以，所以两两垂直.以为正交基底建立空间直角坐标系则，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，不妨取，则，，所以平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，记平面与平面的夹角为，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为17．(1)(2)【详解】（1）当时，，，则，又，所以曲线在点处的切线方程为（2）当时，由可知恒成立，符合题意；当时，由得恒成立，令，，则，令得，列表得x00单调递增极大值单调递减所以，则，即.综上所述，18．(1)(2)【详解】（1）连接，根据题意，，则，故的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆方程为，则有，，则，的轨迹方程为.（2）由（1）可知，，当直线的斜率为0时，不能构成四边形AMBN，不合题意当直线的斜率不等于0时，直线过点，故设直线的方程为，设，联立，消去，得，韦达定理，得，四边形AMBN的面积，令，则，代入，得，根据均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立，，当时，，四边形AMBN的