江西省新余市2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试卷（含解析）

江西省新余市2025-2026学年高一上学期数学试题一、单选题1．设集合，，则集合（

）A． B． C． D．2．已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（

）A．甲的中位数高于乙的中位数B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差D．甲成绩比乙成绩稳定3．设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．5．已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．6．若，，且，则的最小值为（

）A． B．8 C．9 D．187．使得，为真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．8．已知定义域为的函数满足，且对任意的，时，恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列各式正确的有（

）A．已知，，则B．已知，则C．若，，则D．10．下列命题中正确的是（

）A．数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24B．若A，B是互斥事件，则C．若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立D．若样本的平均数和标准差分别为2和3，则的平均数和标准差分别为8和9.11．已知函数满足：对任意实数、都有，且，，则下列说法正确的有（

）A．B．是偶函数C．函数的图像关于直线对称D．函数的图像关于点对称三、填空题12．2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则_____.13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.14．已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____.四、解答题15．已知不等式的解集为，关于的不等式解集为.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.16．基孔肯雅热（chikungunyafever）是由基孔肯雅病毒引起，主要通过伊蚊叮咬而传播，以发热、皮疹及关节疼痛为主要特征的急性传染病.为更好地预防基孔肯雅热，某校举办了相关知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自不同的组的概率.17．新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完.(1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）：(2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少?18．已知，.(1)求不等式的解集；(2)若，，使得，求实数的取值范围；(3)设函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围.19．新余马拉松赛事蓬勃开展，已成为展示城市活力与全民健身精神的重要平台.马拉松运动不仅是体能竞赛，也蕴含着丰富的数学函数模型；为科学分析运动员体力分配，教体局技术人员通过大数据分析，引入如下数学模型：若运动员的实时状态函数在其定义域存在时间，使成立，那么称时间是函数的“-阶梯点”（即以小时为观察窗口）.(1)在研究初期，假设某运动员的体能存储量函数模型为，试判断该模型在赛程中是否存在“2-阶梯点”（即以2小时为观察窗口），并说明理由；(2)现假设另一个运动员的体能消耗遵循函数模型，证明：该运动员的消耗函数存在唯一的“1-阶梯点”：(3)已知，设函数在上不存在“1-阶梯点”，求实数的取值范围.参考答案1．C解析：由，得到，解得，则集合，又集合，可得集合，故C正确.故选：C.2．C解析：由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于，所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确；对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学，其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确；对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差，由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确；对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性，所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确.故选：C.3．D解析：由题意得，，，所以，，，所以.故选：D.4．B解析：因为，在上都单调递增，所以在上单调递增，又，因为，所以，所以，故的零点所在区间为.故选：B.5．D解析：对于A，，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，所以，故C正确；对于D，，故D错误.故选：D6．A解析：因为，所以，又，，则，当且仅当，即，时，等号成立.故选：A.7．C解析：若，为真命题，则时，，而，故当时，取到最大值6，故，因此是所求必要不充分条件的范围的真子集，故选项中只有满足条件，故选：C8．B解析：因为对任意的，时，恒成立，设，则，故函数在上单调递减，因为，所以关于直线对称.又，因为，则不等式等价于，所以，解得.故选:B.9．AB解析：对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由，，所以，故C错误；对于D，由，故D错误.故选：AB.10．ACD解析：对于A选项：该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，24，27，30，又，即第70百分位数为第6个数24，故A正确；对于B选项：由互斥事件的定义知，而仅在A，B独立时成立，互斥与独立没有必然联系，故B错误；对于C选项，若事件A，B相互独立，则，若事件A，B互斥，则，矛盾，故事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立，故C正确；对于D选项，因样本的平均数和标准差分别为2和3，则的平均数为，方差为，标准差为9，故D正确.故选：ACD.11．ABD解析：对于A:令，得，又，则，令，得，故，故A正确；对于B:令，得，即，即，且函数的定义域为，所以为偶函数，故B正确；对于C:令，得，令，则该式可写为，即，故C错误，D正确.故选：ABD.12．解析：设甲校大学生抽取的人数为，丙校大学生抽取的人数为，则乙校大学生抽取的人数为，所以，解得，，从而.故答案为：13．解析：由图象的开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，而函数在为增函数，则由在上单调递增，可得，解得：.故答案为：14．或解析：作出函数的图象如图所示，令，则，若原方程有6个不相等的实数根，则，且关于的方程必有两个不等实根，设为，当时，代入，则，解得，此时关于的方程为，解得，满足题意；当，且时，令，则函数有两个大于的不等零点，因为函数的图象过点，则，解得，即；当时，因为函数的图象过点，则，无解，综上所述，实数a的取值范围为或.故答案为：或.15．(1)；(2).解析：（1）解分式不等式，即，解得，即.当时，解不等式，解得，即.因此，；（2），，，，，则，解得，实数的取值范围是.16．(1)，平均数（分），中位数（分）(2)解析：（1）由图可得：，解得，估计所抽取50名学生成绩平均数为：（分），由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以中位数，由题意可得，解得（分），所以估计所抽取的50名学生成绩的中位数为（分）；（2）由题意可知，后三组中的人数分别为15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为，则从中任抽取2人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共15种.其中来自相同组的有、、、共4种，于是来自不同组的有11种.故这2人来自不同组的概率为.17．(1)(2)30千台，最大利润是6560万元解析：（1）销售额为万元，当时，，当时，，所以；（2）当时，，当时，万元，当时，单调递减，所以时，万元.综上，当2025年年产量为30千台时，企业所获利润最大，最大利润是6560万元.18．(1)(2)(3)解析：（1）由，则不等式即，所以，所以，所以，所以不等式的解集为.（2）若，，使得，等价于，由于，令，令，，则，，对称轴，所以，即，故；又，，所以，使成立，即，使成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，实数的取值范围为.（3）由，令，，若存在实数，使得成立，即存在，使得，，即，令，则存在，使得成立，令，只需即可，即，解得，所以实数的取值范围为.19．(1)否，理由见解析；(2)证明见解析；(3)解析：（1）假设有“2-阶梯点”，则由可得，化简得，由于，则该方程无实数解，所以函数无“阶梯点”.（2）假设是的“1-阶梯点”，则是方程的解，将该方程化简整理得.令函数，由指数函数和一次函数的单调性，可知是上的增函数，又，，故存在唯一的使得成立，即函数有唯一的“1-阶梯点