四川省成都市成都市第八中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题

第页，共页四川省成都市成都市第八中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题一、单选题（本大题共12小题）1.已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．2.已知圆的一般方程为​，其圆心坐标是（

）A．​ B．​ C．​ D．​3.与直线关于轴对称的直线的方程为（

）A． B． C． D．4.下列说法正确的是（

）A．调查长江的水质适合用全面调查B．两个互斥事件一定是对立事件C．标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度D．若某种奖券的中奖率为0.1，则抽奖10次必有一次中奖5.已知直线与平行，则​（

）A．​ B．1或​ C．​或2 D．​6.如图为甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则平均成绩较小的那位同学的成绩的方差为（

）A．1 B．2 C．4 D．57.已知某产品的营销费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示：营销费用x/万元2345销售额y/万元15203035根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为（

）A．40.5万元 B．41.5万元 C．42.5万元 D．45万元8.图1是某小区100户居民月用电等级的条形图，记月用电量为一级的用户数为，月用电量为二级的用户数为，…，以此类推，月用电量为六级的用户数为，图2是统计图1中居民月用电量在一定级别范围内的用户数的一个算法流程图.根据图1提供的信息，则图2中输出的S值为（

）A．82 B．70 C．48 D．309.已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点且点在直线上，则的最大值是（

）A． B． C． D．10.圆上任意一点到直线的距离大于2的概率为（

）A． B． C． D．11.在​中，​为​内（包括边界)的动点，且​，则​的取值范围是（

）A．​ B．​C．​ D．​12.已知平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.在平面直角坐标系中，已知，若，则下列关于动点的结论正确的个数是（

）①点的轨迹所包围的图形的面积等于②当不共线时，面积的最大值是6③当三点不共线时，射线是的平分线④若点，则的最小值为A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题）13.在空间直角坐标系中，点的坐标为，则关于平面的对称点的坐标为.14.若​与​相外切，则实数​.15.抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，则的概率为.16.已知圆为圆上两个动点，且为弦AB的中点，，，当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题）17.直线与直线相交于点P，直线l经过点P.(1)若直线，求直线l的方程；(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.18.随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019年我国高新技术专利申请数的数据如表所示（把2015年到2019年分别用编号1到5来表示）.年份编号x12345专利申请数y（万件）1.61.92.22.63.0(1)求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；(2)由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.附：，.19.已知以点为圆心的圆与直线相切，，与相交于，两点.(1)求的方程；(2)若，求直线与之间的距离，20.为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.21.已知圆​，点​是直线​上一动点，过点​作圆​的切线​，切点分别是​和​.(1)当点​的横坐标为3时，求切线的方程;(2)试问直线​是否恒过定点，若是求出这个定点，若否说明理由.22.已知点是圆上一点，过点作直线与圆交于另一点，线段的中点为点(1)求动点的轨迹；(2)记动点的轨迹为曲线，若点，设点为曲线上一动点.（i）求面积的最大值，并求出取最大值时点的坐标;（ii）在（i）的结论下，过点作两条相异直线分别与曲线相交于两点，若直线的倾斜角互补，问直线PQ与直线GH是否垂直?请说明理由.

参考答案1.【答案】A【分析】求出直线的斜率，即可求出倾斜角；【详解】解：设直线l的倾斜角为，则，所以.故选：A.2.【答案】D【分析】由圆的一般方程化为标准方程即得.【详解】​圆​的方程为​，​，​圆心​的坐标为​.故选：D​.3.【答案】B【分析】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，将其代入中化简可得答案.【详解】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，由题意可得点在直线上，所以，即，所以与直线关于轴对称的直线的方程为，故选：B4.【答案】C【分析】根据抽样调查的适用条件、互斥事件的性质、标准差的含义以及概率的意义逐项判断即可.【详解】对于A，长江的水质调查最适合使用抽样调查，故A错误；对于B，互斥事件未必对立，但对立事件一定互斥，故B错误；对于C，方差和标准差都刻画了一组数据的离散程度或波动幅度，故C正确；对于D，中奖率是中奖的概率，只是反映了中奖的可能性大小，故抽奖10次未必有一次中奖，故D错误.故选：C.5.【答案】D【分析】根据两直线平行时斜率相等但截距不同即可求解.【详解】因为直线​与​:​平行，所以​，解得​或​，当​时，直线​与​:​重合，不符合题意，故​；故选：D.6.【答案】B【分析】根据平均数及方差的定义运算即得.【详解】由题意，​，​，​​​.故选：B.7.【答案】C【分析】利用平均数的公式及样本的中心在回归直线方程上，求出回归直线方程，再将代入回归直线方程即可求解.【详解】由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，所以回归直线方程为，将代入，得.所以当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元.故选:C.8.【答案】A【分析】根据条形图得到的值，运行程序框图即可求解.【详解】解：根据条形图可得：,第一次：，因为，则，第二次：，因为，则，第三次：，因为，则，第四次：，因为，则，四五次，,因为，则输出.故选：A.9.【答案】D【分析】根据圆和的方程得到公共弦所在的直线方程，可得点，进而可得，再利用基本不等式即可得到的最大值.【详解】由圆​，圆​:​，得圆​与圆​的公共弦所在直线方程为:​，由​，解得​，即​，又​在直线​上，​，即​，所以，当且仅当时等号成立，​的最大值为​.故选:D​.10.【答案】C【分析】先求出圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对圆心角为，则圆上到直线距离大于2的点构成的弧所对圆心角为，再用几何概型的概率公式代入即可得出答案.【详解】圆心到直线的距离为，圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对的弦的弦心距是1，设此弧所对的圆心角为，则，所以，即，所以所求概率为.故选：C.11.【答案】B【分析】利用坐标法，由题可设，利用向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得.【详解】如图以为原点建立平面直角坐标系，则，为所在平面内的动点，且PC可设，则，，，其中，的取值范围是.故选：B.12.【答案】B【分析】由题可得点的轨迹方程进而可判断①，根据圆的性质可判断②，根据角平分线定理可判断③，利用数形结合结合条件可判断④.【详解】对于选项①，设，因为满足，所以，化简得，即，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于，故①正确；对于选项②，由选项①可知，点的轨迹方程，即点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，又，且点在直径上，故当点到圆的直径距离最大的时候，的面积最大，因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即的高的最大值为4，所以面积的最大值为，故②错误；对于选项③，由题可知，，故，即，所以射线是的平分线，故③正确；对于选项④，因为，所以，所以，又点在圆上，如图所示，所以当三点共线时取最小值，此时，故④正确.故选：B.13.【答案】，4，【分析】可知点关于面的对称点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，从而得出答案．【详解】点关于坐标面对称的点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变成原来的相反数，关于平面的对称点的坐标为：，4，．故答案为：，4，．14.【答案】11【分析】两圆外切时圆心距等于两圆的半径之和，据此可以求解.【详解】对于：，即；对于：，即；当外切时，圆心距，；故答案为：11.15.【答案】【分析】确定基本事件数量，再求对应的基本事件数量，利用对立事件的概率求法求概率.【详解】基本事件有36个，而满足，即的基本事件有，，共3个，所以所求概率为.故答案为：16.【答案】【分析】由题知的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，且是以为圆心的直径的两个端点，若始终有为锐角，只需要两圆相离即可，故得到圆心距和半径和的不等关系，求解即可.【详解】如图，连接，则，所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上，设的中点为，则，且，因为当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，所以以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相离，故，解得或，即故答案为：17.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解，（2）由题意得过原点或斜率为后求解【详解】（1）联立得即.因为，不妨设直线l的方程为，将点代入，得，所以直线l的方程为.（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，将点代入，得，所以直线l的方程为，即.综上所述，直线l的方程是或.18.【答案】(1)(2)2022年我国高新技术专利数为4.01万件.【分析】（1）结合表格数据，题干附录公式即可求出回归方程；（2）结合（1）中回归方程，带入2022年对应的年份编号x即可.【详解】（1）由已知可得，，于是，，所以回归方程为.（2）由（1）知，又2022年对应的是编号8，所以2022年我国高新技术专利申请数（万件），即可以预测2022年我国高新技术专利数为4.01万件.19.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据直线与圆的位置关系可得圆的半径，进而可得圆的方程；（2）由，设直线方程为，根据弦长可得圆心到直线距离，进而可得的值.【详解】（1）由与直线相切可知，的半径，所以的方程是；（2）因为，设直线的方程为，所以圆心到直线的距离，由，解得或，所以直线的方程为或，当直线的方程为时，直线与直线的距离为；当直线的方程为时，直线与直线的距离为，所以直线与直线的距离为或.20.【答案】(1)，中位数为，平均数为72(2)【分析】（1）根据频率分布直方图的性质以及中位数和平均数的概念，进行计算即可得解；（2）根据分层抽样在[60，70）内的有人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，C，从中任意抽取2人，列出实验的样本空间，再利用概率公式，进行计算即可得解.【详解】（1）由图可知，，解得.设中位数为x，则，所以.这100人问答成绩的平均数约为.（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本，则问答成绩在[60，70）内的有人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，C.从中任意抽取2人，则实验的样本空间{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10个样本点.设事件A为2人的问答成绩均在[70，80）内的概率，则，所以这2人的间答成绩均在[70，80）内的概率.21.【答案】(1)或；(2)直线​恒过定点​，理由见解析【分析】（1）分斜率存在，不存在讨论，根据直线与圆的位置关系即得；（2）设​，由题可得以​为直径的圆的方程，结合条件可得公共弦​的方程进而即得.【详解】（1）由题可知，由圆​，可知圆心为，半径为1，当切线的斜率不存在时，满足题意，当切线的斜率存在时，可设切线为，则，解得，所以切线为，即，所以切线的方程为或；（2）直线​恒过定点​，设​，由题意知​在以​为直径的圆上，又​，则以​为直径的圆的方程为​，即​，又圆​，即​，两式相减，故直线​的方程为​，即​，由​，解得​，即直线​恒过定点​.22.【答案】(1)，动点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，并除去点(2)（i）最大值为12，（ii）直线与直线垂直，理由见解析【分析】（1）设，再得出，代入圆