四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

2023-2024学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高一（上）入学数学试卷一、选择题。（1～8题为单选，每题5分，9～12题为多选，每题5分，多选题选对但不全的得2分，有选错的得0分，共60分）1．（5分）已知有4个数：3，﹣9，2，7．下面说法正确的是（）A．这4个数最大的数是﹣9 B．这4个数的极差是﹣4 C．这4个数的中位数是2.5 D．若这4个数作为某地某月的某4天的气温，则某地这一个月的平均气温一定是0.75度2．（5分）如果命题A能推出命题B，那么我们叫命题A为命题B的充分条件，如果命题B能推出命题A，则命题A为命题B的必要条件，如果命题A和命题B能够互推，那么命题A是命题B的充要条件，命题B也是命题A的充要条件，下面说法正确的是（）A．“四边形ABCD中，AB∥CD”是“四边形ABCD是平行四边形”的充分条件 B．如果命题A能推出命题B，命题B也能推出命题A，那么命题A是命题B的充要条件 C．若命题A不是命题B的充分条件，则命题A一定是命题B的必要条件 D．“命题A是命题B的充分条件”是“命题A是命题B的必要条件”的充要条件3．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣4x，则下面说法正确的是（）A．f（x）与x轴可能有3个交点 B．已知一条直线与f（x）交于（1，﹣3）和（0，0）两点，则f（x）恒在该直线上方 C．如果将该函数往右平移两个单位长度，则该函数的解析式是y＝x2﹣4 D．以上说法均不正确（多选）4．（5分）已知平面内有三条直线l1，l2，l3互相平行，则（）A．可表示为l1∥l2∥l3 B．三条直线总长度可求 C．在l1上取一点A，在l2上取一点B，在l3上取一点C，则△ABC可能是等腰直角三角形 D．两平行直线之间的距离不一定相等5．（5分）集合{0，2，3，4}有几个子集？（）A．4 B．16 C．15 D．以上答案均不正确6．（5分）已知在平面直角坐标系xOy内，有一抛物线y＝x2，同时有一直线y＝kx+1与抛物线于A，B两点，则A点和B点的横坐标之积为（）A．﹣1 B．1 C．k D．无法确定7．（5分）判断y＝cosx的取值范围（x为锐角）（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，2）8．（5分）已知在圆O内任意取一点D（不含边界），且与直径AB相连成△ABD，则（）A．∠ADB＜90° B．∠ADB＞90° C．∠ADB＝90° D．无法判断（多选）9．（5分）下面哪个图形是轴对称图形？（）A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形（多选）10．（5分）下面说法正确的是（）A．0不属于自然数集 B．集合{3，4，5，6}的子集不包含空集 C．集合{3，4，7}和{7，4，3}是同一个集合 D．一个集合里面不能出现重复的元素（多选）11．（5分）已知m+n＝4，则下面说法正确的是（）A．mn有最大值无最小值 B．mn有最小值无最大值 C．点（m，n）恒在直线x+y﹣4＝0上 D．m不一定大于n12．（5分）已知y＝kx与y＝﹣3x+1交于A（x1，y1），则下面说法正确的是（）A．x1与k的值构成反比例函数关系 B．A点可能在坐标轴上 C．设y＝﹣3x+1与x轴交于点B，则△AOB面积取值范围是（0，） D．设y＝﹣3x+1与x轴交于点B，若△AOB是直角三角形，则满足题意的k值有2个二、填空题。（每题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）＝3x﹣1，f（1）＝．14．（5分）边长为1的等边三角形的外接圆面积是．15．（5分）下面说法正确的是．（1）y＝x是奇函数（2）y＝x是偶函数（3）y＝x+有最大值，也有最小值（4）y＝x+没有最大值，也没有最小值（5）奇函数不一定过原点16．（5分）方程：x3﹣4x2+5x＝0的三个根之和为．三、解答题。（共70分）17．（10分）已知一个篮球30元，一个足球50元，希望中学希望购买50个球，且总价不超过3000元，能实现吗？请通过计算说明．18．（12分）如图所示，△ABC是直角三角形，且B是直角顶点，AD是∠BAC的角平分线，请证明＝．19．（12分）在平面直角坐标系中，有一条过（0，﹣1）的直线和抛物线y＝x2．（1）讨论该直线与抛物线的交点个数．（2）设直线与抛物线交于A，B两点，求△AOB面积取值范围．（3）推广探究：在抛物线上任意取一点C，点C与（0，1）的连线长度和到y＝﹣1的距离始终相等吗？若始终相等，请证明，并就根据此结论对抛物线下一个新定义．若不是始终相等，请说明理由．（4）将该抛物线顺时针旋转90度，试在答题卡给出的坐标纸上画出新抛物线，并猜想该新抛物线的解析式．20．（12分）剪纸是中国的文化，也是数学中的文化．下面请回答问题：（1）用边长为2的等边三角形中剪一个面积最大的圆，怎么剪？并求出该圆的面积．（2）用边长为2的等边三角形中剪一个矩形，求该矩形的面积取值范围．21．（12分）讨论不等式m＜x＜3m﹣1的整数解个数．22．（12分）归纳思想是数学中一个最重要的思想，下面请回答问题：（1）如果有一组数据，第一个数是1，第二个数是2，能不能得到第三个数是3？请说明理由．（2）所有形如y＝（m，n，t均为常数）的形状都是关于某点对称的双曲线吗？如果是，请说明理由；如果不是，也请说明理由．（3）证明：所有满足f（x）＝f（2b﹣x）的函数都关于x＝b对称．

2023-2024学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高一（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。（1～8题为单选，每题5分，9～12题为多选，每题5分，多选题选对但不全的得2分，有选错的得0分，共60分）1．（5分）已知有4个数：3，﹣9，2，7．下面说法正确的是（）A．这4个数最大的数是﹣9 B．这4个数的极差是﹣4 C．这4个数的中位数是2.5 D．若这4个数作为某地某月的某4天的气温，则某地这一个月的平均气温一定是0.75度【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【答案】C【分析】根据题意，由平均数、极差的定义依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，这4个数最大的数是7，A错误；对于B，这4个数的极差是7﹣（﹣9）＝16，B错误；对于C，4个数从小到大为﹣9，2，3，7，其中位数为（2+3）＝2.5，C正确；对于D，由于不知道其他日期的气温，无法确定这一个月的平均气温，D错误．故选：C．2．（5分）如果命题A能推出命题B，那么我们叫命题A为命题B的充分条件，如果命题B能推出命题A，则命题A为命题B的必要条件，如果命题A和命题B能够互推，那么命题A是命题B的充要条件，命题B也是命题A的充要条件，下面说法正确的是（）A．“四边形ABCD中，AB∥CD”是“四边形ABCD是平行四边形”的充分条件 B．如果命题A能推出命题B，命题B也能推出命题A，那么命题A是命题B的充要条件 C．若命题A不是命题B的充分条件，则命题A一定是命题B的必要条件 D．“命题A是命题B的充分条件”是“命题A是命题B的必要条件”的充要条件【考点】充分条件与必要条件；命题的真假判断与应用．【答案】B【分析】根据充分条件与必要条件的定义进行分析即可．【解答】解：对于A，“四边形ABCD中，AB∥CD”，不一定有“四边形ABCD是平行四边形”，比如四边形ABCD可以为梯形，A错误；对于B，命题A能推出命题B，则A是B的充分条件，命题B也能推出命题A，则A是B的必要条件，所以A是B的充要条件，B正确；对于C，若命题A不是命题B的充分条件，A也可能是B的不必要条件，A，B不一定有关联性，C错误；对于D，“命题A是命题B的充分条件”与“命题A是命题B的必要条件”没有必然的关系，D错误．故选：B．3．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣4x，则下面说法正确的是（）A．f（x）与x轴可能有3个交点 B．已知一条直线与f（x）交于（1，﹣3）和（0，0）两点，则f（x）恒在该直线上方 C．如果将该函数往右平移两个单位长度，则该函数的解析式是y＝x2﹣4 D．以上说法均不正确【考点】二次函数的性质与图象．【答案】D【分析】由已知结合二次函数的性质，函数图象的平移检验各选项即可判断．【解答】解：由二次函数的性质可知f（x）与x轴只有两个交点，A错误；由题意，经过（1，﹣3），（0，0）的直线的斜率k＝﹣3，故直线方程为y+3＝﹣3（x﹣1），即3x+y＝0，此时抛物线不可能恒在直线上方，B错误；将f（x）的图象向右平移两个单位可得y＝（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝x2﹣8x+12，C错误．故选：D．（多选）4．（5分）已知平面内有三条直线l1，l2，l3互相平行，则（）A．可表示为l1∥l2∥l3 B．三条直线总长度可求 C．在l1上取一点A，在l2上取一点B，在l3上取一点C，则△ABC可能是等腰直角三角形 D．两平行直线之间的距离不一定相等【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；三角形的形状判断．【答案】AC【分析】根据平行线性质可判定A，C；根据直线的性质可判定B，通过实例可判定C．【解答】解：由平行线性质，当直线l1，l2，l3互相平行时，可表示为l1∥l2∥l3，即A正确；直线是无限延伸的，故不可求长度，即B错误；由图所示，设l1与l2，l2与l3之间的距离为1，取PA＝PB＝PC＝1，则△ABC即为满足题意的等腰直角三角形，故C正确；根据两平行线间的距离为定值，可知D错误．故选：AC．5．（5分）集合{0，2，3，4}有几个子集？（）A．4 B．16 C．15 D．以上答案均不正确【考点】子集与真子集．【答案】B【分析】由已知结合集合元素个数与集合子集个数的规律即可求解．【解答】解：集合{0，2，3，4}的子集为24＝16个．故选：B．6．（5分）已知在平面直角坐标系xOy内，有一抛物线y＝x2，同时有一直线y＝kx+1与抛物线于A，B两点，则A点和B点的横坐标之积为（）A．﹣1 B．1 C．k D．无法确定【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合；直线与圆锥曲线的综合．【答案】A【分析】由直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理求解即可．【解答】解：已知在平面直角坐标系xOy内，有一抛物线y＝x2，同时有一直线y＝kx+1与抛物线于A，B两点，联立，消y可得：x2﹣kx﹣1＝0，则Δ＝k2+4＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝﹣1，即A点和B点的横坐标之积为﹣1．故选：A．7．（5分）判断y＝cosx的取值范围（x为锐角）（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，2）【考点】余弦函数的图象；余弦函数的单调性．【答案】B【分析】根据锐角的取值范围，结合余弦函数的单调性即可得出y＝cosx的取值范围．【解答】解：x为锐角时，x∈（0，），余弦函数y＝cosx单调递减，取值范围是（0，1）．故选：B．8．（5分）已知在圆O内任意取一点D（不含边界），且与直径AB相连成△ABD，则（）A．∠ADB＜90° B．∠ADB＞90° C．∠ADB＝90° D．无法判断【考点】圆周角定理．【答案】B【分析】利用圆周角定理即可求解．【解答】解：因为AB为直径，当点D在圆上时，∠ADB＝90°，当点D在圆内时，∠ADB＞90°．故选：B．（多选）9．（5分）下面哪个图形是轴对称图形？（）A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】ACD【分析】根据轴对称图形的定义与性质，对选项中的图形判断即可．【解答】解：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线所在的直线，选项A符合题意；平行四边形不是轴对称图形，它是中心对称图形，选项B不合题意；矩形是轴对称图形，对称轴是两组对边中点连线所在的直线，选项C满足题意；正方形是矩形，它是轴对称图形，选项D满足题意．故选：ACD．（多选）10．（5分）下面说法正确的是（）A．0不属于自然数集 B．集合{3，4，5，6}的子集不包含空集 C．集合{3，4，7}和{7，4，3}是同一个集合 D．一个集合里面不能出现重复的元素【考点】子集与真子集；元素与集合关系的判断．【答案】CD【分析】结合数的分类检验选项A；结合集合子集的定义检验选项B．由已知结合集合元素的无序性检验选项C；结合集合元素的互异性检验选项D．【解答】解：0属于自然是集，A错误；根据空集是任何集合的子集可知B错误；根据集合元素的无序性可知C正确；根据集合元素的互异性可知D正确．故选：CD．（多选）11．（5分）已知m+n＝4，则下面说法正确的是（）A．mn有最大值无最小值 B．mn有最小值无最大值 C．点（m，n）恒在直线x+y﹣4＝0上 D．m不一定大于n【考点】基本不等式及其应用．【答案】ACD【分析】由已知先用m表示n，结合二次函数的性质可确定mn的最值取得情况及取得条件检验ABD，结合恒过定点的直线方程可检验选项C，D．【解答】解：因为m+n＝4，所以n＝4﹣m，所以mn＝m（4﹣m）＝﹣m2+4m，根据二次函数的性质可知，当m＝2时，上式取得最大值4，没有最小值，A正确，B错误；由m+n﹣4＝0可知，（m，n）恒在直线x+y﹣4＝0上，C正确；由题意m，n的大小关系不确定，D正确．故选：ACD．12．（5分）已知y＝kx与y＝﹣3x+1交于A（x1，y1），则下面说法正确的是（）A．x1与k的值构成反比例函数关系 B．A点可能在坐标轴上 C．设y＝﹣3x+1与x轴交于点B，则△AOB面积取值范围是（0，） D．设y＝﹣3x+1与x轴交于点B，若△AOB是直角三角形，则满足题意的k值有2个【考点】函数与方程的综合运用．【答案】B【分析】讨论k＝0，求得A的坐标，可判断AB；考虑k＝﹣2，求得A，B的坐标和△AOB的面积，可判断C；推得∠OAB为直角，可得k＞0，可判断D．【解答】解：当k＝0时，可得A（，0），即x1＝，故A错误；当k＝0时，求得A（，0），故B正确；当k＝﹣2时，由y＝﹣2x和y＝﹣3x+1，可得A（1，﹣2），又B（，0），可得△AOB面积为×2×＝，故C错误；设y＝﹣3x+1与x轴交于点B，若△AOB是直角三角形，由于k存在，故∠AOB不为直角，又直线y＝﹣3x+1不垂直于x轴，故∠ABO不为直角，所以∠OAB为直角，所以k＞0，且直线y＝kx与直线y＝﹣3x+1的交点A在第一象限，即k的值只有一个，故D错误．故选：B．二、填空题。（每题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）＝3x﹣1，f（1）＝2．【考点】函数的值．【答案】见试题解答内容【分析】把x＝1代入函数解析式求出值，即f（1）的值．【解答】解：由f（x）＝3x﹣1得，f（1）＝3×1﹣1＝2，故答案为：2．14．（5分）边长为1的等边三角形的外接圆面积是．【考点】正弦定理．【答案】．【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，然后求解外接球的面积．【解答】解：边长为1的等边三角形的外接圆的半径为：R＝＝．所以边长为2的等边三角形的外接圆的面积S＝．故答案为：．15．（5分）下面说法正确的是（1）（4）（5）．（1）y＝x是奇函数（2）y＝x是偶函数（3）y＝x+有最大值，也有最小值（4）y＝x+没有最大值，也没有最小值（5）奇函数不一定过原点【考点】函数奇偶性的性质与判断；基本不等式及其应用．【答案】（1）（4）（5）．【分析】由已知结合基本初等函数的奇偶性判断（1）（2）（5），结合对勾函数检验（3）（4）．【解答】解：y＝x是奇函数，（1）正确，（2）错误；因为y＝x+为奇函数，当x＞0时，x→∞时，f（x）→+∞，当x＜0时，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，故函数没有最大值，也没有最小值，（3）错误，（4）正确；奇函数定义域内没有0时，函数图象不过原点，（5）正确．故答案为：（1）（4）（5）．16．（5分）方程：x3﹣4x2+5x＝0的三个根之和为0．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】0．【分析】求出方程x3﹣4x2+5x＝0的解，即可得答案．【解答】解：因为x3﹣4x2+5x＝0，所以x（x2﹣4x+5）＝0，所以x1＝0或x2﹣4x+5＝0，因为x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1≥1＞0．所以x3﹣4x2+5x＝0的解为x＝0，所以方程x3﹣4x2+5x＝0的根之和为0．故答案为：0．三、解答题。（共70分）17．（10分）已知一个篮球30元，一个足球50元，希望中学希望购买50个球，且总价不超过3000元，能实现吗？请通过计算说明．【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】能实现．【分析】设购买篮球x个，足球y个，由此列出不等式组求解即可．【解答】解：设购买篮球x个，足球y个，则x+y＝50，且30x+50y≤3000，即，x＝0时，y＝50，30x+50y＝2500＜3000；x＝1时，y＝49，30x+50y＝2480＜3000；......；x＝50时，y＝0，30x+50y＝1500＜3000；所以购买50个球，且总价不超过3000元，能实现．18．（12分）如图所示，△ABC是直角三角形，且B是直角顶点，AD是∠BAC的角平分线，请证明＝．【考点】相似三角形的性质．【答案】证明过程见解析．【分析】因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD，再利用三角形ABC为直角三角形以及三角形的面积公式化简即可证明．【解答】证明：因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD，又因为∠B＝90°，则三角形ABD的面积为S△ABD＝，三角形ACD的面积为S△ACD＝，所以，化简可得：．19．（12分）在平面直角坐标系中，有一条过（0，﹣1）的直线和抛物线y＝x2．（1）讨论该直线与抛物线的交点个数．（2）设直线与抛物线交于A，B两点，求△AOB面积取值范围．（3）推广探究：在抛物线上任意取一点C，点C与（0，1）的连线长度和到y＝﹣1的距离始终相等吗？若始终相等，请证明，并就根据此结论对抛物线下一个新定义．若不是始终相等，请说明理由．（4）将该抛物线顺时针旋转90度，试在答题卡给出的坐标纸上画出新抛物线，并猜想该新抛物线的解析式．【考点】直线与圆锥曲线的综合．【答案】见解析．【分析】（1）写出过点（0，﹣1）的直线方程，联立直线和抛物线的方程，消y，得到关于x的一元二次方程，讨论该方程解的个数，即可得到结果；（2）求出|AB|和原点到直线AB的距离，根据三角形面积公式求出三角形AOB的面积，进而求出此面积的范围；（3）根据点C与（0，1）的连线长度和到y＝﹣1的距离相等，求出点C的轨迹方程，得到抛物线的定义；（4）写出抛物线的方程，根据方程画出图像即可．【解答】解：（1）当直线为x＝0时，该直线与抛物线有1个交点；当直线与x轴不垂直时，设直线方程为y＝kx﹣1，联立直线和抛物线方程，即，得x2﹣kx+1＝0，Δ＝（﹣k）2﹣4＝k2﹣4＝0，解得k＝2或k＝﹣2；当k＝2或k＝﹣2时，直线与抛物线有1个交点；当﹣2＜k＜2时，Δ＜0，直线与抛物线没有交点；当k＞2或k＜﹣2时，Δ＞0，直线与抛物线有2个交点；综上，当k＝2或k＝﹣2，或x＝0时，直线与抛物线有1个交点；当﹣2＜k＜2时，Δ＜0，直线与抛物线没有交点；当k＞2或k＜﹣2时，Δ＞0，直线与抛物线有2个交点；（2）由（1）知当k＞2或k＜﹣2时，Δ＞0，直线与抛物线有2个交点；设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和抛物线方程，即，得x2﹣kx+1＝0，x1+x2＝k，x1x2＝1，|AB|＝＝，点O到直线的距离为d＝，∴S△AOB＝|AB|×d＝×＝＞0，∴△AOB面积取值范围为（0，+∞）．（3）设抛物线上任意一点C（x，y），则，点C与（0，1）的连线长度为，点C到y＝﹣1的距离为|y+1|，若＝|y+1|，则x2＝4y，故在抛物线上任意取一点C，点C与（0，1）的连线长度和到y＝﹣1的距离始终相等；抛物线定义：平面内，到定点的距离和到定直线的距离相等点的轨迹．（4）y2＝x，．20．（12分）剪纸是中国的文化，也是数学中的文化．下面请回答问题：（1）用边长为2的等边三角形中剪一个面积最大的圆，怎么剪？并求出该圆的面积．（2）用边长为2的等边三角形中剪一个矩形，求该矩形的面积取值范围．【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】（1）．（2）（0，]．【分析】（1）求出圆心和半径，即可剪出此