四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学(理)试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学（理）试题一、单选题（本大题共12小题）1．已知，则（

）A． B． C． D．2．设全集为，集合，，则（

）A． B． C． D．3．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（

）A．20 B．40 C．60 D．884．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（

）A． B．C． D．5．已知，，则（

）A． B． C． D．6．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为2，下底长为4，腰长为2的等腰梯形，则该四棱台的体积为（

）A． B． C． D．567．已知实数，满足，则下列各项中一定成立的是（

）A． B． C． D．8．已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．9．已知函数.给出下列结论：①是的最小值；②函数在上单调递增；③将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．已知直线与抛物线交于点、，以线段为直径的圆经过定点，则（

）A． B． C． D．11．在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．12．若存在，使不等式成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题）13．已知，，，则实数______.14．已知的展开式中含项的系数为，则______.15．已知为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线从左往右顺次交于两点.若，则双曲线的离心率为______.16．中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______.三、解答题（本大题共7小题）17．某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：一般良好合计男20100120女305080合计50150200(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？(2)该商店在春节期间开展促销活动，该产品共有如下两个销售方案.方案一：按原价的8折销售；方案二：顾客购买该产品时，可在一个装有4张“每满200元少80元”，6张“每满200元少40元”共10张优惠券的不透明箱子中，随机抽取1张，购买时按照所抽取的优惠券进行优惠.已知该产品原价为260（元/件）.顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付的金额；你认为顾客甲选择哪种购买方案较为合理？附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，.18．已知数列是公差为2的等差数列，.是公比大于0的等比数列，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和.19．如图，在三棱锥中，为的内心，直线与交于，，.(1)证明：平面平面；(2)若，，，求二面角的余弦值.20．已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，若直线，的斜率均存在，并分别记为，.(1)求证：为常数；(2)求面积的最大值.21．已知函数有两个极值点.(1)求的取值范围；(2)若，求的取值范围.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求的直角坐标方程；(2)设直线与曲线交于，，求.23．设函数.(1)解不等式；(2)令的最小值为，正数，，满足，证明：.

参考答案1．【答案】A【分析】利用复数的除法运算直接求解即可.【详解】，.故选：A.2．【答案】C【分析】求出集合A中元素范围，再求即可.【详解】，又，.故选：C.3．【答案】C【分析】根据频率分布直方图计算出“优质苗”的占比,再乘以100可得结果【详解】由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为，因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为.故选：C.4．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，再利用特殊值的函数值，逐一判断即可.【详解】对于A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故A符合图象；对于B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故B不符题意；对于C，函数，因为，故C不符题意；对于D，当时，，故D不符题意.故选：A.5．【答案】D【分析】先利用倍角公式将条件变形，然后结合列方程组求解.【详解】,①,又②，由①②得.故选：D.6．【答案】A【分析】由三视图可知该四棱台为正四棱台，利用勾股定理求出棱台的高，再根据台体的体积公式即可得解.【详解】由三视图可知该四棱台为正四棱台，且侧面的高为，则该棱台的高为，所以棱台的体积.故选：A.7．【答案】D【分析】由，可得，根据不等式的性质即可判断A；根据正弦函数的单调性即可判断B；根据对数函数的单调性及换底公式即可判断C；根据指数函数及幂函数的单调性即可判断D.【详解】因为，所以，则，故A错误；当时，，所以，故B错误；因为，所以，所以，即，故C错误；因为，所以，即，故D正确.故选：D.8．【答案】C【分析】由已知可得平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】因为点在底面的射影为中点，则平面，又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为平面，平面，则，因为，，则，则、、、，所以，，易知平面的一个法向量为，，因此，直线与平面所成角的正弦值为.故选：C.9．【答案】B【分析】先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的性质即可判断①②，根据平移变换的原则即可判断③.【详解】，对于①，，是的最小值，故①正确；对于②，当时，，所以函数在区间上不具有单调性，故②错误；对于③，将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得，故③正确，所以正确的有①③.故选：B.10．【答案】C【分析】记，则直线的方程可表示为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合以及可求得的值，再利用弦长公式可求得的值.【详解】记，则直线的方程可表示为，设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，，，由已知可得，则，可得，所以，.故选：C.11．【答案】B【分析】如图，取的中点，连接的，利用勾股定理证明，则有平面平面，设点为的外接圆的圆心，则在上，设点为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.【详解】如图，取的中点，连接，在菱形中，，则都是等边三角形，则，因为平面平面，所以即为二面角的平面角，因为，所以，即，所以平面平面，如图，设点为的外接圆的圆心，则在上，且，设点为三棱锥的外接球的球心，则平面外接球的半径为，设，则，解得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：B.12．【答案】D【分析】，令，构造函数，从而问题转化为存在，使得成立.求导判断单调性求得当时，，进而得到且，即可求解.【详解】令，即，因为，所以，令.则原问题等价于存在，使得成立.令，即解得，令，即解得，所以在上单调递增，在上单调递减.又因为而，当时，.若存在，使得成立.只需且，解得且，所以.故的取值范围为.故选：D13．【答案】【分析】先求出向量的坐标，再利用模的坐标运算列方程求解即可.【详解】由已知得，，，解得.故答案为：.14．【答案】##【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解.【详解】，又的展开式通项为，的展开式通项为，，解得.故答案为：.15．【答案】【分析】分别联立直线与双曲线渐近线的方程，求出两点的坐标，再根据在的右侧，可得，再根据，求得的齐次式，由此求出，进而可得答案.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则，联立，解得，联立，解得，因为两条渐近线从左往右顺次交于两点，且所以，，，所以，因为，所以，整理得，则，解得或（舍去），所以离心率.故答案为：.16．【答案】【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值.【详解】因为，由正弦定理可得，所以，，因为、，则，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，即，故，当且仅当时，等号成立，故周长的最大值为.故答案为：.17．【答案】(1)有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系(2)元，选择方案二较为合理【分析】（1）根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；（2）设甲顾客按方案二购买一件产品需要出元，写出的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求出期望即可，再求出选择方案一所需的金额，即可得出结论.【详解】（1），所以有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系；（2）若甲顾客按方案二购买一件产品，设需要出元，则可取，，所以（元），所以顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付元，若甲顾客按方案一购买一件产品，则需要（元），因为，所以顾客甲选择方案二购买较为合理.18．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由等差数列的求和公式解方程可得首项，进而得到；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到；（2）由等比数列的求和公式，结合数列的错位相减法求和，可得所求和.【详解】（1）数列是公差为2的等差数列,,得，，是公比大于0的等比数列，，设公比为，，解得(负值舍去)，；（2）由（1）得，①，②，①-②得，19．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设平面，垂足为，作于，于，连接，先证明，从而可证得，从而可得点为的内心，即两点重合，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，利用等面积法求得内切圆的半径，再利用勾股定理求得，即可得的坐标，再利用向量法求解即可.【详解】（1）设平面，垂足为，作于，于，连接，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，在和中，因为，所以，所以，在和中，，所以，所以，即点到的距离相等，同理点到的距离相等，所以点为的内心，所以两点重合，所以平面，又因平面，所以平面平面；（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设内切圆的半径为，则即，解得，故，则，则，设平面的法向量，则，可取，设平面的法向量，则，可取，则，由图可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设直线的倾斜角分别为，根据，可得，即，求出，从而可得出结论；（2）利用待定系数法求出椭圆方程，设，，联立方程求出，再根据，化简计算结合基本不等式即可得解.【详解】（1）设直线的倾斜角分别为，因为，所以，即，故，因为，，所以，所以，所以，则，所以为常数；（2）椭圆经过，两点，代入得，解得，所以椭圆方程为，设，，由（1）得，则的方程为，的方程为，联立，消得，则，同理可得，则令，则，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.21．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意转化为方程有两个不同的实根，设，求得，求得函数的单调性和极大值，进而求得的取值范围；（2）由（1）得到，得出，令，得到，求得，令，取得，再令，利用导数求得的单调性，进而得出单调递性和最小值，即可求解.【详解】（1）解：因为函数，可得，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，设，可得，当时，可得，单调递增；当时，可得，单调递减，所以时，函数取得极大值，极大值为，又因为时，；时，，且时，，所以方程有两个不同的实数根时，可得，即函数有两个极值点时，的取值范围是.（2）解：由（1）知，函数的两个极值点是方程的两根，且，则有，两式相除，可得，可得，又由，可得，所以，令，令，则需要恒成立，则，令，则，令，则在上单调递增，又由，则存在，使得，当时，，则即为单调递减；当时，，则即为单调递增，又，所以存在，使得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，又，所以当时，，则，单调递减；当时，，则，单调递增，所以当时，，所以，故实数的取值范围是22．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用和，即可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设出两点对应参数，联立直线的标准参数方程和曲线的直角坐标方程，得到，再利用参数的几何意义，即可求出结果.【详解】（1）因为曲线的极坐标方