小学数学五年级《一个数除以小数》单元教学设计

小学数学五年级《一个数除以小数》单元教学设计

一、课程背景与设计理念

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》全面推进核心素养导向教学的改革浪潮中，小学数学计算教学正经历从“技能熟练度”向“思维深刻性”的根本转型。本单元“一个数除以小数”的设计以“数与运算”主题的大概念为统领，旗帜鲜明地将“转化思想”作为单元教学的灵魂。【非常重要】设计理念聚焦三重新质建构：其一，以运算一致性为内核，打通整数除法、小数除法与分数除法的逻辑壁垒；其二，以真实情境为锚点，将冰冷的竖式赋予鲜活的问题解决意义；其三，以跨学科视野为突破，将除法运算植入科学实验数据处理、工程技术估算等多元场景，实现数学学科育人功能的升维。【重要】本设计彻底摒弃机械刷题的传统范式，构建“直觉猜想—多元表征—算法提炼—模型迁移”的深度学习闭环，使学生在算理贯通中发展运算能力与推理意识，在文化浸润中涵养理性精神。

二、教材深度解析

（一）教材地位与作用

本内容隶属人教版小学数学五年级上册第三单元“小数除法”，是整数除法向分数除法过渡的关键枢纽。【重要】从知识谱系看：前有整数除法、商不变规律、除数是整数的小数除法作理论铺垫；后有小数四则混合运算、循环小数、分数基本性质乃至比的应用作思维延伸。本课一旦失守，将直接导致学生运算体系的断层。【非常重要】教材将其置于单元核心，正是意图通过“除数小数化整”这一典型转化案例，帮助学生完成从“算术思维”向“代数思维”的初级跨越。

（二）教材编排逻辑与优化建议

教材以“中国结”为情境主线，呈现“7.65÷1.5”的经典问题，其编排暗含三条隐性线索：线索一，借助计量单位换算（米→分米）实现算理可视化；线索二，依托商不变规律实现算法形式化；线索三，通过对比练习实现策略优化。【基础】然而，教材对“被除数位数不足需补0”这一难点仅以一例带过，对算理深层的位值意义揭示不足。【难点】本设计在尊重教材的基础上进行结构性重组：将“位数充足”与“位数不足”分设为两个独立课时，并在其间插入认知冲突专场，使难点化解更加从容。

三、学情精准画像

（一）认知起点与潜在迷思

五年级学生已具备整数除法自动化技能，能熟练运用商不变规律进行整数简便运算，并初步掌握除数是整数的小数除法。【基础】但大样本前测显示：面对“7.65÷0.85”，73%的学生能正确计算，但其中仅有28%的学生能清晰解释“为什么可以把除数和被除数同时乘100”；面对“12.6÷0.28”，正确率骤降至41%，典型错误表现为“被除数只移动一位”或“商的小数点照搬原被除数小数点”。【高频考点】这些数据揭示出学生深层次迷思：小数点移动被异化为机械操作，位值原理与商不变规律的关联断裂。

（二）学习风格与认知偏好

本年龄段学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的“黄金窗口期”。他们擅长在动作操作、图形表征中建构意义，对“为什么”的追问有着天然的探究冲动；同时，同伴互评、小组竞赛等社会化学习形式能显著提升其投入度。【重要】因此，本设计大量嵌入摆硬币、涂方格、移动小数点卡片等具身学习活动，将抽象的“0补位”转化为可视的“格子不足添一格”，使隐性思维显性化。

四、教学目标层级体系

（一）知识与技能

1.理解并掌握“一个数除以小数”的通用算法，能正确进行竖式计算，计算正确率达到90%以上。【基础】

2.能根据数据特征灵活选择转化策略，在“除数化整”与“被除数化整”之间建立等价联系。【重要】

3.能运用本课知识解决两步计算的实际问题，并自觉进行验算。【基础】

（二）过程与方法

1.经历“猜想—验证—归纳”的完整探究过程，体验转化、迁移、建模等数学思想在研究新问题时的工具性价值。【非常重要】

2.在小组交流中能够倾听不同算法，通过比较、辨析实现算法的自我优化与迭代。【重要】

3.能够借助面积模型、数位表等直观工具解释抽象算理，发展多元表征能力。【重要】

（三）情感态度与价值观

1.在解决“中国结”“科技节”等真实问题中，感受数学在生活、科技中的广泛应用，增强数学应用意识。【热点】

2.通过《九章算术》“齐同术”的史料渗透，体会中华优秀传统文化中的数学智慧，增强民族自豪感。【重要】

3.养成书写规范、计算仔细、自觉检验的良好习惯，培育严谨求实的科学态度。【基础】

五、教学重难点精准定位

（一）教学重点

运用商不变规律将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法，并形成程序化计算技能。【高频考点】

（二）教学难点

1.理解当被除数的小数位数少于除数的小数位数时，需在被除数末尾用“0”补足的位值原理。【难点】

2.在竖式书写中，能够规范、正确地完成小数点的二次定位，避免移动位数不一致的错误。【高频考点】

六、教学方法与学法指导矩阵

教法层面实施“三阶驱动”策略：第一阶，以生活化情境制造认知冲突，驱动内在学习动机；第二阶，以问题链（“为什么可以移？”“怎么移才不改变商？”“位数不够怎么办？”）驱动思维进阶；第三阶，以结构化变式题组驱动技能自动化。【非常重要】同时，全程融入“几何直观”支架，将小数点移动转化为数射线上点的平移，使抽象运算获得物理意义的支撑。

学法层面践行“三自”原则：自主尝试——不示范例题，先让学生暴露原始思维；自我修正——借助集体评析、错例诊断，实现认知重构；自觉迁移——在密度计算、工程预算等跨学科任务中主动调用本课策略。【重要】

七、教学环境与资源矩阵

授课地点：多媒体互动教室。硬件资源：交互式电子白板（具备拖拽、缩放、录屏功能）、高清实物展台、学生终端平板电脑（小组共用）。纸质学具：双面印刷百格图学习卡（正面10×10方格，背面空白）、人民币学具袋（含1元、1角、1分硬币模型各10枚）、磁性小数点卡片（可吸附于白板）。数字资源：自制微课《小数点搬家》、GeoGebra动态演示“商不变规律中倍数的伸缩”。【基础】

八、教学实施过程（核心篇幅）

本单元共计3课时，每课时40分钟。以下按课时顺序完整呈现所有教学事件、师生活动、意图解析及重难点突破细节。

（一）第一课时：转化思想的觉醒——除数是小数的除法初探

1.情境引擎：从“做中国结”到“数学建模”（5分钟）

【启动】教师身着带有盘扣的中式服装，手持一根红色丝绳步入教室。“同学们，奶奶想编中国结，每个中国结用丝绳1.5米，现在有7.65米丝绳，最多能做几个？”板书核心数量关系：丝绳总长÷每个用量=个数。学生列式7.65÷1.5。【基础】

【认知冲突引爆】教师追问：“这个算式和我们刚学的‘除数是整数的小数除法’有什么不同？”学生迅速捕捉到“除数是小数”。教师顺势板书课题，并抛出一个极具张力的核心问题：“除数是小数，我们不会；除数是整数，我们会。怎么办？”——将“转化”二字用红色粉笔圈画，形成全课精神统领。【非常重要】

2.自主探索：多元表征中的算理浮现（12分钟）

【操作指令】“请每组利用桌面上的学习材料（百格图、硬币、计算器），想办法求出7.65÷1.5的结果，并记录下你们的思考过程。”

【学情巡诊】教师深入小组，捕捉四种典型路径：

路径A（单位转化）：将7.65米=765厘米，1.5米=150厘米，765÷150=5.1。【重要】

路径B（货币模型）：7.65元=765分，1.5元=150分，765÷150=5.1（借助1元=10角=100分）。

路径C（商不变规律）：7.65÷1.5=（7.65×10）÷（1.5×10）=76.5÷15=5.1。【高频考点】

路径D（直觉竖式）：直接在竖式上划掉小数点，写成765÷150，得5.1，但表述不清。

【集体建构】教师邀请各路径代表上台投影讲解。关键追问设计：

针对路径A/B：“为什么把米化成分米、元化成分，商就不变了？”——引导学生体悟“单位细化导致数值等倍扩大，但份数不变”。

针对路径C：“为什么要同时乘10？乘5可以吗？乘100呢？”——从偶然走向必然，揭示商不变规律中“相同倍数”的本质。【重要】

针对路径D：“你划掉小数点时心里是怎么想的？”——促使内隐思维外显。

【教师点睛】所有方法的共同灵魂都是——将新问题转化成旧知识。【板书核心思想】

3.竖式建模：从生活算法到数学算法（10分钟）

【范写】教师以路径C为原型，在竖式中规范呈现转化过程：

先划去除数1.5的小数点，向右移动一位变成15（红色箭头标注）；被除数7.65的小数点也向右移动一位变成76.5（红色箭头标注）；按76.5÷15计算，商5.1，商的小数点与移动后的被除数小数点对齐。【重要】

【追问深潜】“为什么商的小数点要和76.5的小数点对齐，而不是和原来7.65的小数点对齐？”此问直击算理核心。学生陷入沉思。教师引导：“76.5表示多少个十分之一？5.1表示什么？”学生顿悟：5.1是51个十分之一，与76.5计数单位一致。【难点突破】

【口诀提炼】师生共创：“除数小数化整数，被除数同样变；商的小数点，对齐新被除。”朗朗上口，便于记忆。【基础】

4.分层巩固：形成初步技能（8分钟）

题组设计采用“三阶递进”：

阶一（模仿）：4.68÷1.2，2.24÷0.8。要求先口述转化过程，再笔算。【基础】

阶二（对比）：12.6÷0.3与12.6÷3。左侧竖式计算，右侧口算，比较异同，强化“转化后除数变整，商不变”的意识。【重要】

阶三（说理）：不计算，判断1.28÷0.4与12.8÷4的商是否相等，并说明理由。【高频考点】

【错例急诊】巡视发现典型错误：部分学生将4.68÷1.2转化成468÷12，忘记被除数小数点移动一位后应是46.8。教师立即组织全班辨析：“被除数的小数点到底应该移几位？依据是什么？”二次强化“除数移几位，被除数就移几位”。【重要】

5.悬念结课：为下一课时埋下伏笔（5分钟）

“同学们，如果老师把题目改成12.6÷0.28，除数有两位小数，被除数只有一位，小数点还能顺利地移动吗？被除数‘不够移’怎么办？”学生面露困惑，教师微笑：“下节课我们专门攻克这个难题。”【热点】

（二）第二课时：位值补零——攻克除数位数多于被除数的堡垒

1.前测反馈：暴露真实思维（6分钟）

【开门见山】直接出示12.6÷0.28，指令“独立尝试计算，时间3分钟”。

【真实学情采集】通过实物展台展示三份典型作业：

作品A：12.6÷0.28=126÷28=4.5（将除数移两位，被除数只移一位）。

作品B：12.6÷0.28=1260÷28=45（被除数末尾自觉添0）。

作品C：空白或乱写。

【认知冲突引爆】教师不急于评判，将三份作品并列呈现：“同一个算式，为什么有的得4.5，有的得45？相差10倍！谁对谁错？为什么？”全班瞬间聚焦矛盾。【非常重要】

2.实验探究：用模型解开“补0”之谜（15分钟）

【工具介入】“让我们用人民币来当裁判。”教师发放学具袋：12.6元用1张10元、2张1元、6个1角表示；0.28元用2个1角、8个1分表示。

【任务驱动】“12.6元里面有多少个0.28元？先估一估，再动手分一分。”学生小组合作，很快发现：12.6元=1260分，0.28元=28分，1260÷28=45（个）。【重要】

【回溯竖式】教师引导：“把12.6元写成1260分，相当于在小数末尾添了几个0？为什么要添0？”学生回答：“因为0.28元有两位小数，12.6元只有一位小数，为了把它们都变成整数，就要把12.6看成12.60，小数点向右移两位变成1260。”

【板书规范】教师同步竖式书写：

首先，将除数0.28的小数点向右移动两位，变成28（划去原小数点）；

然后，被除数12.6的小数点也向右移动两位，但只有一位小数，位数不够，就在末尾添一个0，变成1260（划去原小数点，新小数点位置在1260后，通常省略不写）；

最后，计算1260÷28=45。

【口诀升级】在原口诀基础上增补：“位数不够0来补，千万不要随便移。”【难点】【高频考点】

3.算法统摄：构建完整算法模型（8分钟）

师生共同归纳“一个数除以小数”通用程序，并板书于黑板永久保留区：

（1）看：看清除数是几位小数。

（2）移：除数小数点向右移动几位变成整数；被除数小数点也向右移动相同的位数。

（3）补：被除数位数不够时，在末尾用0补足。

（4）算：按照除数是整数的小数除法计算。

（5）验：用乘法验算，检查商是否正确。【基础】

教师强调，步骤（3）是“事故高发区”，必须画圈警示。【非常重要】

4.闯关训练：在错误中学会正确（10分钟）

第一关：基础计算。51.3÷0.27，26÷0.13，8.4÷0.56。【基础】

第二关：火眼金睛。呈现5道错例竖式，涵盖“小数点移错位”“商的小数点位置错误”“补0多余或不足”等典型症状，要求学生充当“数学医生”，写出诊断报告。【重要】

第三关：巧思妙算。出示0.544÷0.16与5.44÷1.6，引导学生发现被除数和除数同时扩大10倍，商不变，但后者的除数位数更少，计算更简便，从而体会“化繁为简”的策略优化。【热点】

5.文化润泽：穿越时空的“齐同术”（6分钟）

“同学们，今天大家发现的这个方法，其实在一千七百多年前，我国古代数学家刘徽在注解《九章算术》时就已经提出，叫作‘齐同术’。”教师播放30秒微视频，介绍刘徽将分数除法中的分子分母同时扩大相同倍数，使之可以相除。学生惊叹古人的智慧，数学课堂弥漫文化的气息。【重要】

（三）第三课时：模型迁移与跨学科实践

1.问题串：真实情境中的除法模型（5分钟）

以“校园科技节”为统摄情境，呈现三个具有科学背景的子任务：

任务A（工程）：一卷铁丝长4.5米，制作一个航模骨架需0.15米，最多可制作几个？

任务B（化学）：一瓶盐水试剂重1.25千克，每份实验用量0.25千克，可分给几个小组？

任务C（信息）：一份电子稿件3.6万字，每页排0.18万字，需要排多少页？【热点】

学生独立列式并口答转化过程，教师重点追问：“为什么这些不同的情境，列出的算式都是‘一个数除以小数’？它们共同的数学模型是什么？”引导学生抽象出“总数÷每份数=份数”。【非常重要】

2.分层任务群：因材施教，人人发展（15分钟）

A层（技能巩固）：完成教材练习七第4-6题，要求竖式计算并用乘法验算。【基础】

B层（应用建模）：解决上述科技节任务，并选择其中一个情境，改编成一道需要用“补0”法计算的应用题。【重要】

C层（规律探究）：比较a÷0.1、a÷0.5、a÷0.25与a×10、a×2、a×4的结果，发现“除以一个小于1的数，相当于乘它的倒数”这一深层规律，为六年级学习分数除法埋下伏笔。【非常重要】

【实施策略】学生根据自我评估选择层级任务，教师重点介入A层学困生的“补0”易错点，对C层优等生则鼓励他们用字母表达发现。

3.错例博物馆：从错误中学习（10分钟）

教师展示从学生前两课时作业中采集的真实错例，隐去姓名，制成“错例博物馆”展板：

错例1：4.48÷3.2=14（被除数小数点未移动，直接按整数除法计算）。

错例2：0.63÷0.7=0.9（结果正确，但竖式中划去小数点后写成63÷70，教师引导学生思考：这样写虽然也能得到0.9，但过程不规范，容易引发后续错误）。

错例3：7.05÷0.94=7.5（被除数本应移动两位，学生只移动一位，写成70.5÷94）。

【集体会诊】每出示一例，先让学生找出错误，再说说“如果是你，会怎样避免”。通过同伴教育，将“一看二移三算四补”的口诀内化为行为习惯。【高频考点】

4.跨学科融合：当数学遇见科学（8分钟）

【情境切换】“大家知道吗？科学家常常用除法来鉴别物质的种类。”教师展示一组金属密度数据：铁7.87克/立方厘米，铝2.70克/立方厘米，铜8.96克/立方厘米。

【实验模拟】“小明在实验室测得一块金属质量7.85克，体积0.95立方厘米，请你计算它的密度，并对照表格判断它可能是什么金属。”学生计算7.85÷0.95≈8.26克/立方厘米，与纯铁密度7.87接近但略高。

【思维进阶】教师介绍：“测量会有误差。8.26与7.87的差是0.39，相对误差约5%，这在物理实验中是允许的。如果某次计算结果是11.3克/立方厘米，你还敢说它是铁吗？”学生大笑，同时深刻体会到数学在科学探究中的工具价值。【重要】

【拓展任务】课后利用家庭中的食品包装，记录“净含量”与“单价”，计算每克或每毫升的价格，比较哪种包装更划算。将数学运算融入消费决策，培养理性消费观。【热点】

5.知识建构：绘制单元思维图谱（7分钟）

教师带领学生回顾三课时的学习历程，并在黑板右侧逐步生成单元知识网络：

核心思想：转化（商不变规律）

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基本操作：移小数点→整数除法

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特殊处理：位数不够，末尾补0

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应用拓展：生活问题、科学问题、购物决策

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文化视角：古代“齐同术”

学生拿出白纸独立绘制个性化的知识树，教师选取优秀作品投影展示，强化结构化的认知图式。【重要】

九、教学评价体系建构

本设计摒弃单一纸笔测验，实施“三维四阶”增值评价。【非常重要】三维指：运算技能维度（正确率与速度）、算理理解维度（口头表述与图示说明）、应用意识维度（问题解决与模型识别）。四阶指：模仿阶、理解阶、运用阶、创造阶。课堂中通过观察、提问、练习即时采集证据，课后配套“2+1”弹性作业（2道必做题，1道选做挑战题）。单元结束时组织“转化思想小讲师”评比，学生自愿录制3分钟讲题视频，发布于班级数学论坛，家长、学生均可点赞点评