材料力学（I）（第5版）课件 ch5 弯曲内力、ch6 弯曲应力

第

5

章弯曲内力单辉祖：材料力学Ⅰ单辉祖：材料力学Ⅰ第

5

章弯曲内力

直梁弯曲内力

载荷与弯曲内力间的微分关系

刚架与曲梁的弯曲内力本章主要研究:单辉祖：材料力学Ⅰ

§1

引言

§2

梁的约束与类型

§3

剪力与弯矩

§4

剪力、弯矩方程与图

§5

FS,M

与

q

间的微分关系

§6

刚架与曲梁的内力单辉祖：材料力学Ⅰ§1

引言

弯曲实例

弯曲及其特征单辉祖：材料力学Ⅰ

弯曲实例单辉祖：材料力学Ⅰ

弯曲及其特征外力或外力偶矢量垂直于杆轴变形特征杆轴由直线变为曲线弯曲与梁以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲以弯曲为主要变形的杆件－梁外力特征画计算简图时，通常以轴线代表梁计算简图单辉祖：材料力学Ⅰ§2

梁的约束与类型

约束形式与反力

梁的类型单辉祖：材料力学Ⅰ

约束形式与反力主要约束形式与反力

固定铰支座：支反力

FRx与

FRy

可动铰支座：垂直于支承平面的支反力

FR

固定端：支反力

FRx,FRy与矩为

M

的支反力偶单辉祖：材料力学Ⅰ

梁的类型

简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁

外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁

悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁常见静定梁约束反力数超过独立平衡方程数的梁－静不定梁单辉祖：材料力学Ⅰ§3

剪力与弯矩

剪力与弯矩

正负符号规定

剪力与弯矩计算

例题单辉祖：材料力学Ⅰ

剪力与弯矩

作用线位于横截面并通过其形心的内力－剪力矢量位于横截面的内力偶矩－弯矩分析横向外力作用下横截面m-m上的内力横截面上：一内力，一内力偶。外力向形心C简化

得主矢F’R与主矩MC单辉祖：材料力学Ⅰ

正负符号规定

使微段沿顺时针方向转动的剪力为正使微段弯曲呈凹形或顶部缩短的弯矩为正单辉祖：材料力学Ⅰ

剪力与弯矩计算

在保留段上,与正FS反向的横向力为正,与正M反向的力矩为正

解法一

解法二计算横截面m-m上的FS与M

上述方程表明：剪力等于切开面一侧所有横向外力的代数和；弯矩等于该侧所有外力对切开面形心之矩的代数和。

单辉祖：材料力学Ⅰ

例题

例题

试计算横截面D与A+的剪力与弯矩

解：

支反力计算

截面D的剪力与弯矩

截面A+的剪力与弯矩单辉祖：材料力学Ⅰ§4

剪力、弯矩方程与图

剪力与弯矩方程

剪力与弯矩图

例题单辉祖：材料力学Ⅰ

剪力与弯矩方程

FS与M

沿杆轴（x轴）变化的解析表示式－剪力方程－弯矩方程

单辉祖：材料力学Ⅰ

剪力与弯矩图在x-FS与x-M坐标面内，剪力与弯矩沿梁轴变化的图线,分别称为剪力图与弯矩图。二次抛物线－直线

剪力方程与图

弯矩方程与图单辉祖：材料力学Ⅰ

例题例

题

建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图解：1.支反力计算2.建立剪力与弯矩方程AC段CB段单辉祖：材料力学Ⅰ3.画剪力与弯矩图

剪力图:

弯矩图:

最大值:4.剪力与弯矩图特点在F作用处，左右横截面的弯矩相同,剪力值突变单辉祖：材料力学Ⅰ解：1.支反力计算2.建立剪力与弯矩方程AB

段BC

段例题

建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图单辉祖：材料力学Ⅰ3.画剪力与弯矩图4.剪力与弯矩图特点在Me作用处,左右横截面的剪力相同,弯矩值突变

剪力图：

弯矩图：

剪力弯矩最大值:单辉祖：材料力学Ⅰ例题

载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩解：1.

FS与

M

图2.FS与

M

的最大值单辉祖：材料力学Ⅰ§5

载荷集度、剪力与弯矩间

的微分关系

FS,M与q

间的微分关系

利用微分关系画

FS与

M图

微分关系法画FS与

M图要点

FS,M与m间的微分关系单辉祖：材料力学Ⅰ

FS,M与q

间的微分关系注意：q向上为正；x

向右为正梁微段平衡方程单辉祖：材料力学Ⅰ零或非零均布载荷下的FS与

M

图直线

2次凹曲线

2次凸曲线

利用微分关系画

FS与M图单辉祖：材料力学Ⅰq=0,FS图－水平直线例题图示梁，试利用微分关系画剪力与弯矩图解：

例题FS=常数,M

图－斜直线2.画剪力图在x-FS平面,对应a点,过a点作水平直线,即得FS图3.画弯矩图在x-M平面,上述弯矩分别对应b与c点,连直线bc,即得M图1.支反力单辉祖：材料力学Ⅰ例题

画剪力与弯矩图斜线ql/80ql2/16ql/8-3ql/8ql2/160解：1.FS与M图形状2.FS与M计算单辉祖：材料力学Ⅰ9ql2/1283.画FS与M图斜线ql/80ql2/16ql/8-3ql/8ql2/160单辉祖：材料力学Ⅰ例题画组合梁的剪力与弯矩图解：1.问题分析

组合梁,需拆开,以分析梁的受力

承受集中载荷,FS

与

M

图由直线构成2.受力分析单辉祖：材料力学Ⅰ注意：铰链传力不传力偶矩,

在与铰相连的两横截面上,M=0,FS不一定为零3.画FS

图各杆段均为水平直线4.画M

图各杆段均为直线单辉祖：材料力学Ⅰ解:1.外力分析例题

建立剪力弯矩方程,画剪力弯矩图,用微分关系校核2.

建立剪力与弯矩方程单辉祖：材料力学Ⅰ3.画剪力与弯矩图q0l2/(93)

,M图为凸曲线

FS=0处,M

图存在极值

q=0处,FS

图存在极值4.微分关系检查与补充单辉祖：材料力学Ⅰ

利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状，

直线？上倾？下倾？曲线？凹？凸？

计算各梁段起点、终点与极值点等截面的剪力与弯矩

将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图

在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直线所构成

在均布载荷作用下，剪力图为直线，弯矩图为二次曲线，其凹凸性由均布载荷的正负确定

微分关系法画剪力、弯矩图的要点

相邻梁段相连两截面处的剪力与弯矩图，连续？非连续？突变量？光滑？非光滑？单辉祖：材料力学Ⅰ

FS,M与m间的微分关系注意：m-顺时针为正；x-向右为正m-单位长度上的力偶,称为分布力偶集度单辉祖：材料力学Ⅰ解:

1.画剪力与弯矩图例题图示简支梁;承受集度为m的均布力偶作用,试画剪力与弯矩图,并利用相应微分关系校核。2.

校核剪力与弯矩图画剪力与弯矩图

建立剪力与弯矩方程：

单辉祖：材料力学Ⅰ§6

刚架与曲梁的内力

刚架内力

曲梁内力

例题单辉祖：材料力学Ⅰ单辉祖：材料力学Ⅰ37

刚架内力刚架用刚性接头连接杆件组成的杆系结构

限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移

可传力，也可传递力矩刚架内力一般存在三内力分量:轴力;剪力

;弯矩单辉祖：材料力学Ⅰ

例题解：1.外力分析2.建立内力方程BC段：AB段：例

题

试画刚架的内力图单辉祖：材料力学Ⅰ3.画内力图弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受压一侧弯矩图特点：如刚性接头处无外力偶，则弯矩连续单辉祖：材料力学Ⅰ解：例

题

画刚架的轴力与弯矩图,各杆段的长度均为a。单辉祖：材料力学Ⅰ

曲梁内力平面曲梁－以弯曲为主要变形的平面曲杆平面曲梁内力平面曲杆－轴线为平面曲线、且截面纵向对称轴位于轴线平面的曲杆－轴力、剪力与弯矩单辉祖：材料力学ⅠM－使曲梁微段愈弯的弯矩为正FS，FN－正负符号规定同前

内力计算

正负符号规定与弯矩对应的点,画在横截面弯曲受压一侧的法线上

画弯矩图轴线单辉祖：材料力学Ⅰ

例题例题

试绘图示刚架的弯矩图解：第

6

章弯曲应力单辉祖编著：材料力学Ⅰ第

6

章弯曲应力单辉祖：材料力学Ⅰ45

对称弯曲正应力

对称弯曲切应力

梁的强度条件与合理设计

非对称弯曲应力本章主要研究：

§1

对称弯曲正应力

§2

惯性矩与平行轴定理

§3对称弯曲切应力

§4梁的强度条件

§5梁的合理强度设计

§6

非对称弯曲应力单辉祖：材料力学Ⅰ46§1

对称弯曲正应力

引言

弯曲试验与假设

对称弯曲正应力公式

例题单辉祖：材料力学Ⅰ47

引言单辉祖：材料力学Ⅰ48弯曲应力弯曲正应力－梁弯曲时横截面上的正应力弯曲切应力－梁弯曲时横截面上的切应力对称弯曲对称截面梁,在纵向对称面承受横向载荷时的受力与变形形式－对称弯曲

弯曲试验与假设单辉祖：材料力学Ⅰ49弯曲试验单辉祖：材料力学Ⅰ50弯曲变形交互式动画,演示正或负弯矩及其大小变化下梁的变形或通过按钮点击画面单辉祖：材料力学Ⅰ51试验现象

横线为直线，仍与纵线正交，横线间相对转动弯曲假设

梁弯曲时，横截面保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设（纯弯与正弯矩作用）

靠顶部纵线缩短，截面宽度增大,靠底部纵线伸长,

截面宽度则减小

各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设单辉祖：材料力学Ⅰ52推论

梁内存在一长度不变的过渡层－中性层中性层与横截面的交线－中性轴

横截面间绕中性轴相对转动

中性轴⊥截面纵向对称轴

对称弯曲正应力公式单辉祖：材料力学Ⅰ53公式的建立

几何方面:

物理方面:

静力学方面:单辉祖：材料力学Ⅰ54(a)

(b)中性轴通过横截面形心(a)

(c)(d)

(a)－抗弯截面系数(d)－惯性矩单辉祖：材料力学Ⅰ55结论中性轴过截面形心

中性轴位置：

正应力公式：

中性层曲率：,对称弯曲

应用条件：总

结假设平面假设,单向受力假设综合考虑三方面单辉祖：材料力学Ⅰ56几个易混淆的概念

对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式

中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的坐标轴

弯曲刚度－梁截面抵抗弯曲变形的能力

抗弯截面系数－梁截面几何性质对弯曲强度的影响

中性轴与形心轴

对称弯曲与纯弯曲

截面弯曲刚度与抗弯截面系数纯弯曲－梁或梁段各横截面的剪力为零、弯矩为常数的受力状态

例题单辉祖：材料力学Ⅰ57例题

梁用№18工字钢

制成,Me=20kN•m,E=200GPa,

试求最大弯曲正应力smax，梁轴曲率半径

r解：工字钢：一种规范化、系列化的工字形截面标准钢材№18工字钢：单辉祖：材料力学Ⅰ582.

弯矩计算例题已知钢带厚

d=2mm,宽

b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。试计算带内的

smax与

M解：1.

应力计算单辉祖：材料力学Ⅰ59解：例题矩形截面梁,材料单向受力时,

,k为材料常数,试根据平面假设与单向受力假设建立弯曲正应力公式。

根据平面假设,由静力学可知，由此得弯曲正应力为将式(a)代入上式,分别得：于是得：中性轴通过截面形心；§2

惯性矩与平行轴定理

静矩与惯性矩

简单截面惯性矩

平行轴定理

例题单辉祖：材料力学Ⅰ60

静矩与惯性矩单辉祖：材料力学Ⅰ61静矩惯性矩截面对z轴的静矩截面对z轴的惯性矩组合截面：组合截面：

简单截面惯性矩单辉祖：材料力学Ⅰ62矩形截面惯性矩圆形截面惯性矩单辉祖：材料力学Ⅰ63三角形截面惯性矩

平行轴定理单辉祖：材料力学Ⅰ64Cy0z0－形心直角坐标系Oyz－任意直角坐标系

截面对于任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴的惯性矩,

加上截面面积与两轴间距离平方之乘积，称为惯性矩平行轴定理。二者平行

例题单辉祖：材料力学Ⅰ65例题

已知

F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm

试求截面B-B

的最大拉应力st,max与压应力sc,max解：1.弯矩计算2.形心位置计算由矩形

1

与

2

组成的组合截面单辉祖：材料力学Ⅰ663.惯性矩计算4.最大弯曲正应力单辉祖：材料力学Ⅰ67例题

图示半径为R的半圆截面,试求截面对水平形心轴

z0的惯性矩解：2.惯性矩计算1.形心位置单辉祖：材料力学Ⅰ68d最佳值：解：未切削时：切削后：例题

图示正方形截面,为提高Wz,试求切削高度d的最佳值dopt。§3

对称弯曲切应力

矩形截面梁弯曲切应力

薄壁与圆形截面梁弯曲切应力

弯曲正应力与弯曲切应力比较

例题单辉祖：材料力学Ⅰ69

矩形截面梁的弯曲切应力单辉祖：材料力学Ⅰ70假设：t

(y)

//

截面侧边,并沿截面宽度均匀分布狭窄矩形截面梁

(h>b)

Sz(w)－坐标y一侧截面

w

对中性轴

z的静矩弯曲切应力公式

适用于对称弯曲梁横截面上任意闭合区域

w单辉祖：材料力学Ⅰ71单辉祖：材料力学Ⅰ72截面翘曲与非纯弯推广

切应变非均布

截面翘曲（aba'b'（=,弯曲

s仍保持线性分布切应力非均布

当梁上作用横向分布载荷时,只要

l>

5h,纯弯正应力公式仍足够精确当FS=常数时，

薄壁与圆形截面梁的弯曲切应力单辉祖：材料力学Ⅰ73工字形薄壁梁假设:t//腹板侧边,并沿其厚度均匀分布w－y下侧部分截面对中性轴

z的静矩单辉祖：材料力学Ⅰ74盒形薄壁梁ww－y下侧部分截面对中性轴

z的静矩假设:t//腹板侧边,并沿腹板厚度均匀分布单辉祖：材料力学Ⅰ75圆形截面梁分析表明，最大弯曲切应力仍发生在中性轴上，并可近似认为沿中性轴均匀分布

弯曲正应力与弯曲切应力比较单辉祖：材料力学Ⅰ76当l>>h时，smax>>tmax

例题单辉祖：材料力学Ⅰ77例题FS=15kN,Iz=8.8410-6m4,b=120mm,d=20mm,yC

=45mm。求

tmax,腹板与翼缘交接处切应力ta解：可通过计算切应力ta?

单辉祖：材料力学Ⅰ78

－截面

w1对中性轴

z的静矩例题螺钉沿梁轴等距离排列,梁段剪力FS,分析螺钉受力解：

－截面

w2对中性轴

z的静矩铅垂钉子水平钉子单辉祖：材料力学Ⅰ79例题图示截面组合梁,由上、下盖板与左、右腹板胶接而成,试计算胶缝切应力tg。解：§4

梁的强度条件

梁危险点处的应力状态

梁的强度条件

例题单辉祖：材料力学Ⅰ80

梁危险点处的应力状态单辉祖：材料力学Ⅰ81d三类应力状态：单向应力；纯剪切；s与t联合作用

梁的强度条件单辉祖：材料力学Ⅰ82

弯曲正应力强度条件：

弯曲切应力强度条件：[t]-材料纯剪切许用切应力[s]-材料单向应力许用应力强度条件的应用

细长非薄壁梁

短而高梁、薄壁梁、M小FS大的梁或梁段梁的强度条件

对一般薄壁梁，还应考虑

s与t

联合作用下的

强度问题（详见强度理论）

例题单辉祖：材料力学Ⅰ83例题简易吊车梁，F=20kN，l=6m，[s]=100MPa，

[t]=60MPa，选择工字钢型号。解：1.危险状态分析移动载荷问题

载荷接近支座时,剪力值最大

载荷位于梁中点时,

弯矩值最大单辉祖：材料力学Ⅰ842.按弯曲正应力条件选截面选№22a,Wz=3.09×10-4m43.校核梁的剪切强度№22a：单辉祖：材料力学Ⅰ85例题铸铁梁,

y1

=45mm,y2

=95mm,[st]=35MPa,[sc]=140MPa，Iz=8.8410-6m4，校核强度解：MD－最大正弯矩MB－最大负弯矩危险截面－截面D,B单辉祖：材料力学Ⅰ86危险点－a,b,c截面D截面B§5

梁的合理强度设计

合理截面形状

合理截面变化

合理加载与约束设置单辉祖