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文档简介

高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)

专题03函数及其表示

基础知识复习

1.函数与映射

函数映射

两个集合

设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合

A,B

如果按某一个确定的对应关系f,使

如果按照某种确定的对应关系f,使对

对应关系对于集合A中的任意一个元素x,在

于集合A中的任意一个数x,在集合B

f:A→B集合B中都有唯一确定的元素y与之

中都有唯一确定的数f(x)和它对应

对应

称f:A→B为从集合A到集合B的一称f:A→B为从集合A到集合B的一

名称

个函数个映射

函数记法函数y=f(x),x∈A映射:f:A→B

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函

数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

(2)函数的三要素:定义域、对应关系和值域.

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

3.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函

数.

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个

部分组成,但它表示的是一个函数.

【知识拓展】

简单函数定义域的类型

(1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合;

(2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合;

(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合;

(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0};

(5)指数函数的底数大于0且不等于1;

π

x≠kπ+,k∈Z

(6)正切函数y=tanx的定义域为x|2.

典型习题强化

1.若函数的定义域为R,则a的范围是()

2

A.��=��−��+1B.

C.0,4D.0,4

【答案0,4】D0,4

【解析】

若的定义域为R,则当时,满足题意;

当��时,�=,0解得:��=1;

�>0

�≠020<�≤4

当时,无Δ法=满�足−定4义�≤域0为R.

综上�<所0述:,D正确.

故选:D0≤�≤4

2.已知是定义在R上的奇函数,且,当时,,则()

A.2��B.-2�(�+C4.)=0�(�)�∈(0,2)D.�(�)=2�−2021=

【答案】B2

【解析】

由题意,的周期为4,又是定义在R上的奇函数,

所以����.

故选:�(B−.2021)=−�(2021)=−�(4×505+1)=−�(1)=−2

3.下列四组函数中,表示相等函数的一组是()

A.,B.,

222

��=���=���=���=�

C.,D.,

2

�−12

【答�案�】=A�−1��=�+1��=�+1⋅�−1��=�−1

【解析】

对于A,与定义域均为,,与为相等函数,A正确;

2

对于B,∵��定义�域�为,定R义域�为=�∴,���与�不是相等函数,B错误;

对于C,∵��定义域为R��,定义0,域+为∞,∴��与��不是相等函数,C错误;

∵����≠1��R∴����

对于D,定义域为,定义域为,与不是相等函数,D错

误.∵��1,+∞��−∞,−1∪1,+∞∴����

故选:A.

4.函数定义域为()

0

��−1

A.��=lne−B2.+2−�C.D.

【答案1,2】Cln2,2ln2,1∪1,2ln2,1∪1,2

【解析】

解:因为,

0

��−1

��=lne−2+2−�

所以�,解得且,

e−2>0

�−1≠0ln2<�<2�≠1

所以函2数−的�>定0义域为;

故选:Cln2,1∪1,2

5.下列各组函数中,表示同一函数的是()

A.与B.与

2

�+�2

�(�)=�+1�(�)=�−1��=2���=4�

C.与D.与

222

【答�案�】=B���=��=�+1�−1�=�−1

【解析】

A中,的定义域为,的定义域为R,故A错误;

B中,�(�){�|�≠−1},B�(正�)确;

2

C中,��的=定义4�域=为2R�,=�(�的)定义域为,故C错误;

D中,�(�)的定�(义�)域为[0,,+由∞)可得的定义域为

22

,D�错=误.�+1�−1[1,+∞)�−1≥0�=�−1(−∞,−1]∪[1,+

∞故)选:B

6.已知函数,则的值是()

log2��>01

��=���4

3�≤0

A.B.C.D.

11

99

【答−案9】D9−

【解析】

解:由题知,,.

111−21

4244

故选:D�=log=−2��=�−2=3=9

7.已知,若,则()

1

�2�−1=2�+3��=5�=

A.B.C.D.

1111

4422

【答−案】C−

【解析】

设,因为

11

所以2�−1=�,�2�−1=2�+3

又�(�)=,4所�+以7,

所以��=5.4�+7=5

1

2

故选:�=C−.

.已知函数,则方程的实数根的个数为()

8�

2−1,�≤2

��=2���=1

�−1,�>2

A.B.C.D.

【答7案】B532

【解析】

令,则,

①�当(�)=时�,�(�)=1,,,即,

|�||�|

②当�⩽2时,2−1=,1∴2,=2∴|�|=1�=±1

2

画出函�>数2的�−图1象=,1如∴图�所=示3,

�(�)

若,即,无解;

若�=−,1直线�(�)=−1与的图象有3个交点,即有3个不同实根;

若�=1,直线�=�=1与�=�(�)的图象有2个交点,即���=1有2个不同实根;

综上�=所3述,方程�=�=3�的=实�(数�)根的个数为5个,���=1

故选:.�[�(�)]=1

9.拟定B从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位:元)由函数给出,其

3.71,0<�≤4

��=

中是不小于m的最小整数,例如,,那么从甲地到1.乙06地×通0话.55�分+钟1的,话�费>为4()

A.�3.71元B.4.24元2=2C1..241.7=元2D.7.95元

【答案】B

【解析】

由是不小于的最小整数可得,

所以��5.2=6,

故从甲�(5地.2到)=乙1地.0通6话×(50.分5×钟6的+话1费)=为14.0.264×元4.=4.24

故选:.

10.已知B,,若,则的最值是()

2��,��≥��

��=3−2���=�−2���=��

A.最大值为3,最小值B.最大值为��,��,无<最�小�值C.最大值为3,无最小

值D−.1无最大值,最小值为7−27

【答案】B−1

【解析】

解:根据已知条件,可以求出,,

3+2��≤2−7

2,

��=�−2�2−7<�<3

如图所示,在A处取得最大值,没3有−最2小�值.�≥3

由�(�)得.

2

所以3+有2最�大=值�−2��,�无=最2−小值7.,∴��=3+2��=7−27

故选:B.7−27

11.已知符号函数,下列说法正确的是()

1,�>0

sgn�=0,�=0

A.函数是奇函数−1,�<0

B.函数�=sgn�是奇函数

C.函数�=2sgn�的值域为

D.函数�=2sgn�的值域为−1,0∪1,+∞

【答案】�A=C2sgn�1,+∞

【解析】

对于A,由题意的图象关于原点对称,是奇函数,故A正确,

�=sgn�

对于B,因为�,当时,,当时,,所以函数

�2,�>01�

�=2⋅sgn�=0,��=0�=1�=2�=−1�=−2�=2⋅sgn�

不是奇函数,故B错误;−2,�<0

对于C,D,因为当时,,时,,时,所以函数

的值域为�∈0,.+故∞C正确�,∈D1,错+误∞�∈−∞,0�∈−1,0�=0�=0

故选:AC−1,0∪1,+∞

12.已知函数,则()

�−1,�≥�,

��=2�∈R

A.任意,函数−(�的+值1域),为�<�

B.任意�∈R,函数��都有零点R

C.任意�∈R,存在�函�数满足

D.当�∈R时,任�意��−�=��

【答案�】∈BD−∞,−4�1≠�2,�1−�2��1−��2>0

【解析】

设函数和的左右两交点坐标为,

�2

对于选项�=A�,由−1图像�可=知−,(�当+1)时,的值域不为(�1,,�1故)A(�错2,误�2)

对于选项B,由图像可知,无论�<a�取1何值�,(�函)数都有�零点,故B正确

对于选项C,当时,��由图像可知

所以不存在函数�>0满足�(−�)=�(−�)�(−−�)=�(−�)�(−�)≠�(�)

对于选项D,若��,�−�,因=为��为增函数,所以对于任意

2

成立�1<��2<��=−(�+1)�1≠�2,�1−�2��1−

�若�2>,0因为为增函数,所以对于任意成立

当�1,>�不�在2同>一�区间�时=,�因−为1,所以�1≠�2,�1−的�图2像�在�1−��2>0的图

�2

�1�2�∈−∞,−4�=�−1(�>�)�=−(�+1)(�<�)

像的上方,所以也满足对于任意成立

故D正确�1≠�2,�1−�2��1−��2>0

故选:BD

13.高斯是德国著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德,牛顿并列为世

界三大数学家,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,例如,.则

下列说法正确的是([�])�=[�][−2.1]=−3[2.1]=2

A.函数在区间()上单调递增

B.若函数�=�−[�],则[�,�+1)�的∈值Z域为

sin�

�−�

e−e

C.若函数�(�)=�=[�(�)],则{0}的值域为

D.,�(�)=|1+sin2�−1−sin2�|�=[�(�)]{0,1}

【答�案∈】RAC�≥[�]+1

【解析】

对于A,,,有,则函数在上单调递增,A正确;

�∈[�,�+1)�∈Z[�]=��=�−[�]=�−�[�,�+1)

对于B,3�,则,B不正确;

3�sin213�

3�3�3�3�

�(2)=2−2=−2−2∈(−1,0)[�(2)]=−1

对于C,e−ee−e,

22

−)1−sin2�

当�(�)=(时,1+sin2�1−sin2�,=2−2,有=2−,2|cos2�|

1

0≤|cos2�|≤21≤2−2|cos2�|≤21≤�(�)≤2[�(�)]=1

当时,,,有,的值域为,C正

1

确;2<|cos2�|≤10≤2−2|cos2�|<10≤�(�)<1[�(�)]=0�=[�(�)]{0,1}

对于D,当时,,有,D不正确.

故选:AC�=2[�]+1=32<[2]+1

14.已知函数是增函数,则实数a的取值范围是______.

2−��−1,�≤5

��=�−5

【答案】�,�>5

8

【解析】5,2

解:∵是定义域R上的增函数,

��

∴,

2−�>0

�>10

2−�×5−1≤�

即,解得:,

�<28

�>815≤�<2

5

∴实�数≥a的取值范围为.

8

5,2

故答案为:.

8

5,2

15.设.若,则__________.

�,0<�<2

��=��=��+2�=

【答案】3�−2,�≥2

1

【解析】9

由在上递增,在上递增,

所以�=,由�(0,2),�则=3(�−2),(2,+∞)

故�,�可=得��+.20<�<2

1

�=3��=9

故答案为:

1

9

16.已知为定义在上的增函数,且任意,均有,则_____.

11

�(�)(0,+∞)�>0���+�=���(1)=

【答案】

1−5

【解析】2

设,

令�(1)=得�:;

11

�=1��1+1=�1⇒��+1=�

令得:,

1111

因为�=�+为1定义在���+1上+的�增+1函=数�,�+1⇒��+�+1=�=�1

所以�(�)(0,+∞),

111±5

�+�+1=1⇒�=2

当时,由或矛盾.

1+51

�1=�=21+�>1⇒�1+�>�1⇒�>�⇒�<−10<�<1

故.

1−5

�1=�=2

故答案为:

1−5

17.已知函数2.

2

(1)若函数定义�域(�为)=,求−��的取+2值�范+围5;

(2)若函数值域为�,�求的取值范围.

[0,+∞)�

【答案】(1)

1

(−∞,−5]

(2)

1

【解−析5】,0

(1)函数定义域为,

∵�对任意都成立,

2

∴当−��+时2,�+5⩾0显然�不∈恒R成立,不合题意;

当�=0时,由2�二+次5⩾函0数的性质可知,需满足,解得,

1

−�>0

�≠0�⩽−5

综上,实数的取值范围为Δ=4+20�⩽0

1

5

(2)函数值域�为,(−∞,−]

∵[0,+∞)能取遍所有正数,

2

1∴:�(�)=−��+2�,+解5得,

1

−�>0

−5⩽�<0

2:Δ=4,+20�⩾0符合题意

实�数=的0取�值(�范)围=为2�+5

1

∴�−5,0

18.已知函数.

1

�+2

(1)求函数的定�义(�域);=�+3+

(2)求的值;

2

3

(3)当�−时,求,的值.

【答案�>】(01)��且��−1

(2){�|�≥−3�≠−2}

213

3+4

(3),

11

【解�析+】3+�+2�+2+�+1

(1)由题意,解得且,

�+3≥0

�≥−3�≠−2

函数的�+定2义≠域0为且.

(∴2)��{�|�≥−3.�≠−2}

221213

2

�−3=3−3+2−3=3+4

(3),.

111

��=�+3+�+2��−1=�−1+3+�−1+2=�+2+�+1

19.已知且,,,.

1

��ℎ�=�

(1)求�>0�≠1的�定�义=域lo;g1+���=log1−�

(2)已知��+�,�请+比ℎ较�与�的大小关系.

【答案】�0(1∈)�;��0��0

(2)当时0,,1;当时,.

【解析�>】1��0>��00<�<1��0<��0

(1)依题意,应满足,解得,

1+�>0

�1−�>00<�<1

∴函数�>0的定义域D=;

(2)当��+�时�,+有ℎ�,0,1

①当�0∈时0,1,函数1+�0>单1调−递�增0,∴;

②当�>1时,�函=数log��单调递减�,�∴0>��0.

20.已0知<函�<数1

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