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文档简介
高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)
专题03函数及其表示
基础知识复习
1.函数与映射
函数映射
两个集合
设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合
A,B
如果按某一个确定的对应关系f,使
如果按照某种确定的对应关系f,使对
对应关系对于集合A中的任意一个元素x,在
于集合A中的任意一个数x,在集合B
f:A→B集合B中都有唯一确定的元素y与之
中都有唯一确定的数f(x)和它对应
对应
称f:A→B为从集合A到集合B的一称f:A→B为从集合A到集合B的一
名称
个函数个映射
函数记法函数y=f(x),x∈A映射:f:A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函
数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)函数的三要素:定义域、对应关系和值域.
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
3.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函
数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个
部分组成,但它表示的是一个函数.
【知识拓展】
简单函数定义域的类型
(1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合;
(2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合;
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合;
(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0};
(5)指数函数的底数大于0且不等于1;
π
x≠kπ+,k∈Z
(6)正切函数y=tanx的定义域为x|2.
典型习题强化
1.若函数的定义域为R,则a的范围是()
2
A.��=��−��+1B.
C.0,4D.0,4
【答案0,4】D0,4
【解析】
若的定义域为R,则当时,满足题意;
当��时,�=,0解得:��=1;
�>0
�≠020<�≤4
当时,无Δ法=满�足−定4义�≤域0为R.
综上�<所0述:,D正确.
故选:D0≤�≤4
2.已知是定义在R上的奇函数,且,当时,,则()
�
A.2��B.-2�(�+C4.)=0�(�)�∈(0,2)D.�(�)=2�−2021=
【答案】B2
【解析】
由题意,的周期为4,又是定义在R上的奇函数,
所以����.
故选:�(B−.2021)=−�(2021)=−�(4×505+1)=−�(1)=−2
3.下列四组函数中,表示相等函数的一组是()
A.,B.,
222
��=���=���=���=�
C.,D.,
2
�−12
【答�案�】=A�−1��=�+1��=�+1⋅�−1��=�−1
【解析】
对于A,与定义域均为,,与为相等函数,A正确;
2
对于B,∵��定义�域�为,定R义域�为=�∴,���与�不是相等函数,B错误;
对于C,∵��定义域为R��,定义0,域+为∞,∴��与��不是相等函数,C错误;
∵����≠1��R∴����
对于D,定义域为,定义域为,与不是相等函数,D错
误.∵��1,+∞��−∞,−1∪1,+∞∴����
故选:A.
4.函数定义域为()
0
��−1
A.��=lne−B2.+2−�C.D.
【答案1,2】Cln2,2ln2,1∪1,2ln2,1∪1,2
【解析】
解:因为,
0
��−1
��=lne−2+2−�
所以�,解得且,
e−2>0
�−1≠0ln2<�<2�≠1
所以函2数−的�>定0义域为;
故选:Cln2,1∪1,2
5.下列各组函数中,表示同一函数的是()
A.与B.与
2
�+�2
�(�)=�+1�(�)=�−1��=2���=4�
C.与D.与
222
【答�案�】=B���=��=�+1�−1�=�−1
【解析】
A中,的定义域为,的定义域为R,故A错误;
B中,�(�){�|�≠−1},B�(正�)确;
2
C中,��的=定义4�域=为2R�,=�(�的)定义域为,故C错误;
D中,�(�)的定�(义�)域为[0,,+由∞)可得的定义域为
22
,D�错=误.�+1�−1[1,+∞)�−1≥0�=�−1(−∞,−1]∪[1,+
∞故)选:B
,
6.已知函数,则的值是()
,
log2��>01
��=���4
3�≤0
A.B.C.D.
11
99
【答−案9】D9−
【解析】
解:由题知,,.
111−21
4244
故选:D�=log=−2��=�−2=3=9
7.已知,若,则()
1
�2�−1=2�+3��=5�=
A.B.C.D.
1111
4422
【答−案】C−
【解析】
设,因为
11
所以2�−1=�,�2�−1=2�+3
又�(�)=,4所�+以7,
所以��=5.4�+7=5
1
2
故选:�=C−.
.已知函数,则方程的实数根的个数为()
8�
2−1,�≤2
��=2���=1
�−1,�>2
A.B.C.D.
【答7案】B532
【解析】
令,则,
①�当(�)=时�,�(�)=1,,,即,
|�||�|
②当�⩽2时,2−1=,1∴2,=2∴|�|=1�=±1
2
画出函�>数2的�−图1象=,1如∴图�所=示3,
�(�)
若,即,无解;
若�=−,1直线�(�)=−1与的图象有3个交点,即有3个不同实根;
若�=1,直线�=�=1与�=�(�)的图象有2个交点,即���=1有2个不同实根;
综上�=所3述,方程�=�=3�的=实�(数�)根的个数为5个,���=1
故选:.�[�(�)]=1
9.拟定B从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位:元)由函数给出,其
3.71,0<�≤4
��=
中是不小于m的最小整数,例如,,那么从甲地到1.乙06地×通0话.55�分+钟1的,话�费>为4()
A.�3.71元B.4.24元2=2C1..241.7=元2D.7.95元
【答案】B
【解析】
由是不小于的最小整数可得,
所以��5.2=6,
故从甲�(5地.2到)=乙1地.0通6话×(50.分5×钟6的+话1费)=为14.0.264×元4.=4.24
故选:.
10.已知B,,若,则的最值是()
2��,��≥��
��=3−2���=�−2���=��
A.最大值为3,最小值B.最大值为��,��,无<最�小�值C.最大值为3,无最小
值D−.1无最大值,最小值为7−27
【答案】B−1
【解析】
,
解:根据已知条件,可以求出,,
3+2��≤2−7
2,
��=�−2�2−7<�<3
如图所示,在A处取得最大值,没3有−最2小�值.�≥3
由�(�)得.
2
所以3+有2最�大=值�−2��,�无=最2−小值7.,∴��=3+2��=7−27
故选:B.7−27
11.已知符号函数,下列说法正确的是()
1,�>0
sgn�=0,�=0
A.函数是奇函数−1,�<0
B.函数�=sgn�是奇函数
�
C.函数�=2sgn�的值域为
�
D.函数�=2sgn�的值域为−1,0∪1,+∞
�
【答案】�A=C2sgn�1,+∞
【解析】
对于A,由题意的图象关于原点对称,是奇函数,故A正确,
�=sgn�
对于B,因为�,当时,,当时,,所以函数
�2,�>01�
�=2⋅sgn�=0,��=0�=1�=2�=−1�=−2�=2⋅sgn�
不是奇函数,故B错误;−2,�<0
对于C,D,因为当时,,时,,时,所以函数
的值域为�∈0,.+故∞C正确�,∈D1,错+误∞�∈−∞,0�∈−1,0�=0�=0
故选:AC−1,0∪1,+∞
12.已知函数,则()
�
�−1,�≥�,
��=2�∈R
A.任意,函数−(�的+值1域),为�<�
B.任意�∈R,函数��都有零点R
C.任意�∈R,存在�函�数满足
D.当�∈R时,任�意��−�=��
【答案�】∈BD−∞,−4�1≠�2,�1−�2��1−��2>0
【解析】
设函数和的左右两交点坐标为,
�2
对于选项�=A�,由−1图像�可=知−,(�当+1)时,的值域不为(�1,,�1故)A(�错2,误�2)
对于选项B,由图像可知,无论�<a�取1何值�,(�函)数都有�零点,故B正确
对于选项C,当时,��由图像可知
所以不存在函数�>0满足�(−�)=�(−�)�(−−�)=�(−�)�(−�)≠�(�)
对于选项D,若��,�−�,因=为��为增函数,所以对于任意
2
成立�1<��2<��=−(�+1)�1≠�2,�1−�2��1−
�若�2>,0因为为增函数,所以对于任意成立
�
当�1,>�不�在2同>一�区间�时=,�因−为1,所以�1≠�2,�1−的�图2像�在�1−��2>0的图
�2
�1�2�∈−∞,−4�=�−1(�>�)�=−(�+1)(�<�)
像的上方,所以也满足对于任意成立
故D正确�1≠�2,�1−�2��1−��2>0
故选:BD
13.高斯是德国著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德,牛顿并列为世
界三大数学家,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,例如,.则
下列说法正确的是([�])�=[�][−2.1]=−3[2.1]=2
A.函数在区间()上单调递增
B.若函数�=�−[�],则[�,�+1)�的∈值Z域为
sin�
�−�
e−e
C.若函数�(�)=�=[�(�)],则{0}的值域为
D.,�(�)=|1+sin2�−1−sin2�|�=[�(�)]{0,1}
【答�案∈】RAC�≥[�]+1
【解析】
对于A,,,有,则函数在上单调递增,A正确;
�∈[�,�+1)�∈Z[�]=��=�−[�]=�−�[�,�+1)
对于B,3�,则,B不正确;
3�sin213�
3�3�3�3�
�(2)=2−2=−2−2∈(−1,0)[�(2)]=−1
对于C,e−ee−e,
22
−)1−sin2�
当�(�)=(时,1+sin2�1−sin2�,=2−2,有=2−,2|cos2�|
1
0≤|cos2�|≤21≤2−2|cos2�|≤21≤�(�)≤2[�(�)]=1
当时,,,有,的值域为,C正
1
确;2<|cos2�|≤10≤2−2|cos2�|<10≤�(�)<1[�(�)]=0�=[�(�)]{0,1}
对于D,当时,,有,D不正确.
故选:AC�=2[�]+1=32<[2]+1
14.已知函数是增函数,则实数a的取值范围是______.
2−��−1,�≤5
��=�−5
【答案】�,�>5
8
【解析】5,2
解:∵是定义域R上的增函数,
��
∴,
2−�>0
�>10
2−�×5−1≤�
即,解得:,
�<28
�>815≤�<2
5
∴实�数≥a的取值范围为.
8
5,2
故答案为:.
8
5,2
15.设.若,则__________.
�,0<�<2
��=��=��+2�=
【答案】3�−2,�≥2
1
【解析】9
由在上递增,在上递增,
所以�=,由�(0,2),�则=3(�−2),(2,+∞)
故�,�可=得��+.20<�<2
1
�=3��=9
故答案为:
1
9
16.已知为定义在上的增函数,且任意,均有,则_____.
11
�(�)(0,+∞)�>0���+�=���(1)=
【答案】
1−5
【解析】2
设,
令�(1)=得�:;
11
�=1��1+1=�1⇒��+1=�
令得:,
1111
因为�=�+为1定义在���+1上+的�增+1函=数�,�+1⇒��+�+1=�=�1
所以�(�)(0,+∞),
111±5
�+�+1=1⇒�=2
当时,由或矛盾.
1+51
�1=�=21+�>1⇒�1+�>�1⇒�>�⇒�<−10<�<1
故.
1−5
�1=�=2
故答案为:
1−5
17.已知函数2.
2
(1)若函数定义�域(�为)=,求−��的取+2值�范+围5;
(2)若函数值域为�,�求的取值范围.
[0,+∞)�
【答案】(1)
1
(−∞,−5]
(2)
1
【解−析5】,0
(1)函数定义域为,
∵�对任意都成立,
2
∴当−��+时2,�+5⩾0显然�不∈恒R成立,不合题意;
当�=0时,由2�二+次5⩾函0数的性质可知,需满足,解得,
1
−�>0
�≠0�⩽−5
综上,实数的取值范围为Δ=4+20�⩽0
1
5
(2)函数值域�为,(−∞,−]
∵[0,+∞)能取遍所有正数,
2
1∴:�(�)=−��+2�,+解5得,
1
−�>0
−5⩽�<0
2:Δ=4,+20�⩾0符合题意
实�数=的0取�值(�范)围=为2�+5
1
∴�−5,0
18.已知函数.
1
�+2
(1)求函数的定�义(�域);=�+3+
(2)求的值;
2
3
(3)当�−时,求,的值.
【答案�>】(01)��且��−1
(2){�|�≥−3�≠−2}
213
3+4
(3),
11
【解�析+】3+�+2�+2+�+1
(1)由题意,解得且,
�+3≥0
�≥−3�≠−2
函数的�+定2义≠域0为且.
(∴2)��{�|�≥−3.�≠−2}
221213
2
�−3=3−3+2−3=3+4
(3),.
111
��=�+3+�+2��−1=�−1+3+�−1+2=�+2+�+1
19.已知且,,,.
1
��ℎ�=�
(1)求�>0�≠1的�定�义=域lo;g1+���=log1−�
(2)已知��+�,�请+比ℎ较�与�的大小关系.
【答案】�0(1∈)�;��0��0
(2)当时0,,1;当时,.
【解析�>】1��0>��00<�<1��0<��0
(1)依题意,应满足,解得,
1+�>0
�1−�>00<�<1
∴函数�>0的定义域D=;
(2)当��+�时�,+有ℎ�,0,1
①当�0∈时0,1,函数1+�0>单1调−递�增0,∴;
②当�>1时,�函=数log��单调递减�,�∴0>��0.
20.已0知<函�<数1
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