2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题07函数模型（学生版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题07函数模型

基础知识复习

1．几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

k

反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)

x

二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

2.三种函数模型的性质

函数

xn

y＝a(a>1)y＝logax(a>1)y＝x(n>0)

性质

在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随x的增大逐渐表随x的增大逐渐表现随n值变化而各

图象的变化

现为与y轴平行为与x轴平行有不同

nx

值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<x<a

【知识拓展】

1．解函数应用题的步骤

2．“对勾”函数

a

形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

x

(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．

(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，

当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.

典型习题强化

1．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA

进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，

�

其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DN�A�的初始数�g量/�为L𝑃�，核酸探针能检�测�=到�的0×DN1.A6数

量最低�0值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（0.1�）g（/�参L考数据：，）

A．510�g/�LB．10C．15D．20𝛥��ln1.6≈0.47

2．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产

生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强（约

00

为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（单位：贝尔），即．�取贝�尔

−122�

�=lg�0

的10倍作为响度的�常�用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音强度y（单位：分贝）与喷出的泉水最

高高度x（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于100个乙游客同时

大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大�喝=一�声+激10起的涌泉最高高度差为（）．

A．10米B．20米C．50米D．100米

3．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功

发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送�入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑

空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷

�

�=�0⋅ln��(m/s)�0(m/s)

流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若

�

�

某型火箭的喷�流(相kg对)速度为，当总质比为�62(5kg时)，该型火箭的最大速度约为（）（附：

）1000m/slge≈

A0.．434,lg2≈0.301B．C．D．

4．施57工90企m业/s承包工程，一般62实19行m包/s工包料，需要6有4一42定m数/s量的备料周转6金6，89由m/建s设单位在开工前拨给施工

企业一定数额的预付备料款，构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、结构件所需的流动资金．确

定工程预付款起扣点的依据是：未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于工程预付款的数额．计算公

式为：（：工程预付款起扣点，：承包工程合同总额，：工程预付款数额，：主要材料及

�

�=�−�����

构件所占比重）．某施工企业承接了一个合同总额为208万元的新工程，该工程预付款起扣点为160万元，

主要材料及构件所占比重为65%，则建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的（）

A．12%B．15%C．18%D．21%

5．某大型家电商场，在一周内，计划销售、两种电器，已知这两种电器每台的进价都是万元，若厂家

规定，一家商场进货的台数不高于的台数�的�倍，且进货至少台，而销售、的售价1分别为

元/台和元/台，�若该家电商场�每周可以用2来进货、的�总资金2为万元，�所进�电器都能销售出12去00，0

则该商场1在25一00个周内销售、电器的总利润（利润售�价�进价）的最大6值为（）

A．万元B．��万元C．=万元−D．万元

6．金1.2针菇采摘后会很快失去2.8新鲜度，甚至腐烂，1所.6以超市销售金针菇时1需.4要采取保鲜膜封闭保存．已知金

针菇失去的新鲜度与其采摘后时间（天）满足的函数解析式为，．若采摘后1天，

金针菇失去的新鲜度ℎ为40%，采摘后�3天，金针菇失去的新鲜度ℎ为=8�0%ln．�那+么�若不�及>时0处理，采摘下来的

金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知，结果取一位小数）（）

A．4.0天B．4.3天C．42.7≈天1.414D．5.1天

7．2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征

服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中

�0

�=��ln�1

v为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，

�01

在△未来，假设人类设计的�某火箭达到5公里/秒，从�100�提高到600，则速度增量增加的百分比约为

�0

��1

（）（参考数据：，�，△�

A．15%lnB2．≈300.%7ln3≈1.1lnC5．≈315%.6D．39%

8．如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离

边线米的点处接球，此时，�假�设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，

5

为获得5最佳的�射门角度（即tan∠最��大�），=则31射门时甲离上方端线的距离为（）�

∠�𝛥

A．B．C．D．

9．教5室5通风的目的是通过空5气6的流动，排出室内1的0污2浊空气和致病微生1物0，3降低室内二氧化碳和致病微生

物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小

于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，

且0随.15时%间（单位：分钟）的变化规律可以0用.2函5%数描述，则该教室内的二氧化碳�%浓

�

−10

度达�到国家�标准需要的时间（单位：分钟）的最小�整=数0值.05为+（�e）�（∈参�考数据，）

A．B．�C．D．ln2≈0.693ln3≈1.098

10．7充电电池是电动汽车的9核心部件之一，如何提1高0充电速度是电池制造11商重点关注的研究方向已知电池

充入的电量E（单位：）与充电时间t（单位：）满足函数，其中M表示电池

−��

的容量，k表示电池的充k电W效⋅h率，研究人员对A，B两个m型i号n的电池进行�充�电=测�试，1电−池eA的容量为，

充电充入了的电量；电池B的容量为，充电充入了的8电0量kW.设⋅h电

池A的30充m电in效率为40，k电W池⋅hB的充电效率为，则（60）kW⋅h15min20kW⋅h

A．�1B．�2C．D．大小关系无法确定

11．�某1公>司�2通过统计分析发�现1<，工�2人工作效率与工�1作=年�2限（），劳�累1,程�2度（），劳动动机

（）相关，并建立了数学模型��.�已>知0甲､乙为该公司�的0员<工�，<则1下列说法正确�

−0.14�

的有1<（�<5）�=10−10�⋅�

A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱

C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高

D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

12．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，

函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生

产台��的收入�函�数����=��（+单1位−：�元�），其成本的数（单位：元），

∗2

利润�是�收∈入N与成本之差，设�利�润=函30数0为0�−20，�则以下说法正确的是（�）�=500�+4000

A．取得最大值时每月产量为台��

B．边�际�利润函数的表达式为63

∗

C．利润函数与边际利润函��数�=24不80具−有4相0�同�的∈最N大值

D．边际利润�函�数说明随着产��量�的增加，每台利润与前一台利润差额在减少

13．函数在��上�有定义，若对任意，，有，则称在

�1+�21

122212

上具有性�质�M，设�,�在上具有性�质M�，∈则�下,�列说法�错误的是≥（��）+�����,�

A．在�上�的图像1,2是02连1续不断的

B．��在1,2021上具有性质M

2

C．对��任意1，,202，1，，有

�1+�2+�3+�41

1234441234

D．若在���处�取∈得最1,2小02值11011，�则≥，��+��+��+��

14．某�超�市在�“五=一10”1活1动期间，推出如下线上购�物�优=惠1方01案1：�一∈次1性,2购02物1在99元（含99元）以内，不享受

优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物

在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和

280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人

购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭___________元.

15．交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯

设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．经过安全数据统计，驾驶员反应距离（单位：m）关

于车速v（单位：）的函数模型为；刹车距离（单位：m）关于车速v（�1单位：）的

函数模型为m/s，反应距离与�刹1车=距0.7离58之4和�称为停车距�离2，在某个十字路口标示小汽车最大m/限s速

2

�（2=约0.072�），路口宽度为，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的

�车=辆5离0k停m车/h线距离1小4m于/停s车距离的汽车通30过m十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮____________s（保留两

位有效数字）．

16．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机

相关，并建立了数学模型．�(�>0)�(0<�<1)�(1<

−0.14�

�已<知5甲)、乙为该公司的员工，给�出=下1列0四−个10结�⋅论�：

①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；

②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；

③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：

④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．

其中所有正确结论的序号是__________．

17．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，

根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.

�

�

e

已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销�售量为500万件，经物价部门核e定每件产品的售价最低

不低于35元，最高不超过41元.�

(1)求的值；

(2)求分�公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；

(3)当每件产品的售价为多少元时，分��公司一年的利润最大，并求�出的最大值.

18．运货卡车以千米/时的速度匀速行驶300千米，按�交�通法规限制��(单位千米/时)，假设汽车

每小时耗油费用�为元，司机的工资是每小时元．（不考虑5其0≤他�因≤所1素00产生的费用）

2