沪教版（上海）九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专题训练试题（含答案及详细解析）

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专题训练

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，点4,B,。在。0上，//庞=37°,则N/J仍的度数是（）

C.64°D.37°

2、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（）

A.4gmzB.1273m2C.24m2D.2473m2

3、如图，边长为46的正三角形外接圆，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为()

2

A.1273+2JiB.4>/3+yC.246+2"D.1273+14n

4、如图是一个含有3个正方形的相框，其中%产=90°,AB=2,⑦=3,EF=5,将它镶嵌

在一个圆形的金属框上，使4G,，三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是()

57

而

氏CD

A.2-2-

5、如图，5是AABC的身，按以下步骤作图：

(1)分别以点｛和点8为圆心，大于;A8的长为半径作弧，两弧相交于G、〃两点.

(2)作直线阳交四于点E.

(3)在直线67/上截取£F=AE.

(4)以点尸为圆心，",长为半径画圆交切于点

则下列说法错误的是()

c

A.AE=BEB.GH//CDc.AB=y/2EFD.ZAPB=45°

6、如图，正六边形微卯的边长为6,以顶点/为圆心,的长为半径画圆，则图中阴影部分图形

的周长为（)

A.2mB.4JiC.2n+12D.411+12

7、如图，O<?中的半径为1,“ABC内接于。。.若NA=50。，ZB-70°,则AB的长是（）

3Q

A.-B.V3C.V2D.

zz

8、如图，菱形ABC。中，ZC=60°,AB=2.以A为圆心，AB长为半径画^力，点P为菱形内一

点，连E4,PB,PD,若PA=PB,且ZAP8=120。，则图中阴影部分的面积为（）

D*C

226

—71----

9、如图，△ABC中，ZABC=50°,ZAC3=74。，点。是的内心.则4OC等于（）

A

A.124°B.118°C.112°D.62°

10、如图，面积为18的正方形力战内接于。。，则。。的半径为（

B.我

D.3也

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在半径为近的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的

面积为

2、如图，AB为。。的直径，弦CDLAB于点”，8=8,Q4=5,则A”的长为

3、如图，直径力6为6的半圆，绕力点逆时针旋转60°,此时点6到了点〃，则图中阴影部分的面

积是_____.

4、如图，网格中的小正方形边长都是1,则以。为圆心，为半径的A8和弦A8所围成的弓形面积

等于__________.

5、如图，点A,B,C均在6x6的正方形网格格点上，过A,B,C三点的外接圆除经过A,B,C

三点外还能经过的格点数为.

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、如图，A8是。。的直径，四边形ABQ?内接于。。，。是AC的中点，DELBC交BC的延长线于

点、E.

Er

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若AB=10,8c=8,求8。的长.

2、如图，点0,8的坐标分别是(0,0),(3，0).将△046绕点。逆时针旋转90°,得到心.

(1)画出平面直角坐标系和三角形△以心；

(2)求旋转过程中点8走过的路径的长.

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3、(教材呈现)下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容.

圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相

等的圆周角所对的弧相等.

由圆周角定理，可以得到以下推论：推论190°的圆周角所对的弦是直径.（如图）

（推论证明）已知：△46C的三个顶点都在。。上，且/〃B=90°.

求证：线段46是。。的直径.

请你结合图①写出推论1的证明过程.

（深入探究）如图②，点4B,C,。均在半径为1的。。上，若/月⑦=90°,/ACD=60°.则线

段4?的长为.

（拓展应用）如图③，已知△［比'是等边三角形，以〃'为底边在三角形46c外作等腰直角三角形

力微点£是a'的中点，连结应.若/8=2夜，则座的长为.

4、已知，P是直线16上一动点（不与/,8重合），以。为直角顶点作等腰直角三角形为2点后是

直线4〃与△加的外接圆除点。以外的另一个交点，直线跳"与直线如相交于点F.

（1）如图，当点。在线段46上运动时，若/颂=30°,PB=2,求膜的长;

a

(2)当点〃在射线4?上运动时，试探求线段力氏PB,用之间的数量关系，并给出证明.

5、如图，。。是△力回的外接圆，是。。的直径，gCD于点E,。是延长线上一点，且

=NBCD

(1)求证：h是。。的切线；

(2)连接〃。并延长，交力C于点片交。。于点G,连接GC若。。的半径为5,0E=3,求GC和如

的长

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知N/吠2/力龙=74°,即可得出答案.

【详解】

解：由图可知,

//如在。。中为A8对应的圆周角，N”方在。。中为AB对应的圆心角，

故：ZAOB=2ZACB=74a.

故答案为：B.

【点睛】

本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概

念是解本题的关键.

2、D

【分析】

先根据等边三角形的性质求出△如C的面积，然后由地基的面积是△仍，的6倍即可得到答案

【详解】

解：如图所示，正六边形ABCDEF,连接如，0C,过点。作阴L比于R

由题意得：8C=4cm,

•••六边形力腼是正六边形，

X300=360°+6=60°,

又,：0月OC,

，△阪1是等边三角形，

ABP=-BC=2cm,OB=BC=4cm,

2

・•・OP=SB?_B产=2&m，

2

/.S^OBC=-^BC-OP=4V3cm,

,,S正六边形ABcOfFuGSaoscuZdJ5Cm,

故选D.

B、---/C

【点睛】

本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解

题的关键.

3、A

【分析】

正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果.

【详解】

解：正三角形的面积为：1x473x6=1273,

三个小半圆的面积为：［XTX仅6），3=18万，中间大圆的面积为：万4=16万，

所以阴影部分的面积为：126+18乃-16乃=126+2%，

故选：A

【点睛】

本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关

键.

4、A

【分析】

如图，记过4,G,〃三点的圆为e。,则。是HG,AG的垂直平分线的交点，QH=QG=QA,记

PM,EF的交点、为N,的交点为M,延长A3交于尸，PM为"G的垂直平分线，结合正方形

的性质可得：APAPM,再设尸Q=x，利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.

【详解】

解：如图，记过4G,〃三点的圆为e。,则。是“G,AG的垂直平分线的交点，Q，=QG=QA,

记的交点为N,HG,PM的交点为M,延长交。用于P,PM为"G的垂直平分线，结合正方

形的性质可得：叱PM,

1••四边形"G/话为正方形，则"G〃所，

\QM八HG,QM八EF,

设PQ=x,而/6=2,CD=3,EF=3,结合正方形的性质可得:

\NQ=5-x,

\^HM2+MQ2=HQ2,

HM=HG=—EF=—,MN=EF=5,MQ=5+5-x=10-x,

7S,

\HQ2=-+(10-x)-,

又AQ2=PQ2+A产，而”=2+3+：=墨

崛52

\A。』?+1

,25\22225

'丁+。°-勾0+—)

解得：X=|,

故选A

【点睛】

本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式

的化简，确定过4G,〃三点的圆的圆心是解本题的关键.

5、C

【分析】

连接BF,由作法可知，用垂直平分16,再根据隹可得/月降45°,进而得出/力加=

90°,根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确.

【详解】

解：连接力尸、BF,由作法可知，用垂直平分力6,

:.AE=BE,故/正确；

,.•5是A43C的高，

J.GH//CD,故5正确；

VEF=AE,AE=BE,

：.AB=2EF,故。错误；

■:EF^AE,

...//降45°,

同理可得245°,

：.ZAFB=90°,

NAP8=gzAFB=45。，故，正确；

故选：c.

【点睛】

本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆

周角定理进行推理证明.

6、D

【分析】

根据正多边形的外角求得内角的度数，进而根据弧长公式求得L，即可求得阴影部分的周长.

【详解】

解：•正六边形47切斯的边长为6,

NFAB=180。-$360°=120°,AF=AB=6

,120^x6.

•••=-------=47r

180

・•・阴影部分图形的周长为AF+AB+J=4万+12

故选D

【点睛】

本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的

关键.

7、B

【分析】

连接力、0B,过点0作。。_LM,由三角形内角和求出NC,由圆周角定理可得NAO8=2NC,由

0A=08得AAOB是等腰三角形，即可知/4。。=344。8,AD=BD=^AB,根据三角函数已可求出

AD,进而得出答案.

【详解】

5、7c

如图，连接力、0B,过点。作OD_LAB,

VZA=50°,ZB=70°,

ZC=180°-50°-70°=60°,

Z.ZAO3=2NC=120。，

,:OA=OB,

...AAOB是等腰三角形，

/.ZAOD=-ZAOB=60°,AD=BD=-AB,

22

ZDAO=30°,

：.OD=^,AD=^JOA2-OD2=Jl2-(1)2=,

AB=2AD=s/3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理.

8、C

【分析】

过点P作尸交于点M,由菱形A3。得ND4B=NC=60。，AB=AD=2,由上4=P3,

ZAPB=12O°^AM=-AB=],NAPM=1zAP8=60°,故可得NPAM=30。，

22

Zft4D=ZZMB-Z/VWf=60°-30°=30°,根据$1S证明A/WP三AADP,求出PM=@,即可求出

3

S阴二S扇形A3。-SAABP-^ADP•

【详解】

如图，过点尸作尸用_LAB交于点M,

・・,四边形4宓9是菱形，

AZZMB=ZC=60°,AB=AD=2,

,:PA=PB,ZAPB=120°,

AAM=-AB=lZAPM=-ZAPB=60°,

2f2

：.ZPAM=30°fZPAD=ZDAB-ZPAM=60°-30°=30°,

在AABP与△ADP中，

AB=AD

<4PAB=/PAD,

AP=AP

：.^ABP=AADP(SAS),

♦•=S&ADP>

在RrZXAMP中，ZPAM=30°,

：.AP=2PM,

AP2=PM2+AM2^BP4PM2=PM2+1.

解得：PM=,

3

.cc0060万-2?1,731、6_2兀2g

**=^lilKABD~^.ABP-^.ADP=-------2%^~=~3------------------d'

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及求不规则图形的面积等知识，掌握扇形的面积公式是解答此题的关

键.

9、B

【分析】

根据三角形内心的性质得到/帕g/力除25°,/OCB^NAC序37；然后根据三角形内角和计算

/60C的度数.

【详解】

解：•.•点。是△48C的内心，

：.0B平■分4ABC,0C平■令NACB,

：.AOBO\AABO\X5O0=25°,ZOCB=^ZACB=^X74°=37°,

，N6除180°-NOBONOCB=180°-25°-37°=118°.

故选B.

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内

心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

10、C

【分析】

连接物、OB,则“MB为等腰直角三角形，由正方形面积为18,可求边长为4公=18,进而通过勾股

定理，可得半径为3.

【详解】

解：如图，连接力，OB,则出=仍，

D----------\C

•••四边形4腼是正方形，

，408=90。，

AOAB是等腰直角三角形，

,/正方形ABCD的面积是18,

6=18,

：.O^+OB2=AB2=\S,即：20A2=18

，OA=3

故选C.

【点睛】

本题考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键.

二、填空题

1、万

【分析】

如图（见解析），连接BC,先根据圆周角定理可得BC是圆形纸片的直径，从而可得BC=20,再利

用勾股定理可求出A8的长，然后利用扇形的面积公式即可得.

【详解】

解：如图，连接BC,

由题意得：4?=AC,N8AC=90。，

是圆形纸片的直径，

/.BC=242，

在中，BC=>/AB2+AC2=y/2AB>即血48=2血，

解得AB=2,

则这个扇形（阴影部分）的面积为强£=万，

360

故答案为：兀.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、扇形的面积等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键.

2、8

【分析】

如图所示，连接0G由垂径定理可得C4=Z）H=gcZ）=4,再由勾股定理求出O”=应匚市=3,

即可得到答案.

【详解】

解：如图所示，连接0C,

•.36为。。的直径，弦CDLAB于点、H,勿=8,

：.CH=DH=-CD=4,/曲侯90°,

2

'：0<=0A=5,

'-OH=^OC--CH2=3>

:.AH=OA+OH=8,

故答案为：8.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理.

3、6万

【分析】

根据阴影部分的面积=以4?'为直径的半圆的面积+扇形4掰'的面积-以49为直径的半圆的面积，

即可求解.

【详解】

解：阴影部分的面积=以力夕为直径的半圆的面积+扇形/缈'的面积-以46为直径的半圆的面积=

扇形力龙'的面积，

则阴影部分的面积是：詈穿=6",

故答案为：6万.

【点睛】

本题考查扇形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

4、（2了-4）

【分析】

根据勾股定理求出半径的长度，然后根据弓形面积=扇形力8的面积-三角形。16的面积，求解即

可.

【详解】

解：由勾股定理得，OA=j22+2。=2五,

由网格的性质可得ZAOB=90。，A4OB是等腰直角三角形，

...A8和弦A8所围成的弓形面积=22*32__L.AO.BO=空把9___Lx2&x20=2万一4・

360°236002

故答案为：（2万-4）.

【点睛】

此题考查了网格的特点和性质，勾股定理，扇形面积公式等知识，解题的关键是正确分析出弓形面积

=扇形面积-三角形如6的面积.

5、5

【分析】

根据圆的确定方法做出过4B,。三点的外接圆，从而得出答案.

【详解】

如图，分别作46、■的中垂线，两直线的交点为0,

以。为圆心、力为半径作圆，则。。即为过4B,。三点的外接圆，

由图可知，。。还经过点〃、E、F、G、〃这5个格点，

故答案为5.

【点睛】

此题考查了确定圆的方法，三角形的外接圆，解题的关键是根据题意确定三角形4%外接圆的圆心.

三、解答题

1、(1)见详解；(2)3710

【分析】

(1)连接①，由圆周角定理可得｛a；从而得0D〃BC,进而即可得到结论；

(2)连接4C,交如于点E利用勾股定理可得力。=6,OF=4,再证明四边形以谈是矩形，进而

即可求解.

【详解】

(1)证明：连接OD,

•/D是AC的中点,

：.^ABO2ZABD,

u：ZA0D=2ZABD,

：.ZAOD=ZABQ

：.0D〃BC,

•・•DE1.BC,

：.DELOD,

・・.DE是O。的切线；

(2)连接AC,交切于点£

,・36是直径，

：.ZACB-90°,

.••27AB2-BC2=V102-82=6，

「。是AC的中点，

AODLAC,AeC六3,

・•・OF=y]0A2-AF2=752-32=4，

・・,止5-4=1,

♦：/4/ED户4DFC^0°,

・•・四边形加缪是矩形，

:・D行CP4C&D21,

••CD=&?+『=>/10,

:・ADSM,

VZADB-900,

/.BD=《AB?-AD。=加_(而)2=3而

【点睛】

本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解

题的关键.

3

2、(1)见解析；(2)兀

【分析】

(1)根据点。的坐标确定直角坐标系，根据旋转的性质确定点4、B、,顺次连线即可得到△如行；

(2)利用弧长公式计算即可.

【详解】

解：(1)如图，△如归即为所求三角形;

(2)旋转过程中点8走过的路径的长=℃笠万x片a=：a万.

1802

【点睛】

此题考查了旋转作图，弧长的计算公式，正确掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键.

3、【推论证明】见解析；【深入探究】6；【拓展应用】1+V3.

【分析】

推论证明：根据圆周角定理求出2403=18()。，即可证明出线段46是。。的直径；

深入探究：连接46,首先根据/月⑦=90°得出4?是。。的直径，然后求出4CQ=30。，然后根据

同弧所对的圆周角相等得到43/5=30°,然后根据30°角直角三角形的性质求出切的长度，最后根

据勾股定理即可求出的长度；

拓展应用：连接力£,作CF1DE交DE于氤F,首先根据等边三角形三线合一的性质求出然

后证明出4E,C,〃四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出/CED=NC4D=45。，

ZEDC=Z£4C=30°,最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求

解即可.

【详解】

解：推论证明：：NC=90。

，4403=180。，

：.A,B,。三点共线，

又：点。是圆心,

.♦・力5是。。的直径;

深入探究：如图所示，连接/氏

9：ZACB=90°

・・・48是。。的直径

.・・ZADB=90°

*：ZACD=60°

：./BCD=ZACB-ZACD=30°

DB=DB

：.ZBAD=ZBCD=30°

.•.在R/AABD中，BD=-AB=\

2

•*-AD=>jAB2-BD2=M；

拓展应用：如图所示，连接46,作Cd应交龙于点居

♦.•△46C是等边三角形，点少是比的中点

AE±BC,NC4£」N8AC=30°

2

又以4c为底边在三角形/回外作等腰直角三角形ACD

：.ZADC=90°,Z2MC=45°

.•.点4,E,C,，四点都在以力。为直径的圆上，

,:DC=DC

：.NC£»=NC4£>=45°

■:CFLDE

.•.田C是等腰直角三角形

EF=CF,EF2+CF2=EC2

：.2EF2=EC2

'：EC=-BC=-AB=y[2

22

/.2£F2=(V2)2,解得：EF=1

：.FC=l

,**EC=EC

：.ZEDC=ZEAC=30°

.,.在RrAFCD中，CD=2FC=2

DF=^DC2-FC2=y[3

DE=EF+DF=I+6.

【点睛】

此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和

等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理.

4、(1)及(2)PeAB~PB或P「AB+PB,理由见解析

【分析】

(1)根据△阳〃等腰直角三角形，PB=2,求出ZW的长，由。。是△夫物的外接圆，/颇'=30°,

可得答案；

(2)根据同弧所对的圆周角，可得NAD六NFBP,由△如〃等腰直角三角形，得N加庐N初方90°,

DP-BP,可证△43△月%,可得答案.

【详