第06讲 公式法与因式分解法求解一元二次方程-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（解析版）

第06讲公式法与因式分解法求解一元二次方程【学习目标】1．了解公式法和因式分解法的概念、一元二次方程求根公式的推导过程，会用配方法和公式法解一元二次方程；2．掌握运用公式法和因式分解法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，通过求根公式的推导，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【基础知识】一．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．二．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．三．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．【考点剖析】一．解一元二次方程-公式法（共3小题）1．（2020秋•上海期末）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可．【解答】解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0，方程有两个不等的实数根，x＝＝，即x1＝+3，x2＝﹣3．【点评】本题考查的是公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．2．（2021秋•晋安区校级月考）解一元二次方程：x2﹣x﹣7＝0【分析】根据公式法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7，∴△＝1+28＝29＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．3．（2021•越秀区校级三模）解方程：2x2+4x﹣3＝0．【分析】先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程．【解答】解：△＝42﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．二．根的判别式（共2小题）4．（2022•西城区二模）已知关于x的一元二次方程﹣mx+m﹣5＝0．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；（2）将m＝1代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝＝m2﹣2m+10＝（m﹣1）2+9，∵（m﹣1）2≥0，∴（m﹣1）2+9＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将m＝1代入方程﹣mx+m﹣5＝0中，得（m﹣1）2＝9，解得：m＝4或﹣2．∴当m＝1时，m的值为4或﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将m＝1代入原方程求出m值．5．（2022•海淀区校级模拟）已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0列出关于k的不等式组，求解即可．（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的值，代入原方程，求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴，解得k≤3且k≠2．（2）由题意得，k＝3，当k＝3时，方程为x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，牢记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实根．三．解一元二次方程-因式分解法（共5小题）6．（2022•南昌模拟）解方程：x2﹣x＝0．【分析】利用因式分解法把方程化为x＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程．【解答】解：x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．7．（2021秋•环江县期末）解方程：x2+6x+8＝0．【分析】先把方程左边进行因式分解得到（x+2）（x+4）＝0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：∵x2+6x+8＝0，∴（x+2）（x+4）＝0，∴x+2＝0或x+4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．8．（2021秋•南沙区期末）解方程：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：（x+3）（x+3﹣2x）＝0，x+3＝0或x+3﹣2x＝0，所以x1＝﹣3，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．9．（2021秋•惠州期末）解方程：x2﹣x﹣20＝0．【分析】利用因式分解法把原方程化为x﹣5＝0或x+4＝0，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：（x﹣5）（x+4）＝0，x﹣5＝0或x+4＝0，所以x1＝5，x2＝﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．10．（2022•芜湖一模）解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，可得x﹣3＝0或x+1＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•和平区一模）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【分析】算出一元二次方程根的判别式即可判断根的情况．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x＝0根的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4，∴Δ＞0，∴一元二次方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．2．（2022•双柏县模拟）已知一元二次方程x2+mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．m＝0 B．m＝4 C．m＝0或m＝4 D．m＝0或m＝﹣4【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于m的等式或不等式，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即m2﹣4×1×m＝0，解得：m＝0或m＝4，故选：C．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．3．（2022•鹤壁模拟）一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝5﹣3x的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】将原方程化为一般式，然后根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：（x+2）（x﹣2）＝5﹣3x，x2﹣4＝5﹣3x，x2+3x﹣9＝0，Δ＝9+4×1×9＝45＞0，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确运用根的判别式，本题属于基础题型．4．（2022•铜仁市模拟）已知关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【分析】先计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2021秋•九龙县期末）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0的根．则三角形的周长（）A．19 B．11或19 C．13 D．11【分析】根据三角形的三边关系以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣12x+20＝0，∴x＝2或x＝10，当x＝2时，∵2+4＞5，∴能组成三角形，∴三角形的周长为2+4+5＝11，当x＝10时，∵4+5＜10，∴不能组成三角形，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．（2021秋•任丘市期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解为（）A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根．【解答】解：∵x（x+2）＝0，∴x＝0或x+2＝0，∴x1＝0，x2＝﹣2，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解因式分解法解方程是解题关键．二．填空题（共9小题）7．（2022春•南关区校级月考）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＞﹣4．【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4•（﹣k）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4•（﹣k）＞0，解得k＞﹣4．故答案为：k＞﹣4．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（2021秋•封丘县期末）方程（x﹣2）2＝2（x﹣2）的根是x＝2或x＝4．【分析】将方程右边整体移至左边，再将左边因式分解即可得．【解答】解：移项，得：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，因式分解，得：（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，即（x﹣2）（x﹣4）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，解得：x＝2或x＝4，故答案为：x＝2或x＝4．【点评】本题主要考查因式分解法解方程的能力，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．9．（2022•乳山市模拟）一元二次方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解为x1＝，x2＝．【分析】先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．【解答】解：（2x+3）（x﹣1）＝1，化为一般形式得：2x2+x﹣4＝0，Δ＝12﹣4×2×（﹣4）＝33，∴x＝，∴x1＝，x2＝，故答案为：x1＝，x2＝．【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．10．（2022•渌口区一模）已知关于x的方程x2﹣kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是2或﹣2．【分析】由一元二次方程根的判别式列出方程即可解答．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣kx+1＝0有两个相等的实数根，∴（﹣k）2﹣4＝0，解得k＝2或k＝﹣2，故答案为：2或﹣2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11．（2022春•拱墅区月考）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+4＝0有实数根，则a的取值范围为a≤4且a≠3．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：Δ＝16﹣16（a﹣3）≥0且a﹣3≠0，∴a≤4且a≠3，故a的取值范围为a≥4且a≠3，故答案为：a≤4且a≠3．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型．12．（2021秋•伊通县期末）一元二次方程3x2＝3﹣2x的根的判别式的值为40．【分析】先把方程化为一般式，然后根据判别式的定义进行计算．【解答】解：方程化为一般式为3x2+2x﹣3＝0，所以Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40．故答案为：40．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac．13．（2021秋•咸丰县期末）若一元二次方程x2﹣2x﹣3a＝0无实根，则a取值范围是a＜﹣．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＜0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3a＝0无实根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3a）＜0，∴a＜﹣．故答案为：a＜﹣．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．14．（2022春•温州期中）一元二次方程x2＝7x的解是x1＝0，x2＝7．【分析】先移项得到一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x2﹣7x＝0，x（x﹣7）＝0，x＝0或x﹣7＝0，所以x1＝0，x2＝7．故答案为：x1＝0，x2＝7．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．15．（2021秋•科左中旗期末）一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是∴x1＝2，x2＝0．【分析】根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：∵3x2﹣6x＝0，∴3x（x﹣2）＝0，∴3x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝2，x2＝0，故答案为：x1＝2，x2＝0．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．三．解答题（共6小题）16．（2022春•金东区期中）解方程：2x2﹣3x＝0．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：x（2x﹣3）＝0，x＝0或2x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．17．（2020秋•伍家岗区期末）解一元二次方程：x2+4x＝﹣4．【分析】移项，利用因式分解法求解即可．【解答】解：x2+4x＝﹣4，x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，∴x+2＝0，∴x1＝x2＝﹣2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18．（2022春•琅琊区校级月考）解一元二次方程：（x﹣1）（x﹣2）＝5．【分析】先把方程整理成一般形式，再用公式法解方程即可．【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）＝5，整理得，x2﹣3x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣3）2