高一升高二数学新知预习 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示（原卷版） 导学案

专题1.3空间向量及其运算的坐标表示教学目标理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.教学重难点1.重点利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合.2.难点利用空间向量的坐标表示计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具知识点01空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个__________，分别是平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A的坐标可以用__________，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.【即学即练】1．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．若构成空间的一个基底，则，，必共面B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面C．若空间向量、满足，则与夹角为钝角D．点关于平面对称的点的坐标是2．已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（

）A． B． C． D．知识点02空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于__________的对称点是；点关于__________的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于__________的对称点是.【即学即练】1．在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（

）A． B． C． D．2．已知点，若向量，则点的坐标是（

）A． B． C． D．知识点03空间向量的坐标运算（1）空间两点的__________公式若，则①即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。②，或.（2）空间线段__________坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.（3）向量加减法、数乘的坐标运算若，则①;②;③;（4）向量__________的坐标运算若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则(1).(2).（6）空间向量平行和垂直的条件若，则①②【即学即练】1．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（

）A． B． C． D．2．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为题型01空间向量的共线与共面【典例1】已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（

）A． B．C． D．（1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得.（2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。【变式1】已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（

）A．若，则B．若，则C．若，则不论取何值，四点都共面D．若，则点到平面的距离为【变式2】下面四个结论中正确的是（

）A．点关于平面对称的点的坐标是B．若，则向量的夹角是钝角C．若对空间中任一点O，有则四点共面D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底【变式3】已知向量．(1)若共面，求的值；(2)若，求的值．题型02空间向量模长坐标表示【典例1】已知空间向量，若与垂直，则（

）A． B． C． D．14若，则.【变式1】已知空间向量，，，则（

）A． B．C． D．，，是共面向量【变式2】在棱长为1的正方体中，点P是底面内的动点，则（

）A．的最小值为2B．的最大值为C．的最小值为D．的最小值为3【变式3】已知，，且，则．题型03空间向量平行坐标表示【典例1】向量且，则实数. 若，则【变式1】设，向量，，，且，，则（

）A．5 B．1 C． D．【变式2】已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为．【变式3】已知，，且，则（

）A．， B．，C．， D．，题型04空间向量垂直坐标表示【典例1】已知，，，若，则的值为.若，则【变式1】已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则.【变式2】在空间直角坐标系中，若，且，则（

）A． B． C．3 D．【变式3】已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直．(1)求向量的坐标；(2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值．题型05空间向量夹角坐标表示【典例1】设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（

）A． B． C． D．若，则(1).(2).【变式1】已知向量，，(1)求的值；(2)求；【变式2】已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式3】已知空间中三点，，．(1)若向量与平行，且，求的坐标；(2)求向量AB在向量AC上的投影向量．1.已知向量，且，则（

）A．5 B．11 C．-5 D．-112．在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若A和B两点之间的距离是，则A和B两点之间的“直角距离”的最大值为．3．已知向量，且，则.4．已知满足，则的值为（

）A． B． C． D．5.在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（

）A． B．2 C． D．6．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．在上的投影向量为 D．7．已知向量，，，若共面，则x等于（

）A． B．1 C． D．8．如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（

）A．点的坐标为B．点关于点对称的点为C．点关于直线对称的点为D．点关于平面对称的点为9．已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（

）A． B．2.5 C． D．2.610．已知向量，，则11．已知，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．12．在空间