高考数学一轮复习 11.1 随机事件与概率

第一节随机事件与概率知识点1有限样本空间（1）随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验:①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.（2）有限样本空间我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验的样本空间.一般地,我们用表示样本空间,用表示样本点.如果一个随机试验有个可能结果,,则称样本空间为有限样本空间.知识点2事件（1）随机事件一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生.（2）必然事件作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.（3）不可能事件空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件.知识点3事件的关系和运算（1）两个事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含发生导致发生续表事件的关系或运算含义符号表示图形表示并事件（和事件）与至少一个发生或交事件（积事件）与同时发生或互斥（互不相容）与不能同时发生,互为对立与有且仅有一个发生（2）多个事件的和事件、积事件类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件，（或）发生当且仅当中至少一个发生,...（或）发生当且仅当同时发生.（3）互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生.②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.知识点4用集合观点看事件间的关系符号概率角度集合角度必然事件全集不可能事件空集试验的可能结果中的元素A事件的子集A的对立事件的补集事件包含于事件集合是集合的子集事件等于事件集合等于集合或事件与事件的并（和）事件集合与的并集或事件与事件的交（积）事件集合与的交集,且事件与事件对立集合与的交集为空集,且事件与事件对立集合与互为补集知识点5概率与频率（1）频率:在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值,叫做事件发生的频率.（2）概率:在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时,就把这个常数叫做事件的概率,记作.（3）概率与频率的关系:对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率,因此可以用频率来估计概率.知识点6古典概型（1）事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件的概率用表示.（2）古典概型的定义我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有有限个;②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.（3）古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验都不是古典概型:①样本点（基本事件）个数有限，但非等可能；②样本点（基本事件）个数无限，但等可能；③样本点（基本事件）个数无限，也不等可能.知识点7古典概型的概率计算公式一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率,其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.知识点8概率的基本性质（1）对于任意事件都有:.（2）必然事件的概率为1，即；不可能事概率为0，即.（3）概率的加法公式:若事件与事件互斥，则.推广:一般地,若事件彼此互斥,则事件发生（即中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即:.（4）对立事件的概率:若事件与事件互为对立事件，则，且.（5）概率的单调性:若，则.（6）若是一次随机实验中的两个事件,则.考向1有限样本空间与事件题型1事件的分类例1下列事件中,随机事件的个数为（）①甲，乙两人下棋，甲获胜；②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；③某种彩票的中奖率为，某人买一张此种彩票中奖；④用任意平面截球体,所得截面图形是椭圆形.A.1个B.2个C.3个D.4个例2已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球,从中任取4个,则下列判断错误的是（）A.事件“都是红色球”是随机事件B.事件“都是白色球”是不可能事件C.事件“至少有一个白色球”是必然事件D.事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件题型2事件与样本空间例3抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,该试验的样本空间中样本点的个数为（）A.1B.2C.4D.8例4在试验:连续射击一个目标10次,观察命中的次数中,事件“至少命中6次”,则下列说法正确的是（）A.样本空间中共有10个样本点B.事件中有6个样本点C.样本点6在事件内D.事件中包含样本点11题型3生活中的概率例5气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（）A.本市明天将有70%的地区降雨B.本市有天将有70%的时间降雨C.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D.明天出行不带雨具肯定要淋雨例6三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（）A.动力学方程的知识B.概率与统计的知识C.气象预报模型的知识D.迷信求助于神灵例7老师讲一道数学题,李峰能听懂的概率是0.8,是指（）A.老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂B.老师在讲的10道题中,李峰能听懂8道C.李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D.以上解释都不对题型4事件的关系和运算例8掷一枚骰子,设事件:落地时向上的点数是奇数;:落地时向上的点数是3的倍数;:落地时向上的点数是:落地时向上的点数是2的倍数,则下列说法中,错误的是（）A.和有可能同时发生 B.和是对立事件C.和是对立事件 D.和是互斥事件例9从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”,“至多1个数为奇数”,则下列结论正确的是（）A.与是互斥事件 B.与是互斥但不对立事件C.与是互斥但不对立事件 D.与是对立事件例10如果是互斥事件,下列选项正确的是（）A.事件与不互斥 B.C.与互斥 D.考向2古典概型与概率的基本性质题型1古典概型例11一个箱子中装有6个红球和4个白球,从中随机取出三个球,则取出的三个球中至少有一个红球的概率（）A.B.C.D.例12（2024·新高考I）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_____.题型2概率的基本性质例13（2023·上海）已知事件的对立事件为，若，则_____.例14.已知事件是互斥事件，，则（）A.B.C.D.例15若事件为两个互斥事件,且,有以下四个结论,其中正确的结论是①②③④A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③题型3游戏的公平性问题例16下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率,你认为哪个游戏是公平的?游戏1游戏2游戏3袋子中球的数量和颜色1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球获胜规则取到红球一甲胜两个球同色一甲胜两个球同色一甲胜取到白球一乙胜两个球不同色→乙胜两个球不同色一乙胜例17已知是一个三位正整数，若的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如135,256,345等）现要从甲乙两名同学中,选出一个参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.（1）由1,2,3,4,5,6可组成多少“三位递增数”?并一一列举出来.（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.题型4古典概型与其他知识的综合例18辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动.公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益.从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分）,将问卷调查结果按分成八组,并绘制成频率分布直方图,如图所示.（1）求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）;（2）若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率.例19甲、乙两射击队