2026年全国高中数学联赛预赛试题-云南省

PAGE257页/2872026年全国高中数学联赛预赛试题-填空题(8864分0

Bb5C215CxbBxbAC中元素的最小值 zz1

z2 的最小值

fx

ax2x1在1,2上恒正，则实数a的取值范围 a 2 ABCD

EF

ABAC

BE2EF3EFBCD 在ABC中,若三边满足a2b26c2,则cotAcotBtanC的值

ab

a1,

2a

7a2kb

ka

数k的取值范围 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗.第一个使两颗骰子点数和不小于6者为胜,否则,由另一人投掷.则先投掷人的获胜概率为 在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为

2解答题:3小题,56分.3131

fx

03131

36(20分aa3

2n1a

,n2

n

log2anxx的最大整数PAGE261页/287(20分l0,3M的轨迹方程

关注公众号★全科y24xPQ的垂直平分线.lPQM,三、证明题:三、证明题:40分.(请将图画在答题区域PAGE262页/287ABCOAOBCPAPB

ABAC

DEBECDQBAC60∘OPQ三点共线关注公众号★全科四、证明题关注公众号★全科四、证明题:40分PAGE263页/287abca2b2c2abc4.证明

15b c a PAGE264页/2872026年全国高中数学联赛预赛试题-云南省-填空题(8864分0

Bb5C215CxbBxbAC中元素的最小值

2.2.zz1，则z24x45x25x401xCxb15,b0,x0b4时b45B4,5bb又5C0log5a1,A1,5s2故最小值为2s 得s2816由s28833s288s44于是z2 s t2s28 s 4所以z zz z44z解:z1ti,sz21t21.已知函数fxlogax2x1在1,2上恒正，则实数a的取值范围 a 2 28 综上a153g1a10,g24a31aa0a1gxax2x1a1时,gx12上递增,0a1,fx00gx112上递增,g11a30得agx1ax2x1a1,则fx0gx1ABCDEFABACBE2EF3EFBCD EFABC,ABCBCDBC所以 s故EFAE BE2,ABAE2sEF3,3AEAE s5在等边三角形ABD中DE2AD2AE22ADAEcos60∘25915DF219.DEF为腰长193其面积为S 319 3DEF为腰长193其面积为S 319 323答案 3

的值 2因此cotA2因此cotAcotBtanC2Sab ab ab6c, 6c2 答案:2a2b22S/a2b2c2/又tanC故cotAcotB a2c2,cotBb2c2有cotA解:设三角形面积为S 关注公众号★全科

ab

a1,

2a

7a2kb

ka

数k的取值范围 即即7k72k28k所以2k215k7因2k215k72k1k2k 2kb→展开7ka7a故7a2kbkab0,a a→→cos故故7k两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗.第一个使两颗骰子点数和不小于6者为胜,否则,由另一人投掷.则先投掷人的获胜概率为 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗.第一个使两颗骰子点数和不小于6者为胜，否则，由另一人投掷.则先投掷人的获胜概率为 解:6的概率为p6的情况为2解:6的概率为p6的情况为234对应情况数:123436,所以失败概率q10 p1q先投掷者获胜的概率为:pq2pq4p1 11 的最小值 32233,3因为其中心到顶点距离为39的小正三角形每边三等分,93的小正三角形共有123410个分点/10个点为圆心，作半径为33的小正三角形,都能被其三个顶点为圆心、半径3的圆覆盖129解:1.1112的大正三角形内,作一个同中心、边平行的正三角形,91210个半径为311个点,由抽屉原理,必有两个点落在同一个圆中,即可被一枚半径为32.10取a则23a在大三角形中放入一个边长为3a21的小正三角形,9a10个分点/这些点中任意两点的距离都至少为a72而半径为323,解答题:3小题,56分.3131

03131

36(1)fx312xxfx所以因此 , (2)解不等式3x312x令t31则则t12x,xt3t3t即3t32t75因式分解3t32t75t33t29t而3t29t25所以t30，即t312x两边立方得12x27x因此不等式的实数解集为(20分aa3

2n1a

,n2

n

log2anxx的最大整数kk3 nn3于是aS n3n1 2n所以通项公式为an2n因为log3anlog32n n1log2n2n1设Sna1a2an由题意,n2时2n1n所以S a nn3nSa3,因此S3 先有n10199故log3an4950346n 1n 4n l0,3M的轨迹方程

y24xPQ的垂直平分线.lPQM,Y3l0,3MX,Y,故kY3lPQ的垂直平分线,所以kYy2 y 2xy1y2y1y2弦PQ的斜率为MPQ的中点，因此Yy1上x11,x22PQy2Myx2又因为M是抛物线弦的中点,需要满足X ,代入可得X1x1Y证明题:40分.(请将图画在答题区域ABCOAOBCPAPB

ABAC

DEBECDQBAC60∘OPQ三点共线ACb,AB由切线弦定理由切线弦定理,PABACBPACPAB中,PAsinPBAsinBb PDAPB的平分线ADPAb PAsinCc 又同一条角平分线交ACEAEPAc 于 PBcc PA bbQCD由(1)得BD ,ADbcb b由(2)得CE ,AEbcb bACD中,BQE由梅涅劳斯定理,ABDQCEBDQC

BQE代入AB bc c2/b

b2/b bc/b 得 bbcCQbbc ROPAB,RABBAC60∘，所以圆心角BOCOBC中,OBCPBC共线,所以sinOBP1AP是切线，所以OAAPROPAOPBOPOP,

ABOP的距离比

而 而AOP

OABOP1OBBPsinOBP1OBBP11OB OAOBAR1OA(1)ADb (5),ABDR1OB2AP2b b b

PA PAc PDAPB的角平分线 PABPBsinPABsinACBc因此由梅涅劳斯定理的逆定理可知PQRROP,PRPO。因此Q故OPQ设aBCbCAc由BAC60∘,得a2b2c2bc.(1)DEPQ由于AP是外接圆在A点的切线,由切线弦定理和正弦定理bbbcb BPCQDRPCQD由346所以由角平分线定理,ADPA 同理,AEPAc PB PBC的外分线上,P0b2c2QBECDBE的方程为cxbzCD的方程为bxcy联立得Qbcb2c2OA60∘,所以Oab2cbc2bc, 即Oa2b2cbc2bPQP0b2c2Qbcb2c2可得c2yb2z2bcx将Oa2b2cbc2b(2)，得c2b2cbb2c2bc2bc其中最后一步用到了(1)OPQ的方程,所以OP证明题:40分abca2b2c2abc4.证明 b3 15b c a xa2b2c2qabbccarxr先估计前三项。由柯西不等式 a2

a2b2c2 abcbcaca