小学数学四年级上册除数是两位数的除法知识清单

小学数学四年级上册除数是两位数的除法知识清单  一、除数是两位数的除法核心概念与算理基石  （一）除法的意义与算式各部分名称【基础】  除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。它是乘法的逆运算。在除法算式中，除号前面的数称为被除数，表示要分的总数；除号后面的数称为除数，表示平均分的份数或每份的个数；等号后面的结果称为商，表示每份分得的个数或能分成的份数。如果分到最后有剩余且不够再分一份，这个剩余的数称为余数。一个完整的带余除法算式可以表示为：被除数÷除数=商……余数。其基本关系是：被除数=除数×商+余数，且余数必须小于除数。理解这一基本关系是进行除法验算和解决复杂问题的前提。  （二）除数是两位数的除法计算原理【基础】  除数是两位数的除法，其核心计算原理建立在“逐位试商”的基础上。由于除数不再是简单的一位数，我们不能直接利用乘法口诀快速找到商，而需要将除数看作一个整体，去试除被除数的前几位。这个过程本质上是不断地从被除数中减去若干个除数，直到剩余部分小于除数为止。减去的次数就是商，剩余的部分就是余数。计算时，从被除数的高位除起，先看被除数的前两位，如果前两位比除数小，就看前三位。每求出一位商，余下的数必须比除数小。这一原理与除数是位数的除法一脉相承，是对除法运算意义的深化和拓展。  二、除数是两位数的除法计算方法与技能  （一）口算除法【基础】【高频考点】  1.整十数除整十数或几百几十数：可以借助表内除法类推。例如，计算80÷20，可以想几个20是80，因为4个20是80，所以80÷20=4。也可以将其转化为表内除法，将被除数和除数都看作几个十，80是8个十，20是2个十，8个十除以2个十等于4。类似地，150÷30，可以想30×5=150，所以商5；或者150是15个十，30是3个十，15个十除以3个十等于5。  2.估算：在解决实际问题或进行笔算前的试商时，估算发挥着重要作用。通常将不是整十数的被除数或除数用“四舍五入”法看作与它接近的整十数或几百几十数来估算。例如，估算83÷21，可以把83看作80，21看作20，80÷20=4，所以商大约是4。估算431÷62，可以把431看作430，62看作60，430÷60≈7，所以商大约是7。  （二）笔算除法【核心】【重中之重】  笔算除数是两位数的除法是本章的核心技能，根据除数的特点，试商方法略有不同。  1.除数接近整十数的试商方法（“四舍五入”法）【重要】  ★“四舍”法试商：当除数的个位是1、2、3、4时，可以用“四舍”法把除数看作整十数来试商。初商可能偏大，需要调小。  例如：计算92÷23。除数是23，接近20，把它看作20试商。20×4=80，20×5=100，100＞92，所以先试商4。用23×4=92，92－92=0，正好除尽，商4合适。  【易错点】当用“四舍”法试商时，由于除数看小了，初商容易偏大。如果发现商与除数的乘积大于被除数，说明商大了，需要调小1再试。  ★“五入”法试商：当除数的个位是5、6、7、8、9时，可以用“五入”法把除数看作整十数来试商。初商可能偏小，需要调大。  例如：计算233÷39。除数是39，接近40，把它看作40试商。40×5=200，40×6=240，240＞233，所以先试商5。用39×5=195，233－195=38。余数38＜除数39，商5合适。  再例如：计算248÷38。除数是38，看作40试商。40×6=240，240＜248，试商6。38×6=228，248－228=20，余数20＜38，商6合适。但若试商6时，余数大于或等于除数，则需调大。  【易错点】当用“五入”法试商时，由于除数看大了，初商容易偏小。如果余数大于或等于除数，说明商小了，需要调大1再试。  2.除数不接近整十数的试商方法（灵活试商）【难点】  当除数是一个接近几十五的数（如14、15、16、24、25、26等）时，用“四舍五入”法试商可能需要多次调商，不够快捷。此时可以采用更灵活的方法，如直接运用一位数乘法口诀、根据被除数和除数的关系试商。  例如：计算125÷25。根据25的特殊性，可以直接想25×5=125，商5。  例如：计算96÷16。可以想16×6=96，商6。  例如：计算104÷26。可以想26×4=104，商4。  【技巧】对于除数是14、15、16、24、25、26这样的数，熟记它们的倍数关系，可以提高试商速度和准确性。  3.除数是两位数的除法笔算步骤（以196÷39为例）【必考】  （1）确定商的位数：被除数196是三位数，除数39是两位数。看被除数的前两位19，19＜39，不够商1，所以要看前三位，商是一位数，写在个位上。  （2）试商：把除数39看作40试商。40×4=160，40×5=200，200＞196，所以试商4。  （3）计算乘积：用试商4乘除数39，4×39=156。将156写在被除数196下面。  （4）求余数：196－156=40。  （5）比较余数与除数：余数40＞除数39，说明商4小了，需要调大。  （6）调商：将商调大为5。用5×39=195。196－195=1。  （7）再次比较余数与除数：余数1＜除数39，商5合适。  （8）写出结果：196÷39=5……1。验算：39×5+1=195+1=196。  （三）商是一位数的笔算除法【基础】  此类题的特征是：被除数的前两位小于除数，商只能写在个位上。计算步骤与上述示例一致，关键在于判断商的位数和正确试商。  （四）商是两位数的笔算除法【重要】【高频考点】  当被除数的前两位大于或等于除数时，商的最高位是十位，商是两位数。  例如：计算672÷24。  （1）看被除数的前两位67，67＞24，在十位上试商。把24看作20，20×3=60，试商3。3×24=72，72＞67，商大了，调为2。2×24=48，67－48=19。余数19小于除数24。  （2）将个位上的2落下来，组成192。用192÷24，试商。把24看作20，20×9=180，20×10=200，试商9。9×24=216，216＞192，商大了，调为8。8×24=192，192－192=0。  （3）所以672÷24=28。  【关键点】除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。每次除后余下的数必须比除数小。  （五）商的末尾有0的除法【高频考点】【易错点】  当被除数的某一位不够商1时，要用0来占位。  例如：计算842÷42。  （1）84÷42，在十位上商2，2×42=84，余0。  （2）将个位上的2落下来，2÷42，不够商1，直接在个位上商0占位。所以842÷42=20……2。验算：42×20+2=840+2=842。  【易错警示】当除到被除数的某一位，无论除到哪一位，只要不够商1，就在那一位上用0占位。特别是当被除数中间有0时，更要注意商的中间或末尾是否有0。不能因为这一位没有除的过程就漏写0。  三、商的变化规律及其应用【难点】【拓展】  （一）商不变的规律【核心规律】  在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。这就是商不变的规律。  用字母表示为：如果a÷b=c，那么(a×m)÷(b×m)=c，(a÷m)÷(b÷m)=c，其中m≠0。  例如：120÷30=4，那么(120×2)÷(30×2)=240÷60=4，商不变；(120÷3)÷(30÷3)=40÷10=4，商不变。  【重要应用】  1.简便计算：当被除数和除数末尾都有0时，可以同时去掉相同个数的0，使计算简便。例如，6300÷700，可以看作63÷7=9。  2.解决实际问题：在购买物品时，单价和总价同时变化，份数不变。  （二）商变化的规律  1.除数不变，被除数乘或除以一个非零的数，商也乘或除以相同的数。  例如：120÷30=4。如果被除数变为240（乘2），除数不变，那么商也乘2，变为8，即240÷30=8。  2.被除数不变，除数乘或除以一个非零的数，商反而除以或乘相同的数。  例如：120÷30=4。如果除数变为60（乘2），被除数不变，那么商反而除以2，变为2，即120÷60=2。如果除数变为15（除以2），被除数不变，那么商反而乘2，变为8，即120÷15=8。  （三）利用商不变的规律解决余数问题【易错点】  在应用商不变的规律进行简便计算时，如果有余数，余数也会随着被除数和除数的变化而变化。被除数和除数同时乘或除以一个数，商不变，但余数要乘或除以相同的数。  例如：计算6500÷300。可以将被除数和除数同时除以100，变成65÷3=21……2。但是，这里的2是65÷3的余数，对应原算式6500÷300的余数应该是2×100=200。因此6500÷300=21……200。验算：21×300+200=6300+200=6500。  【方法】在简便运算后，要恢复余数：将简化后的余数乘回缩小的倍数。  四、常见的数量关系【应用】【热点】  （一）单价、数量与总价的关系  1.基本概念：  单价：每件商品的价钱。  数量：买了多少件（或多少千克等）。  总价：一共花的钱数。  2.基本数量关系：  ★单价×数量=总价  ★总价÷单价=数量  ★总价÷数量=单价  3.应用举例：  【例题】学校食堂买了50袋大米，一共花了2500元，每袋大米多少钱？  分析：已知数量（50袋）和总价（2500元），求单价。根据“总价÷数量=单价”，列式为2500÷50=50（元）。答：每袋大米50元。  （二）速度、时间与路程的关系  1.基本概念：  速度：每小时（或每分钟、每秒等）行的路程。通常写作复合单位，如“千米/时”读作“千米每小时”，“米/分”读作“米每分钟”。  时间：行了几小时（或几分钟等）。  路程：一共行了多长的路。  2.基本数量关系：  ★速度×时间=路程  ★路程÷时间=速度  ★路程÷速度=时间  3.应用举例：  【例题】一辆汽车3小时行驶了240千米，它的速度是多少？  分析：已知时间（3小时）和路程（240千米），求速度。根据“路程÷时间=速度”，列式为240÷3=80（千米/时）。答：它的速度是80千米/时。  五、单元复习重难点与解题策略【精华】  （一）【高频考点】汇总  1.直接写出得数：考查整十数、几百几十数的口算除法。  2.估算：将非整十数除数或被除数用“四舍五入”法估算商。  3.笔算除法：包括商是一位数、两位数和商末尾有0的计算，重点考查试商和调商的过程。  4.改错题：针对笔算过程中常见的错误（如商的位置不对、余数比除数大、漏写0等）进行辨析和改正。  5.填空题：   （1）商的位数判断：如“562÷58，商的最高位在（）位，商是（）位数”。   （2）最大能填几：如“（）×40<316”。   （3）除法各部分关系：如“已知除数和商，求被除数”或“在有余数的除法中，求最小的被除数”。   （4）商的变化规律应用。  6.解决问题：结合“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”等数量关系，解决生活中的实际问题。  （二）【易错点】深度剖析与避坑指南  1.【易错点一】商的书写位置错误   错误表现：除到被除数的哪一位，商没有写在那一位的上面，尤其是当商是两位数时，容易把十位上的商写在个位上。   避坑指南：牢记笔算规则，用尺子对准数位。每除一步，都要用虚线将商与被除数的数位对齐。可以边计算边口述：“被除数的前两位够除，商写在十位上；把个位落下来，商写在个位上。”  2.【易错点二】余数大于或等于除数   错误表现：在计算过程中，每一步除完后的余数没有与除数比较大小，导致继续除下去时出错。   避坑指南：养成“一步一比较”的好习惯。每次算出余数后，立刻在心里默念：“余数要比除数小”。如果余数大于或等于除数，说明当前商小了，需要立即调大。  3.【易错点三】商的末尾漏写0   错误表现：当被除数某一位不够商1时，忘记用0占位，导致商少一位。   避坑指南：深刻理解“0占位”的意义。可以这样想：这一位如果商不是0，那么它应该是几？它最大也只能是0，因为没有数可除了。特别是当被除数的末尾是0，而前面的除完后没有余数时，商的末尾一定要添0。  4.【易错点四】应用商不变规律时余数处理不当   错误表现：在用简便方法计算如“6400÷300”时，直接得出21……1，而正确的余数应该是100。   避坑指南：牢记“商不变，余数变”。简便计算时，被除数和除数同时划掉了几个0，余数就要添上几个0。或者，不用简便方法，用原式进行笔算验证。  5.【易错点五】试商过程中调商不熟练   错误表现：在用“四舍五入”法试商时，初商不是偏大就是偏小，调商过程混乱，甚至不知道如何调。   避坑指南：加强心算和乘法口诀的熟练度。试商后，立刻用“试商×除数”心算乘积，并与被除数比较。如果乘积大于被除数，说明商大了，要调小；如果乘积后余数大于或等于除数，说明商小了，要调大。多进行专项的试商、调商练习。  （三）【难点】突破策略  1.灵活试商的技巧：当除数不接近整十数，且是14、15、16、24、25、26等特殊数时，可以采用“靠5”试商法或直接根据一位数乘法试商。例如，除数是26，可以想25×几接近被除数；除数是24，可以想25×几，再微调。建议制作一个“特殊数倍数表”，如14×2到14×9，经常读一读，形成数感。  2.商的变化规律的综合应用：这部分难点在于将规律逆向运用。例如，已知两数相除商是8，余数是5，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是（），余数是（）。此题要能理解商不变，但余数要扩大相同倍数，答案为8和50。另一种难点是，根据一个算式，推断另一个算式的结果，如根据A÷B=10，求(A×5)÷B，或A÷(B×2)。这需要深刻理解乘除变化对商的影响。  六、单元知识综合检测与解析  （一）基础知识达标（口算与估算）  1.直接写出得数：  320÷40=8  560÷70=8  180÷60=3  300÷50=6  490÷70=7  640÷80=8  720÷90=8  810÷90=9  2.估算下面各题：  143÷70≈2  （把143看作140）  632÷90≈7  （把632看作630）  242÷38≈6  （把242看作240，38看作40）  431÷59≈7  （把431看作420，59看作60；或430÷60≈7）  （二）核心技能过关（笔算与验算）  1.列竖式计算，带的要验算。  （1）196÷28   28接近30，试商6，28×6=168，196－168=28，余数28等于除数，商6小了，改商7。28×7=196，196－196=0。   196÷28=7   验算：28×7=196  （2）453÷58   58接近60，试商7，58×7=406，453－406=47，余数47小于58，商7合适。   453÷58=7……47   验算：58×7+47=406+47=453  （3）726÷35   35接近40，72÷35，试商2，2×35=70，72－70=2，落下个位6，组成26。26＜35，不够商1，在个位商0占位。   726÷35=20……26   验算：35×20+26=700+26=726  （4）900÷40   方法一：直接笔算。90÷40，试商2，2×40=80，90－80=10，落下个位0，组成100，试商2，2×40=80，100－80=20，商22，余20。   方法二：利用商不变规律。被除数和除数同时除以10，得90÷4=22……2，余数要恢复为2×10=20。   900÷40=22……20   验算：40×22+20=880+20=900  （三）概念规律辨析（填空与选择）  1.填空：  （1）计算374÷42时，可以把42看作（40）来试商，商是（一）位数。  （2）□65÷57，要使商是一位数，□里最大填（5）；要使商是两位数，□里最小填（6）。   解析：商是一位数，则被除数前两位□6<57，□里可以填1~5，最大填5；商是两位数，则被除数前两位□6≥57，□里可以填6~9，最小填6。  （3）在有余数的除法算式（）÷25=8……（）中，余数最大是（24），这时被除数是（224）。   解析：余数必须小于除数25，所以最大余数是24。被除数=除数×商+余数=25×8+24=200+24=224。  （4）已知A÷B=60，如果A不变，B除以3，那么商是（180）。如果B不变，A乘2，那么商是（120）。   解析：除数不变，被除数乘几，商就乘几。被除数不变，除数除以几（0除外），商反而乘几。  2.选择：  （1）下面算式中，商是两位数的是（C）。   A.465÷56  B.205÷30  C.784÷75   解析：A前两位46<56，商一位；B前两位20<30，商一位；C前两位78>75，商两位。  （2）3700÷600，正确的结果是（B）。   A.6……1  B.6……100  C.6……10   解析：应用商不变规律，37÷6=6……1，余数1对应原式的100。  （四）生活问题解决（应用数量关系）  1.【单价数量问题】王老师带了500元钱去体育用品店买足球，每个足球65元，他最多能买几个足球？还剩多少钱？   分析：总价500元，单价65元，求数量。数量=总价÷单价。   列式：500÷65=7（个）……45（元）   计算过程：65接近70，试商7，7×65=455，500－455=45，45<65，商7合适。   答：他最多能买7个足球，还剩45元。  2.【速度时间问题】一辆货车从甲地开往乙地，速度是65千米/时，用了8小时。返回时用了10小时，这辆货车返回时的速度是多少？   分析：先根据去时的速度和时间求出甲乙两地的路程，再根据返回的时间求出返回的速度。   路程=速度×时间=65×8=520（千米）   返回速度=路程÷时间=520÷10=52（千米/时）   答：这辆货车返回时的速度是52千米/时。  3.【综合性问题】某玩具厂要生产960个玩具，计划每天生产40个，实际每天