机械制图教学教案306

项目一制图的基本知识与技能一、制图基本规定（一）图纸幅面和格式（GB/T14689—2008）1.图纸幅面图纸幅面是指图纸宽度（B）和长度（L）组成的图面。为了合理利用图纸和便于图样管理，国际中规定了图纸的五种基本幅面，其代号分别为A0、A1、A2、A3、A4。绘制技术图样时，优先选用表1-1中的基本幅面尺寸，基本幅面的尺寸关系如图1.1-2所示。必要时，可以选用加长幅面尺寸。加长幅面是按基本幅面的短边成整数倍增加的。表1-1图纸基本幅面尺寸和图框尺寸幅面代号A0A1A2A3A4B×L841×1189594×841420×594297×420210×297e2040c105a25图1.1-2基本幅面的尺寸关系2、图框格式图纸上限定绘图区域的线框称为图框。图框在图纸上必须用粗实线绘出，其格式分为不留装订边和留装订边，如图1.1-3所示。e、c、a等值均按表1-1中的规定数值。同一产品的图样只能采用一种格式。（a）留有装订边的图框格式（b）不留装订边的图框格式图1.1-3图框格式3、对中符号和方向符号为了便于图样复制和缩微摄影，在图纸各边长的中点处绘制对中符号。对中符号是从周边画入图框内5mm的一段短粗实线。当对中符号在标题栏范围内时，则伸入标题栏内的部分予以省略。如果使用预先印制的图纸，需要改变标题栏的方位，那么必须将其旋转至图纸的右上角。此时，为了明确绘图与看图的方向，应在图纸的下边对中符号处画出方向符号，如图1.1-4所示。图1.1-4有对中符号和方向符号的图框格式（二）标题栏（GB/T10609.1—2008）图框右下角必须绘制标题栏，标题栏中的文字方向为看图方向。标题栏是用来填写图样的综合信息，国家标准规定的标题栏格式如图1.1-5所示。在学校的制图作业中可采用图1.1-6所示的简化形式的标题栏。图1.1-5国家标准规定的标题栏格式（a）零件图标题栏（b）装配图标题栏图1.1-6学校用简化形式的标题栏（三）比例（GB/T14690-1993）图样中机件要素的线性尺寸与实际机件相应要素的线性尺寸之比称为比例。绘图时，应从表1-2所列的常用比例中选取。表1-2常用比例原值比例1︰1缩小比例1︰1.51︰21︰2.51︰31︰41︰51︰10ⁿ1︰1.5×10ⁿ1︰2×10ⁿ1︰2.5×10ⁿ1∶5×10ⁿ放大比例2∶12.5×14∶15∶1（10×n）︰1比例一般分为原值比例、缩小比例及放大比例三种类型。绘制图样时，尽可能采用原值比例，以便图中看出实物的大小。根据需要也可以采用放大或缩小的比例，但不论采用何种比例，图中所注尺寸数字仍为机件设计要求的尺寸。另外，图样按比例放大或缩小，仅限于图样上各线性尺寸而与角度无关。如图1.1-7所示。图1.1-7不同比例绘制的图形绘制同一机件的各个视图应采用相同的比例，并在标题栏中统一填写，当某个视图采用了不同的比例时，必须在该视图名称的上方以分数形式标注出该图形所采用的比例，如：、等。标注示例如图1.1-8所示。图1.1-8标注示例（四）图线（GB/T17450-1998、GB/T4457.4-2002）1、图线的型式及应用国家标准《技术制图图线》规定了绘制各种技术图样的15种基本线型。根据基本线型及其变形，机械图样中规定了表1-3所列的9种图线，应用示例如图1.1-9所示。图线名称线型线宽一般应用粗实线粗（d）可见轮廓线细实线细（d/2）尺寸线及尺寸界线剖面线重合断面轮廓线过渡线细虚线细（d/2）不可见轮廓线、不可见过渡线细点画线细（d/2）轴线对称中心线粗点画线粗（d）限定范表示线（特殊要求）细双点画线d/2相邻辅助零件的轮廓线轨迹线极限位置的轮廓线中断线波浪线细（d/2）断裂处边界线局部剖分界线双折线细（d/2）断裂处边界线视图与局部剖视图的分界线粗虚线d允许表面处理的表示线表1-3基本线型及一般应用图1.1-9图线应用示例2、图线宽度在机械图样中采用粗细两种线宽，它们之间的比例为2︰1。图线的宽度d应根据图形的大小和复杂程度，在下列数系中选择：0.13、0.18、0.25、0.35、0.5、0.7、1、1.4、2（单位：mm）。通常情况下，粗线的宽度采用0.5mm或0.7mm，为了保证图样清晰、便于复制，图样上应尽量避免出现宽度小于0.18mm的图线。在同一图样中，同类图线的宽度应一致。3、注意事项如图1.1-10所示，图样上图线绘制要注意如下几点：（1）同一图样中同类图线的宽度应基本一致。虚线、点画线及双点画线的线段长度和间隔应各自大致相等。（2）绘制圆的对称中心线时，圆心应为线段的交点，点画线和双点画线的首末两端应是线段而不是点，且应超出图形外约3～5mm。当所绘圆的直径较小（小圆直径一般小于8mm），绘制点画线或双点画线有困难时，允许用细实线代替。（3）细虚线、点画线、双点画线相交时，应该是线段相交。当虚线是粗实线的延长线时，在连接处应断开。（4）当各种线型重合时，应按粗实线、虚线、点画线的优先顺序画出。图1.1-10图线绘制的注意事项（五）字体（GB/T14691—1993）图样中除图形时，还需要汉字、数字和字母等进行标记或说明，它是图样的重要组成部分。字体包括汉字、数字及字母的字体，必须做到：字体端正、笔画清楚、排列整齐、间隔均匀。字体的号数即字体的高度h，分别为20、14、10、7、5、3.5、2.5、1.8（单位：毫米）八种，字体的宽度约等于字体高度的2/3。数字及字母的笔画宽度约为字高的1/10。汉字应写成长仿宋字体，并应采用国家正式公布的简化字，汉字高度不应小于3.5mm，其宽度一般为h/√2。长仿宋体汉字的书写要领是横平竖直、注意起落、结构匀称、填满方格。汉字常由几个部分组成，为了使字体结构匀称，书写时应恰当分配各组成部分的比例。数字和字母分为A型和B型。A型字体的笔画宽度d为字高h的1/14；B型字体的笔画宽度d为字高h的1/10。数字和字母有直体和斜体之分，在图样中通常采用斜体。斜体字的字头向右倾斜，与水平成75°角。在同一图样上，只允许选用一种型式的字体。字体示例：二、尺寸标注（GB/T4458.4—2003、GB/T19096—2003、GB/T16675.2—1996）图形只能表示物体的形状，而其大小由标注的尺寸确定。尺寸是图样中的重要内容之一，是加工机件的直接依据。因此，在标注尺寸时，必须严格遵守国家标准有关规定，做到正确、齐全、清晰和合理。（一）基本规则（1）机件的真实大小应以图样上所注的尺寸数值为依据，与图形的大小及绘图的准确度无关.（2）图样中（包括技术要求和其他说明）的尺寸，以毫米（mm）为单位时，不需标注计量单位符号或名称，如采用其他单位，则应注明相应的单位符号。（3）图样中所标记的尺寸，为该图样所示机件的最后完工尺寸，否则应另加说明。（4）机件的每一尺寸，一般只标注一次，并应标注在反映该结构最清晰的图形上。（二）尺寸标注的要素一个完整的尺寸，由尺寸界线、尺寸数字、尺寸线和终端（箭头或斜线）组成，如图1.1-11所示。尺寸界线和尺寸线画成细实线。如图1.1-12所示，尺寸线的终端有箭头[见图1.1-12（a）]和斜线[见图1.1-12（b）]两种形式。通常机械图样的尺寸线终端画箭头，土建图的尺寸线终端画斜线。当没有足够的地方画箭头时，可以用小圆点代替[见图1.1-12（c）]。图1.1-11尺寸的组成图1.1-12尺寸线的终端形式（三）常用尺寸标注方法在实际绘图中，尺寸标注的形式很多，常用尺寸标注方法见表1-4。表1-4常用尺寸标注方法尺寸种类图例说明尺寸界线尺寸界线应由图形的轮廓线、轴线或对称中心线处引出，也可以利用轮廓线、轴线或对称中心线作为尺寸界线。尺寸界线一般应与尺寸线垂直并超过尺寸线约2～3mm尺寸线尺寸线不能用其他图线代替，也不得与其他图线重合或在其延长线上。尺寸线应与所标注的线段平行，其间隔及两平行的尺寸线间的间隔以5～7mm为宜。尺寸线间或尺寸线与尺寸界线之间应尽量避免相交尺寸数字尺寸数字一般书写在尺寸线的上方或中断处。线性尺寸数字的注写方向如图（a）所示，应避免在图示30°范围内标注尺寸，当无法避免时，可按图（b）的形式标注。尺寸数字不可被任何图线所穿过，当不可避免时，必须如图（c）所示将图线断开。直径和半径当标注直径时，在尺寸数字前加注符号“φ”；当标注半径时，在尺寸数字前加注符号“R”，其尺寸线应通过圆心，尺寸线的终端应画成箭头，如图（a）所示。相同圆孔的直径前应加圆孔数量，如“2×φ6”；相同圆弧的半径尺寸前不必加数量；当圆弧半径过大，在图纸范围内无法标出其圆心位置时，可按图（b）的形式标注角度尺寸界线沿径向引出；尺寸线为以角度顶点为圆心的圆弧。尺寸数字一律水平写，一般写在尺寸线的中断处，也可注在外边或引出标注小尺寸当位置不够时，箭头可画在外边，允许用小圆点或斜线代替两个连续尺寸间的箭头。在特殊情况下，标注小圆的直径允许只画一个箭头；有时为了避免产生误解，可将尺寸线断开对称尺寸对称机件的图形如只画出一般或省略大于一半时，尺寸线应略超过对称中心线或断裂处。此时只在靠尺寸界线的一端画出箭头球面一般应在“φ”或“R”前面加注符号“S”。但不致引起误解的情况下，也可不加注弧长和弦长尺寸界线应平行于该弦的垂直平分线；表示弧长的尺寸线用圆弧，同时在尺寸数字上加注“⌒”（四）标注尺寸的符号及缩写词尺寸标注常用符号及缩写词见表1-5。表1-5尺寸标注常用符号及缩写词名词直径半径球直径球半径厚度正方形45°倒角深度深孔或锪平埋头孔均布符号或缩写成ΦRSΦSRt□C三、绘图工具的使用正确使用制图工具对提高绘图速度和图面质量起着重要的作用，熟练掌握制图工具的使用方法是一名工程技术人员必备的基本素质。常用的制图工具有图板、丁字尺、三角板、圆规、分规、铅笔、比例尺、曲线板、擦图片、绘图橡皮、胶带纸、削笔刀等等，本书主要介绍前5种。（一）图板和丁字尺图板根据大小有多种型号，图板的短边为导边；丁字尺是用来画水平线的，丁字尺的上面那条边为工作边。绘图时，先将图纸固定在图板上，丁字尺头部紧靠图板导边，画线时铅笔垂直纸面向右倾斜30°。丁字尺上下移动到画线位置，自左向右画水平线。（二）三角板一副三角板由45°和30°（60°）两块直角三角板组成。三角板与丁字尺使用可画垂直线，还可以画出与水平线成30°、45°、60°以及75°、15°的倾斜线，如图1.1-14所示。（a）用三角板丁字尺画垂直线（b）用三角板丁字尺画倾斜线图1.1-14丁字尺与三角板配合画线如图1.1-15所示，两块三角板配合使用，可画任意已知直线的平行或垂直线。图1.1-15两块三角板配合画线（三）圆规与分规圆规用来画圆和圆弧。如图1.1-16所示，画圆时，圆规的钢针使用有台阶的一端，以避免图纸上的针孔不断扩大，并使笔尖与纸面垂直。图1.1-16圆规的使用如图1.1-17所示，分规是用来截取线段、等分直线或圆周，以及从尺上量取尺寸。分规的两个针尖并拢时应对齐。图1.1-17分规的使用（四）铅笔在绘图工程图样时要选择专用的绘图铅笔，通常用“B”和“H”代表铅芯的软硬程度。“B”表示软性铅笔，B前的数字越大，铅芯越软，画出来的图线就越黑；“H”表示硬性铅笔，H前的数字越大，铅芯越硬，画出来的图线就越淡；“HB”表示铅芯软硬适中。画粗实线常用B或HB，画细线常用H或2H，画细实线、点画线、双点画线、虚线和写字常用HB。画底稿时建议用2H铅笔。画圆或圆弧时，圆规中的铅芯比画直线的铅芯软1～2挡。铅笔应从无硬度标记的一端削起，用于画粗实线的铅笔铅芯应磨成矩形断面，其余的磨成圆锥形，如图1.1-18所示。图1.1-18铅笔的削磨法四、尺规绘图的方法与步骤（一）准备工作（1）分析图形的尺寸与线段，初拟作图步骤.（2）确定比例，选取图纸幅面。（3）绘制图框和标题栏。（二）绘制底稿（1）绘制基准线，确定图形位置.（2）依次绘制图形轮廓，完成图形底稿。（3）绘制尺寸界线和尺寸线。（4）检查底稿，修正错误，擦去多余作图线。（三）描深按标准线型描深图线，描深顺序如下：（1）先粗后细。先描深全部粗实线（用HB或B铅笔），在描深全部虚线、点画线和细实线（用H或2H铅笔），以提高绘图速度，并保证同类线型粗细一致。（2）先曲后直。描深同一线型时，应先画圆弧，后画直线段，以保证连接光滑.（3）先水平后垂直。先从上而下画水平线，再从左到右画垂直线，最后画倾斜线，以保证图面清洁。（4）画箭头，填写尺寸数字及标题栏等。☆拓展训练拓展1-1：抄绘垫板图纸图1.1-31所示为垫板零件图纸，抄绘该图纸。图1.1-31垫板图纸拓展1-2：抄绘角度样板图纸图1.1-32所示为角度样板图纸，抄绘该图纸。图1.1-32角度样板图纸提示：绘制该零件时，除要注意图形分析外，要特别注意60°斜线的绘制，其绘制方法如图1.1-33所示。图1.1-3360°斜线的绘制方法任务二绘制平面图形一、等分作图（一）等分直线段可用平行线法将已知线段AB分成n等分。例如，将已知线段AB进行五等分，其作图步骤如图1.2-2所示。（1）从已知线段的一端A任作一条不与原线段及其延长线重合的射线AC。（2）由端点A起利用直尺或圆规在射线AC上，以适当长度截取5个等分点。（3）将射线上的等分终点与已知直线另一端点B连接，并过射线上各等分点作此连线的平行线与已知直线段相交，交点即为所求。图1.2-2等分直线段（二）等分圆周并做正多边形1.将圆周三、四、六等分用三角板配合丁字尺，可将圆周三、四、六等分，即作等边三角形、正方形和正六边形。其作图方法如图1.2-3所示。此外，也可利用圆的半径R将圆周六等分，然后用直线连接各等分点，即成为圆的内接正六边形。图1.2-3圆周三、四、六等分2.将圆周五等分用圆规等分圆周，可将圆周五等分，即绘制正五边形。作图方法如图1.2-4所示。（1）以圆的象限点A为圆心，OA为半径画圆弧，交外接圆于点E和点F，连接EF交直线OA于点B。（2）以点B为圆心，BC为半径画弧，交OA于点D。（3）以点C为圆心，CD为半径画弧，交圆于G，H两点。（4）分别以G，H两点为圆心，以CG和HC为半径画圆弧，即可得到点M和点N，然后依次连接各等分点即可得到正五边形。图1.2-4圆周五等分二、斜度和锥度（一）斜度一直线对另一直线或一平面对另一平面的倾斜程度，称为斜度，在图样中以1﹕n的形式标注。斜度的符号、标注方法如图1.2-5所示（h为字高）。斜度符号的方向必须与斜度方向一致。例如，己知的斜度为1﹕5，其作法如图1.2-5所示。（1）作水平线，取AB=5个单位长度。（2）过点B作BC垂直于AB，使BC=1个单位长度。（3）连接AC，其斜度即为1：5。(a)斜度符号(b)斜度标注(c)斜度1﹕5的作法图1.2-5斜度的画法与标注（二）锥度正圆锥体底圆直径与锥高之比或圆锥台的上下底圆直径之差与圆锥台高度之比，称为锥度，在图样中以1:n的形式标注。锥度的符号、标注方法如图1.2-6所示，锥度符号的方向必须与锥度方向一致。例如，已知圆锥体的锥度为1：4，其作法如图1.2-6所示。（1）作AB垂直于CD，并截取CB=BD。（2）截取AB=4CD，即CD：AB=1：4，连接AC和AD，则圆锥体的锥度为l﹕4。(a)锥度符号(b)锥度1﹕4的作法图1.2-6锥度的画法与标注三、椭圆已知长、短轴长度，可用四心圆法近似作椭圆。如图1.2-7所示，作图步骤如下：（1）画出长、短轴AB、CD,连接AC，以C为圆心，长半轴与短半轴之差为半径画弧交AC于E点。（2）作AE的中垂线与长、短轴于O3、O1点，并作出其对称点O4、O2。（3）分别以O1、O2为圆心，O1C为半径画大弧，以O3、O4为圆心,O3A为半径画小弧，即得椭圆。图1.2-7椭圆的画法四、圆弧连接用一段圆弧光滑地连接另外两条已知线段（直线或圆弧）的作图方法称为圆弧连接。要保证圆弧连接光滑，就必须使线段与线段在连接处相切。要使圆弧和已知相邻线段光滑连接，作图关键是求作连接圆弧的圆心及确定连接圆弧与已知线段的切点。圆弧连接的作图方法和步骤见表1-6。表表1-6圆弧连接的作图方法和步骤五、平面图形的分析与作图平面图形是由若干直线和曲线封闭连接组合而成的。画平面图形时，首先应对这些直线和曲线的尺寸和线段性质进行分析，才能确定平面图形的作图步骤。下面以图1.2-8所示手柄为例，说明平面图形的分析和作图步骤。图1.2-8手柄（一）平面图形的尺寸分析在图形中，根据所起的作用不同，尺寸分为定形尺寸和定位尺寸两类。1.定形尺寸用以确定图形中各部分几何形状大小的尺寸，称为定形尺寸。如直线的长度、倾斜的角度和圆或圆弧的直径、半径等，如图1.2-8中的R15、R10、R50、R12、φ20、φ5等尺寸。2.定位尺寸用以确定各部分图形之间相对位置的尺寸，称为定位尺寸。如图1.2-8中尺寸8用于确定小圆φ5的位置，75用于确定R10圆弧中心的位置，φ30用于确定R50的圆弧的位置。有的尺寸既有定形尺寸的作用，又有定位尺寸的作用，如图1.2-8中的φ30。标注尺寸还有一个基准问题，所谓尺寸基准就是标注尺寸的起始点、线。对平面图形来说，一般有水平和垂直两个方向的基准，如图1.2-8所示的手柄是以水平轴线作为垂直方向的尺寸基准，以手柄中间端面作为水平方向的尺寸基准。（二）平面图形的线段分析组成该平面图形中的线段(直线、圆、圆弧)有的可以直接画出，如φ20、φ5、15、R10、R15等；有的必须把有关线段画出之后才能画出，如R50；有的则只有在其他有关线段都画出之后，根据相邻线段之间的几何连接关系才能最后画出，如R12。按照上述的分析顺序，可以把平面图形中的线段按其尺寸是否标注齐全分为三类，即已知线段、中间线段和连接线段。（1）已知线段。已知线段指定形、定位尺寸均齐全的线段，如图1.2-8中的φ5、Ｒ10。（2）中间线段。中间线段指只有定形尺寸和一个定位尺寸，而缺少另一个定位尺寸的线段。此类线段要在其相邻一端的线段画出后，再据连接关系通过几何作图的方法画出，如图1.2-8中的Ｒ50。（3）连接线段。连接线段指只有定形尺寸而缺少定位尺寸的线段，如图1.2-8中的Ｒ12。☆拓展训练拓展1-3：绘制手柄形的平面图形如图1.2-10所示为手柄形的平面图形，绘制其平面图形。图1.2-10手柄形的平面图形（二）拓展1-4：绘制扳手的平面图形如图1.2-11所示为扳手的平面图形，绘制其平面图形。图1.2-11扳手的平面图形项目二正投影作图基础一、投影法概述物体被灯光或日光照射，在地面或墙面上就会留下影子，这就是投影现象。人们在上述现象的启示下，在长期的生产实践中，经过反复地观察和研究，从物体和投影的对应关系中，总结出了用投影原理在平面上表达物体形状的方法，这种方法就是投影法。投影法一般可分为两大类：一类是中心投影法，另一类是平行投影法。如图2.1-2所示。（a）中心投影法（b）平行投影法图2.1-2投影法分类（一）中心投影法投射线互不平行且汇交于一点的投影法称为中心投影法，如图2.1-2(a)所示。把光源S称为投射中心，光线称为投射线，平面P称为投影面，在P面上得到的图形称为投影。由此图可知，投射线都是从投射中心光源点灯泡发出的，投射线互不平行，所得的投影大小总是随物体的位置不同而改变。用中心投影法所得到的投影不能反映物体的真实大小，因此，它不适用于绘制机械图样。但是由于中心投影法绘制的图形立体感较强，所以它适用于绘制建筑物的外观图以及美术画等。（二）平行投影法投射线相互平行的投影法称为平行投影法，如图2.1-2(b)所示。随着投射中心S距离投影平面的远近不同，所得到的投影的大小就会不同。设想将投射中心S移到无穷远处，这时投射线互相平行，则投影面上的投影四边形abcd就会与空间四边形ABCD的轮廓大小相等，所得到的投影可以反映物体的实际形状。在平行投影法中，根据投射线与投影面所成的角度不同，又可分为斜投影法和正投影法两种。1.斜投影法在平行投影法中，当投射线与投影面倾斜成某一角度时，称为斜投影法。按斜投影法得到的投影称为斜投影，如图2.1-3（a）所示。2.正投影法在平行投影法中，当投射线与投影面垂直时，称为正投影法。按正投影法得到的投影称为正投影，如图2.1-3（b）所示。（a）斜投影（b）正投影图2.1-3斜投影和正投影由于用正投影法得到的投影能够表达物体的真实形状和大小，具有较好的度量性，绘制也较简便，故在工程上得到了普遍采用。二、正投影法的基本性质由于正投影的投射线相互平行，且垂直于投影面，因而正投影具有如下特性：（1）实形性。当物体的某一平面（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长），如图2.1-4（a）所示。（2）积聚性。当物体的某一平面（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点），如图2.1-4（b）所示。（3）类似性。当物体的某一平面（或棱线）与投影面倾斜时，其投影与该平面（或棱边）类似，即凹凸性、直曲性和边数类似，但平面图形变小了，线段变短了，如图2.1-4（c）所示。（a）实形性（b）积聚性（c）类似性图2.1-4正投影法的基本性质实形性、积聚性、类似性是正投影法的三个重要性质，在绘图和读图中将经常用到，必须牢固掌握。三、三视图的形成及其投影规律和画法按国家标准《机械制图》的规定，按正投影法将机件向投影面投影所得的图形称为视图。当用正投影法绘制机件的视图时，是将机件置于观察者与投影面之间，以观察者的视线作为相互平行的投影线，而将观察的的形状画在投影面上。物体是有长、宽、高三个尺度的立体。要认识它，就应该从上、下、左、右、前、后各个方向去观察它，正阳才能对其有一个完整的了解。图2.1-5所示为四个不同的物体，只取它们一个投影面上的投影，如果不附加其他说明，是不能确定各物体的整个形状的。图2.1-5不同形状的物体在同一投影面上可以得到相同的投影（一）三投影面体系为了表达物体的形状和大小，选取互相垂直的三个投影面，构成三投影面体系，如图2.1-6所示。三个投影面的名称和代号分别如下：（1）正对观察者的投影面称为正立投影面(简称正面)，代号用“V”表示。（2）右边侧立的投影面称为侧立投影面(简称侧面)，代号用“W”表示。（3）水平位置的投影面称为水平投影面(简称水平面)，代号用“H”表示。图2.1-6三投影面体系这三个互相垂直的投影面就好像室内一角，即像相互垂直的两堵墙壁和地板那样，构成一个三投影面体系：当物体分别向三个投影面作正投影时，就会得到物体的正面投影(V面投影)，侧面投影(W面投影)和水平面投影(H面投影)。三投影面体系彼此垂直相交，故形成三根投影轴，简称三投影轴。它们的名称分别如下：（1）正立投影面(V)与水平投影面(H)相交的交线，称为OX轴，简称X轴。（2）水平投影面(H)与侧立投影面(W)相交的交线，称为OY轴，简称Y轴。（3）正立投影面(V)与侧立投影面(W)相交的交线，称为OZ轴，简称Z轴。X、Y、Z轴的交点称为原点，用“O”表示。（二）三视图的形成在工程上，假设把物体放在观察者与投影面体系之间，如图2.1-7（a）所示，使机件上的主要表面处于平行或垂直于各投影面的位置，按正投影法分别向V、H、W面投影，即可得到机件的三个视图。三个视图分别为：（1）主视图——由物体的前方向后方投射所得到的视图。（2）俯视图——由物体的上方向下方投射所得到的视图。（3）左视图——由物体的左方向右方投射所得到的视图。按国标规定，视图中凡是可见的轮廓线用粗实线表示；不可见的轮廓线用虚线表示；对称线用细点画线表示。为了把空间的三个视图画在一个平面上，就必须把三个投影面展开摊平。展开的方法是：正面V保持不动，水平面H绕OX轴向下旋转90°，侧面W绕OZ轴向右旋转90°，使它们和正向P展成一个平面，如图2.1-7（b）、图2.1-7（c）所示。这样展开在一个平面上的三个视图，称为物体的三面视图，简称三视图。由于投影面的边框是设想的，所以不必画出。去掉投影面边框后的物体的三视图如图2.1-7（d）所示。（a）（b）（c）（d）图2.1-7三视图的形成及展开（三）三视图的关系及投影规律从三视图的形成过程中，可以总结出三视图的位置关系、投影关系和方位关系。1.位置关系由图2.1-7（d）所示可知，物体的三个视图按规定展开，摊平在同一平面上后，具体明确的位置关系为：主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。2.投影关系任何一个物体都有长、宽、高三个方向的尺寸。由图2.1-7（d）所示可知：（1）V面投影反映物体的长度（X方向）和高度（Z方向）尺寸，以及物体上平行于正平面的平面实形。（2）H面投影反映物体的长度和宽度（Y方向），以及物体上平行于水平面的平面实形。（3）W面投影反映物体的高度和宽度，以及物体上平行于侧平面的平面实形。由于三个视图反映的是同一物体，其长、宽、高是一致的，所以每两个视图之间必有一个相同的度量。即：主、俯视图反映了物体的同样长度(等长)；主、左视图反映了物体的同样高度(等高)；俯、左视图反映了物体的同样宽度(等宽)。因此，三视图之间的投影对应关系可以归纳为：主、俯视图———长对正(等长)；主、左视图———高平齐(等高)；俯、左视图———宽相等(等宽)。简单地说就是“长对正，高平齐，宽相等”。对于任何一个物体，不论是整体，还是局部，这个投影对应关系都保持不变。“三等”关系反映了三个视图之间的投影规律，是看图、画图和检查图样的依据。3.方位关系三视图不仅反映了物体的长、宽、高，而且同时反映了物体的上、下、左、右、前、后六个方位的位置关系。由图2.1-7（d）可以看出：（1）主视图反映了物体的上、下、左、右方位。（2）俯视图反映了物体的前、后、左、右方位。（3）左视图反映了物体的上、下、前、后方位。（四）三视图的画法画物体的三视图时，除了要遵从上述“三等”关系外，还要按照主、俯和左视图之间的相对位置绘制各投影图。这三个视图的位置关系为：以V面投影为准，H面投影在V面投影的下方，并且对正；W面投影在V面投影的右方，并且相互平齐。作图时，俯视图和左视图“宽相等”这一投影关系可用45°辅助线表达。绘制三视图时，可设想分别从物体的前方、左侧和上方观察物体：若棱边和轮廓线可见，则用粗实线表示；若棱边和轮廓线不可见，则用细虚线表示。当粗实线与虚线或点画线重合时，应画成粗实线；当虚线与点画线重合时，应画成虚线。☆拓展训练拓展2-1：根据立体图补画视图中所缺图线如图2.1-9所示，根据立体图和三视图投影规律补画视图中所缺图线。图2.1-9补画视图中所缺图线拓展2-2：根据立体图绘制三视图如图2.1-10所示，根据立体图和三视图投影规律绘制物体的三视图（数值从立体图上量取且取整数，按1:1）。图2.1-10绘制三视图拓展2-3：根据立体图和主、左视图补画俯视图如图2.1-11所示，根据立体图和主、左视图，补画俯视图。图2.1-11补画俯视图任务二点、线、面的三面投影一、点的投影分析（一）点的投影规律空间点在任意投影面上的投影是点。若将空间点A置于三投影面体系中，然后分别向H、V、W三个投影面作投射线，投射线在三个投影面上的垂足a、a′、a′′分别为空间点A的水平投影、正面投影和侧面投影，如图2.2-2所示。图2.2-2点的投影统一规定，空间点用大写拉丁字母A、B、…表示，H面投影用相应的小写字母a、b、…表示，V面投影用相应的小写字母加一撇如a′、b′、…表示，W面投影用相应的小写字母加两撇如a′′、b′′、…表示。由图2.13所示投影图可看出点A的投影规律为：(1)点A的正面（V）投影与水平面（H）投影的连线一定垂直OX轴，即aa′⊥OX。(2)点A的正面（V）投影与侧面（W）投影的连线一定垂直OZ轴，即a′a′′⊥OZ。(3)点A的水平面（H）投影到OX轴的距离等于点A的侧面（W）投影到OZ轴的距离，即aax=a′′az。由此可知，点的投影仍符合“长相等、高平齐、宽相等”的投影规律，尽管点本身没有长、宽、高之说。（二）点的坐标与投影关系如图2.2-3所示，在三投影面体系中，点的位置可由点到三个投影面的距离来确定。若将三投影面体系看作是直角坐标系，则投影面H、V、W形面和投影轴X、Y、Z轴可分别看作是坐标面和坐标轴，三轴的交点O可看作是坐标原点。点到三个投影面的距离可以用直角坐标系的三个坐标x、y、z表示。即：（1）点A到W面的距离,以坐标x标记；（2）点A到V面的距离,以坐标y标记；（3）点A到H面的距离,以坐标z标记。因为x坐标确定空间点在投影面体系中的左右位置，y坐标确定空间点在投影面体系中的前后位置，z坐标确定点在投影面体系中的高低位置，因此，点在空间的位置可以用坐标x、y、z确定，通常采用A(x，y，z)，B(xB，yB，zB)等的书写形式表示。A点三投影的坐标分别为a（x,y）、a′（x,z）、a′′（y,z）。如A(20，15，30)，即表示A点的x坐标为20mm，y坐标为15mm；z坐标为30mm。通常把x坐标称为横标，y坐标称为纵标，z坐标称为高标。图2.2-3点的投影与点的坐标关系（三）重影点与可见性当空间两点的某两个坐标值相同时，该两点处于某一投影面的同投射线上,则这两点对该投影面的投影重合于一点，称为对该投影面的重影点。空间两点的同面投影(同一投影面上的投影)重合于一点的性质，称为重影性。重影点有可见性问题。在投影图上，若两个点的同面投影重合，则对重合投影所在投影面的距离(即对该投影面的坐标值)较大的那个点是可见的，而另一点是不可见的，加圆括号表示，如（a）、（a′）、（a′′）…。如图2.2-4所示，E、F两点的正面投影e′和f′重影成一点，即XE=XF,ZE=ZF,E=F，但E在F的前边，即YE＞YF。这说明点E在点F的正前方,所以对V面来说，E是可见的，用e′表示，F是不可见的，用（f′）表示。图2.2-4重影点的投影（四）两点的相对位置两点的相对位置是以一点为基准，判断其他点相对于这一点的左右、高低、前后位置关系。在三投影面体系中，两点的相对位置是由两点的坐标差决定的。如图2.2-5所示，已知空间两点A(xA，yA，zA)和B(xB，yB，zB)。A、B两点的左右位置由x坐标差(xA-xB)决定，由于xA＞xB，因此A点在左，B点在右；A、B两点的前后位置由y坐标差(yB-yA)决定，由于yB＞yA，因此B点在前，A点在后；A、B两点的上下位置由z坐标差(zB-zA)决定，由于zB＞zA，因此B点在上，A点在下。概括地说，就是B点在A点的右方、前方、上方。图2.2-5两点的相对位置二、直线的投影分析直线的投影取决于该直线上两个点的投影。作直线上两个点的三面投影，然后将两点的同面投影用直线连接起来即可，如图2.2-6所示。图2.2-6直线的三面投影在三投影面体系中，空间直线与投影面的相对位置有三种：投影面平行、投影面垂直线和一般位置直线。（一）投影面平行线投影面平行线只平行于一个投影面，而倾斜于另两个投影面。在三投影面体系中，投影面平行线分三种：平行于正（V）面的直线称为正平线；平行于水平（H）面的直线称为水平线；平行于侧（W）面的直线称为侧平线。投影面平行线的投影见表2-1。表2-1投影面平行线的投影水平线正平线侧平线投影面平行线的投影特性如下：（1）直线在与其平行的投影面上的投影反映实长，同时反映该直线与另外两个投影面倾角的实际大小。（2）该直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长度缩短。（二）投影面垂直线投影面垂直线只垂直于一个投影面，而平行于另两个投影面。在三投影面体系中，投影面垂直线分三种：垂直于正（V）面的直线称为正垂线；垂直于水平（H）面的直线称为铅垂线；垂直于侧（W）面的直线称为侧平线。投影面垂直线的投影见表2-2。表2-2投影面垂直线的投影铅垂线正垂线侧垂线投影面垂直线的投影特性如下：（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点。（2）该直线的另外两个投影垂直于相应的投影轴，且反映该直线的实长。（三）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。一般位置直线的三面投影均与投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长。一般位置直线的投影如图2.2-7所示。图2.2-7一般位置直线的三面投影三、平面的投影分析平面的投影是由其轮廓线投影所组成的图形。因此，求作平面的投影时，可根据平面的几何形状特点及其对投影面的相对位置，先找出能够决定平面的形状、大小和位置的一系列点来，然后作出这些点的三面投影并连接这些点的同面投影，即得到平面的三面投影。在求作多边形平面的投影时，可先求出它的各直线端点的投影，然后连接各直线端点的同面投影，即可得到多边形平面的三面投影，如图2.2-8所示。图2.2-8多边形平面的三面投影在三投影面体系中，根据平面与投影面的相对位置不同，平面可分为一般位置平面、投影面平行面和投影面垂直面三类。（一）一般位置平面若空间平面和三个投影面均处于倾斜位置，则该平面称为一般位置平面，如图2.2-9所示。图2.2-9一般位置平面一般位置平面的投影特性是：在三个投影面上的投影均为原平面的类似形，而面积缩小，不反映真实形状。（二）投影面平行面平行于一个投影面，而垂直于其他两个投影面的平面，称为投影面平行面。投影面平行面根据位置不同又可分为三种：平行于正（V）面的平面称为正平面；平行于水平（H）面的平面称为水平面；平行于侧（W）面的平面称为侧平面。投影面平行面的投影见表2-3。表2-3投影面平行面的投影正平面水平面侧平面投影面平行面的投影特性如下：（1）空间平面在与其平行的投影面上的投影反映实形。（2）该平面的另外两面投影积聚成直线段，且分别平行于相应的投影轴。（三）投影面垂直面垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面的平面，称为投影面垂直面。投影面垂直面根据位置不同又可分为三种：垂直于正（V）面的平面称为正垂面；垂直于水平（H）面的平面称为铅垂面；垂直于侧（W）面的平面称为侧垂面。投影面垂直面的投影见表2-4。表2-4投影面垂直面的投影正垂面铅垂面侧垂面投影面垂直面的投影特性如下：（1）平面在与其垂直的投影面上的投影积聚为一条线段，且与投影轴倾斜。（2）该平面在另外两个投影面上的投影为该平面的类似形。☆拓展练习拓展2-4：应用点的投影规律根据空间点的坐标，作出点的三面投影，如图2.2-12所示。图2.2-12空间点的直观图和投影坐标拓展2-5：应用直线和平面的投影特性根据正三棱锥的轴测图和投影图，判别直线和平面的类型，如图2.2-13所示。图2.2-13判别直线和平面的类型根据正三棱锥的轴测图和投影图，试判断正三棱锥中：（1）直线AB是（）直线，直线AC是（）直线，直线BC是（）直线，直线SA是（）直线，直线SB是（）直线，直线SC是（）直线；（2）平面ABC是（）平面，平面SAB是（）平面，平面SAC是（）平面，平面SBC是（）平面。项目三立体及其表面交线的投影作图任务一作立体的截交线一、基本几何体的投影及其表面点的投影任何机件，不管其形状多么复杂，都可以看成由棱柱、棱锥、圆柱、圆锥及圆球等基本几何体（简称基本体）按一定方式组合而成，如图3.1-2所示。棱柱棱锥圆柱圆锥圆球图3.1-2常见的基本体基本体分为平面立体和曲面立体两种。其中，平面立体是指表面均为平面的基本体，常见的有棱柱和棱锥等；曲面立体是指表面由曲面或曲面和平面组成的基本体，常见的有圆柱、圆锥和圆球等。（一）棱柱的投影及其表面点的投影棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体，不同棱柱的三视图画法大致相同。以图3.1-3所示的正六棱柱为例，将该六棱柱置于三投影面体系中，为了便于作图，使其顶面和底面（正六边形）平行于H面，并使前、后侧棱面与V面平行。此时，该六棱柱的投影特性如下：（1）俯视图反映顶面和底面实形，即为正六边形，该六边形的六个顶点是六条棱边（铅垂线）的积聚投影。（2）主视图为三个矩形。其中，中间矩形为前、后棱面的重合投影；左侧矩形为左侧前、后棱面的重合投影，右侧矩形为右侧前、后棱面的重合投影。（3）左视图为两个矩形，分别是左、右四个铅垂棱面的重合投影。图3.1-3正六棱柱的三视图作图步骤如下：（1）先画出三个视图的对称线作为基准线，然后画出六棱柱的俯视图，如图3.1-4（a)所示。（2）根据“长对正”和棱柱的高度画主视图，并根据“高平齐”画左视图的高度线，如图3.1-4（b）所示。（3）根据“宽相等”完成左视图，如图3.1-4(c)所示。例1在图3.1-3中，已知六棱柱左前棱面上M点的正面投影m′，求其余的两个投影m和m′′。解：由于图示棱柱的表面都处在特殊位置，所以棱柱表面上点的投影均可用平面投影的积聚性来作图。作图步骤如下：（1）由于左棱面的水平投影积聚成直线，所以M点的水平面投影m一定在左棱面的水平面投影上。据此从m′向俯视图作投影连线，与该直线的交点即为m，如图3.1-4（d）所示。（2）根据“高平齐、宽相等”的投影规律，由正面投影m′和水平面投影m就可求得m′′，如图3.1-4（d）所示。图3.1-4正六棱柱表面上点的投影画法（二）棱锥的投影及其表面点的投影图3.1-5（a）所示为一四棱锥，底面为一正方形，四个侧面均为等腰三角形，所有棱线都交于一点，即锥顶S。图3.1-5（b）所示为四棱锥的三视图。其投影特性如下：(1)主视图。由于四棱锥的底面与左、右两侧面都垂直于V面，因而四棱锥的主视图是一个三角形线框。三角形的各边分别是底面与左、右两侧面的积聚性投影。整个三角形线框同时也反映了四棱锥前面和后面在正面上的投影，但并不反映它们的实形。(2)俯视图。由于四棱锥的底面平行于水平面，因而它的俯视图反映实形，是一个正方形。四个侧面都与水平面倾斜，它们的俯视图应为四个不显实形的三角形线框，它们的四个底边正好是正方形的四条边线，所以四棱锥的俯视图是由四个三角形组成的外形为正方形的线框。(3)左视图。左视图也是一个三角形线框，但三角形两条斜边是四棱锥的前、后两侧面的积聚性投影。整个三角形线框是左、右两侧面的投影，而不反映左、右两侧面的实形。三角形线框的底边是底面的积聚性投影。图3.1-5四棱锥的三视图作图步骤如下：（1）先画出三个视图的基准线，然后画出四棱锥的俯视图，如图3.1-6a)所示。（2）根据“长对正”和棱锥的高度画主视图的锥顶和底面，并根据“高平齐，宽相等”画左视图的锥顶和底面，如图3.1-6（b）所示。（3）连棱线，完成全图，如图3.1-6（c）所示。图3.1-6四棱锥表面上点的投影画法例2在图3.1-5（a）中，已知四棱锥前侧面上N点的正面投影n′，求其余的两面投影n和n′′。解：凡属于特殊位置表面上的点，都可利用投影的积聚性直接求得；而属于一般位置表面上的点，可通过在该面上作辅助线的方法求得。作图步骤如下：(1)过锥顶点S及表面点N作一条辅助线SA,N点的水平面投影n必在SA的水平面投影sa上，如3.1-5（a）和图3.1-6（d）所示。(2)根据“长对正”由n′求出n，如图3.1-6（d）所示。(3)由n和n′可求出n′′。通过对棱柱和棱锥的分析可知，画平面立体的三视图，实际上就是画出组成平面立体的各表面的投影。画图时，首先确定物体对投影面的相对位置；然后分析立体表面对投影面的相对位置—是平行于投影面，还是垂直于投影面，或是倾斜于投影面；最后根据平面的投影特点弄清各视图的形状，并按照视图之间的投影规律，逐步画出三视图。（三）圆柱的投影及其表面点的投影圆柱是由圆柱面和上、下两底面所组成的回转体，圆柱面可看作是由一条与轴线平行的直母线绕回转轴旋转而成的，因此圆柱面为回转面。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线称为素线，如图3.1-7（a）所示。其投影特性如下：a）b）c）图3.1-7圆柱及其三视图（1）俯视图反映上、下底面实形的圆。此时，圆柱体的侧面投影积聚在圆周上。（2）主视图为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最左、最右处素线的投影。（3）左视图为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最后、最前处素线的投影。作图步骤如下：如图3.1-7（c）所示绘制圆柱的三视图，先画出圆的中心线和主、左视图中圆柱轴线的投影，然后画出投影特性为圆的俯视图中的圆，最后按照投影关系画出主、左视图。例3如图3.1-8所示，已知圆柱面上两个点A、B的V面投影。a′和(b′)重影，求作A、B两点的H面投影和W面投影。解：如图3.1-8所示，a′为可见，(b′)为不可见，可知A点在前半圆柱面上，B点在后半圆柱面上。作图步骤如下：(1)根据圆柱面在H面的投影具有积聚性，按“长对正”由a′为可见和(b′)作出a和b。(2)根据“高平齐”，“宽相等”，由a、a′和b、(b′)作出和a′′和b′′。由于A、B两点都在左半圆柱面上，所以a′′和b′′都是可见的。图3.1-8圆柱表面上点的投影画法（四）圆锥的投影及其表面点的投影圆锥体表面由圆锥面和底面构成。如图3.1-9（a所示），圆锥面可以看成是由直线SA绕与其相交的轴线SO旋转而成的。圆锥面上，通过锥顶的任一直线都为圆锥面的素线。其投影特性为：（1）俯视图为一水平圆，反映圆锥底面的实形，同时也是圆锥面的投影。（2）主、左视图均为等腰三角形，且三角形的底边为圆锥底面的积聚投影。主视图中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最左、最右素线SA、SB的投影；左视图中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最后、最前素线SD、SC的投影。（a）（b）（c）图3.1-9圆锥及其三视图作图步骤如下：如图3.1-9（c）所示绘制圆锥的三视图，可先画出圆的中心线和主、左视图中圆柱轴线的投影，然后在俯视图中画出圆锥底圆的投影，接着画出底圆在主、左视图中的投影，再根据圆锥的高度确定锥顶在主、左视图中的投影，最后连接轮廓线。例4如图3.1-10所示，已知圆锥体表面上有A点，在V面上的投影为a′，求作a和a′′。解：如图3.1-10所示，a′为可见，A点在前圆锥面上。求作圆锥表面上点的投影，可用下列两种方法：(1)辅助线法。如图3.1-10所示，作图步骤如下：①在V面上过s′a′作辅助线交底圆，其交点为m′。②由m′作出H面投影m。③连s、m，sm为辅助线SM在H面上的投影。④根据“长对正”，由a′在sm上求出a。⑤由a′和a求出a′′。图3.1-10辅助线法求圆锥表面上点的投影(2)辅助面法。如图3.1-11所示，作图步骤如下：①过空间A点作一垂直于轴线的辅助平面P与圆锥相交；P平面与圆锥表面的交线是一个水平圆，该圆的V面投影为过a′并且平行于底圆投影的直线(即b′c′）。②以b′c′为直径，作出水平圆的H面投影，投影a必定在该圆周上。③根据“长对正”，由a′求出a。④由a′、a求出a′′。图3.1-11辅助圆法求圆锥表面上点的投影（五）圆球的投影及其表面点的投影圆球的表面可以看作是由一个半圆绕其直径旋转一周而成的。圆球的三面投影均为与该圆球直径相等的圆，该圆是球面对投影面的转向轮廓线的投影，代表球体上三个不同方向的纬圆，这三个纬圆分别平行于三个投影面，如图3.1-12所示。图3.1-12圆球及其三视图例5如图3.1-13所示，已知球面上A点的正面投影(a′)和B点的侧面投影b′′，求作这两点的其余两面投影。解：根据图上(a′)的位置可知，A点位于球面的右上部分，在后半球面上，V面投影为不可见。用辅助面法作图，作图步骤如下：(1)过A点作一平行于水平面的辅助平面与球体相交，辅助平面与球体表面的交线在V面的投影为过(a′)的水平线段，如图3.1-1（b）所示；在H面的投影为以这条水平线段为直径的圆，点A的水平面投影a必定在这圆周上。(2)根据投影关系由(a′)求出a。(3)由(a′)、a求出a′′，判别可见性，a是可见的，a′′是不可见的。根据已知投影b′′点，求投影b点和b′点的作图方法不再赘述，请自行分析。图3.1-13辅助圆法求圆球表面上点的投影（二）基本体的尺寸标注视图只能表达物体的形状，而各部分的大小和位置关系要用尺寸来表达。基本体的尺寸标注以能确定其基本形状和大小为原则，标注基本体的尺寸时，需要注意以下几点。1)标注棱柱和棱锥时，一般将尺寸标注在最能反映其实形的投影上，然后在另一投影图上标注另一方向的尺寸，如图3.1-14所示。此外，六棱柱的底面通常标注对边的间距，括号里的尺寸是参考尺寸。图3.1-14平面立体的尺寸标注2）圆柱和圆锥应标注出它的底面直径和高度尺寸。若将直径标注在非圆投影图上，尺寸数字前需加“Ø”符号。球体只标注直径，并在直径尺寸前加注字母“S”。球体标注直径后，只需一个投影图即可表达，如图3.1-15所示。图3.1-15曲面立体的尺寸标注二、截交线的投影及作图用平面切割立体可视为立体被平面所截。用一个平面切割立体，平面与立体表面所形成的交线称为截交线；由截交线所围成的平面图形称为截面；用来截切立体的平面称为截平面；被截切后的立体称为截断体，如图3.1-16所示。图3.1-16立体表面的交线截交线具有以下性质：（1）封闭性。截交线一般是封闭的平面图形。（2）共有性。因为截交线既属于截平面，又属于基本体表面，所以截交线是截平面和基本体表面的共有线。（一）平面立体切割体的投影与画法用平面切割平面立体所产生的截交线为平面多边形，该多边形的各边是截平面与立体表面的交线，多边形的顶点是截平面与立体各棱边的交点。因此，求平面截断体的投影，关键是找到这些交点，然后作同面投影连线即可。例6如图3.1-17所示，求作斜切五棱柱的截交线。解：由图3.1-17（a）可知，主、俯视图可看出该形体是一个五棱柱，其截交线的空间几何形状是一个五边形，其五个顶点为五根棱线与截平面的交点。作图步骤如下：(1)截交线的正面投影积聚为一条倾斜的直线，水平投影与原五棱柱的投影重合，侧面投影需要求作。(2)由求截交线的方法，最后转化为体表面上取点，得截交线上五个顶点的水平投影1、2、3、4、5；再得正面投影1′、2′、3′、(4′)、(5′)，再根据点的投影规律，主、左视图高平齐，俯、左视图相等，求出五个顶点的侧面投影1′′、2′′、3′′、4′′、5′′，顺次连接即得截交线的侧面投影，如图3.1-17（b）所示。图3.1-17斜切五棱柱的截交线画法例7如图3.1-18所示，求作斜切四棱锥的截交线。解：四棱锥被正垂面P斜切，截交线为四边形，其四个顶点分别是四条侧棱与截平面的交点。因此，只要求四个顶点在各投影面上的投影，然后依次连接各点的同名投影、即得截交线的投影。其作图步骤如下：(1)因截断面的正面投影积聚成直线，可直接求截交线各点的正面投影(1′)、2′、3′、(4′)。(2)根据直线上点的投影规律，求出各顶点的水平投影1、2、3、4和侧面投1′′、2′′、3′′、4′′。(3)依次连接各项点的同名投影，即及截交线的投影。图3.1-18斜切四棱锥的截交线画法（二）回转体切割体的投影及画法用平面切割回转体时，截交线的形状取决于被截回转体的表面形状，以及截平面与回转体的相对位置，。交线的形状一般是封闭的平面曲线，或平面曲线与直线段相连的平面图形，特殊情况下也可能是平面多边形。1.圆柱的截交线用一截平面切割圆柱体，所形成的截交线有三种情况，见表3-1。表3-1圆柱的截交线例8如图3.1-19所示，求作开槽圆柱的左视图。解：圆柱开槽实际上是由两个平行于轴线的侧平面和一个垂直于轴线的水平面截割面形成的，此截割体左、右对称，前、后也对称，故只须画出处于右半部的截断面ABCD和BDEF即可。其作图步骤如下：（1）侧平截断面的正面投影、水平投影均是一条垂直的直线，故能较快确定其正面投影为a′b′(c′)(d′)，水平投影为a(b)(d)c。（2）根据点的投影规律，可求出侧面投影(a′′)(b′′)(d′′)(c′′)。同理可求出水平截断面的侧面投影为一段虚线。（3）此题可贯彻“一图复用”的原则。如在上方加一截圆柱，变成圆柱体穿孔；如在里面开一个孔可变成圆柱筒开槽图3.1-19开槽圆柱的截交线画法2.圆锥的截交线用一截平面切割圆锥体，所形成的截交线有五种情况，见表3-2。表3-2圆锥的截交线例9如图3.1-20所示，画出圆锥被正垂面P斜切的截交线。解：由图3.1-20（a）和表3-2可知，截交线为一椭圆。在三视图上，截交线的正面投影积聚为一直线，而在其他两个投影面上的投影为椭圆。其作图步骤如下：（1）画出圆锥的三面投影图。（2）将圆锥锥底的H面投影（圆周）12等分，得a、b、c、d、…、l各点。（3）根据投影关系，由H面投影a、b、c、d……分别作出V面投影a′、b′、c′、d′、……g′各点；连接s′a′、s′b′、…s′g′，求出截交点1′、2′、3′、………、7′。（4）由最低点I、最高点VII向H面投射得点1、7，向W面投射得点1″、7″，可确定椭圆的长轴；1′和7′的中点3′（11′）为椭圆的中心，3′和11′的H面和W面投影确定椭圆的短轴。（5）根据4′、10′在圆锥中心线上，IV和X的W面投影与圆锥转向轮廓线相交，由此求得4″、10″两点；然后由“宽相等”可求得4、10两点，连接sb作辅助素线，可根据2′求出2′。同理可求出点3、5、6，点12、11、9、8为对称点；椭圆短轴的H、W面投影3-11和3″-11″。（6）圆滑连接各同面投影上求得的各点，则得椭圆。图3.1-20圆锥斜切时的截交线画法3.球的截交线用一截平面切割球，所形成的截交线都是圆。当截平面与某一投影面平行时，截交线在该投影面上的投影为一圆，在其他两投影面上的投影都积聚为直线，如图3.1-21所示。图3.1-21圆球的截交线画法例10如图3.1-22所示，求作球被正垂面截切的截交线。作图步骤如下：(1)求出特殊位置点。长轴的水平投影为34，长轴的侧面投影为3″4″，其长度等于截交线圆的直径1′2′。短轴的水平面投影12和短轴的侧面投影1″2″可根据正面投影1′、2′求出。(2)求出球面水平投影轮廓线上的点。由7′（8′）求出7、8和7″8″。(3)利用辅助平面法求出一般位置点。作辅助平面P，由正投影点5′、（6′）求出5、6和5″、6″，还可求出其他一系列点。(4)将各点的相应投影依次光滑连接，即得截交线的水平面投影和侧面投影。图3.1-22正垂面截切圆球的截交线画法☆拓展练习拓展3-1：应用基本体视图的绘制方法，求立体表面点的投影如图3.1-25所示，完成立体的第三投影，补全立体表面点的其余投影并判断其可见性。图3.1-25补画立体的第三视图及求其表面点拓展3-2：综合应用基本体视图的绘制方法，求其表面的截交线如图3.25所示，根据顶尖的轴测图，绘制其三视图。图3.25顶尖轴测图任务二作立体的相贯线一、相贯基本知识两个基本体的表面彼此相交称为相贯。两个相贯的立体称为相贯体，相贯后在立体表面形成的交线称为相贯线。两立体相贯的形式可分三种情况：两平面立体相贯、平面立体与曲面立体相贯、两曲面立体相贯，如图3.2-2所示。（a）两平面立体相贯（b）平面立体与曲面立体相贯（c）两曲面立体相贯图3.2-2不同类型的相贯体（一）相贯线特性相贯线具有以下两个特性：(1)相贯线是互相贯穿的两个形体表面的共有线，也是两个相交形体的表面分界线。(2)由于形体占有一定的空间，因而相贯线一般是闭合的空间曲线，特殊时则为平面曲线。（二）求相贯线投影的一般步骤（1）根据立体图或给出的投影，分析两立体的形状及其轴线的相对位置，以得出相贯线的大致形状。（2）依次求出特殊位置点和一般位置点的投影。（3）将求出的各点用光滑的曲线顺次连接。二、两圆柱正交相贯线的画法两圆柱体的轴线垂直相交时称为正交。两圆柱正交时，按圆柱面的可见性可分为外圆柱与外圆柱、外圆柱与内圆柱、内圆柱与内圆柱相贯，其相贯线的画法见表3-3。表3-3两圆柱正交时相贯线的画法三、相贯性的特殊情况两回转体相交时，其相贯线一般为空间曲线，但在特殊情况下，也可能是平面曲线或直线。（1）当两个回转体具有公共轴线时，相贯线为圆，该圆的正面投影为一直线段，水平面投影为圆的实形，如图3.2-3所示。图3.2-3相贯性的特殊情况（一）（2）当圆柱与圆柱、圆柱与圆锥轴线相交，并公切于一圆球时，相贯线为椭圆，该椭圆的正面投影为一直线段，水平面投影为类似形（圆或椭圆），如图3.2-4所示。图3.2-4相贯性的特殊情况（二）（3）当圆柱轴线平行或两圆锥共顶点相交时，相贯线为直线，如图3.2-5所示。图3.2-5相贯性的特殊情况（三）四、简化作图为了简化作图，允许采用简化画法绘制相贯线的投影。例如，当两圆柱正交，且两条轴线平行于某个投影面时，相贯线在该投影面上的投影可用大圆柱半径所作的圆弧来代替，如图3.2-6所示。图3.2-6相贯线的简化画法☆拓展练习拓展3-3：求两立体表面相贯线的投影如图3.2-8所示，已知两轴相交的圆柱孔水平投影和侧面投影，作出其相贯线的正面投影。图3.2-8补画相贯线项目四轴测图任务一正等轴测图一、轴测图基本知识（一）轴测图的形成与分类将物体连同确定其空间位置的直角坐标系一起，沿着不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的具有立体感的图形，称为轴测投影图，简称轴测图，如图4-2所示。图4-2轴测图的形成轴测投影的单一投影面称为轴测投影面（如平面P）。在轴测投影面上的坐标轴OX、OY、OZ称为轴测投影轴，简称轴测轴。轴测投影中，任两根轴测轴之间的夹角∠XOY、∠XOZ、∠YOZ称为轴间角。轴测轴上的单位长度与相应直角坐标轴上的单位长度的比值称为轴向伸缩系数,OX、OY、OZ轴上的轴向伸缩系数分别用p1、q1、r1表示。为了便于作图，绘制轴测图时，对轴向伸缩系数进行简化，以使其比值成为简单的数值。简化轴向伸缩系数分别用p、q、r表示。根据投射方向与轴测投影面的相对位置，轴测图分为两类：投射方向与轴测投影面垂直所得的轴测图称为正轴测图；投射方向与轴测投影面倾斜所得的轴测图称为斜轴测图。轴间角和轴向伸缩系数是绘制轴测图的两个主要参数。正（斜）轴测图按轴向伸缩系数是否相等又分为等测、二等测和不等测三种。GB/T4458.3—1984和GB/T14692—2008中推荐了三种轴测图——正等轴测图、正二等轴测图和斜二等轴测图。因正二等轴测图作图比较烦琐，本项目主要介绍最常用的正等轴测图和斜二等轴测图。表4-1所列为常用轴测图的分类，可查得常用轴测图的轴间角、轴向伸缩系数及简化轴向伸缩系数。表4-1常用轴测图的分类（二）轴测投影的基本性质由于轴测图是根据平行投影法画出来的，因而它具有平行投影的基本性质。其主要投影特性概括如下：（1）平行性。物体上间相平行的线段，在同一轴测投影中一定互相平行。与直角坐标轴平行的线段，其轴测投影必与相应的轴测轴平行，且同一轴向所有线段的轴向伸缩系数相同。（2）度量性。凡物体上与轴测轴平行的线段，按该轴的轴向伸缩系数进行度量。所谓“轴测”，就是指沿轴向才能进行测量的意思。物体上与轴测轴倾斜的线段，不能按该轴的轴向伸缩系数进行度量。因此，绘制轴测图时，必须沿轴向测量尺寸。二、正等轴测图相关知识（一）正等轴测图的轴间角、轴向伸缩系数由表4-1可知，正等轴测图的轴间角∠XOY=∠XOZ=∠YOZ=120°，轴向伸缩系数p1=q1=r1≈0.82。画图时，一般使OZ轴处于垂直位置，OX、OY轴与水平成30°，可利用30°的三角板与丁字尺方便地画出三根轴测轴。为了简化作图，常取三根轴的轴向伸缩系数为p=q=r=1，称为简化轴向伸缩系数。这样在绘制正等测图时，沿轴向的尺寸都可在投影图上的相应轴按1﹕1的比例量取，如图4-3所示。图4-3正等轴测图的轴间角、轴向伸缩系数（二）正等轴测图的画法画轴测图常用的方法有坐标法、叠加法与切割法等。画轴测图时，轴测图上不必画出轴测轴，可画出参考轴测轴，然后以测量尺寸方便为原则选定起画点，依据平行性、度量性绘制。☆拓展练习拓展4-1：绘制平面切割型组合体的正等轴测图如图4-7所示，根据物体的三视图，试绘制其正等轴测图。图4-7平面切割型组合体三视图拓展4-2：绘制曲面切割型组合体的正等轴测图如图4-8所示，根据物体的三视图，试绘制其正等轴测图。图4-8曲面切割型组合体三视图任务二斜二等轴测图常用轴测图的轴间角、轴向伸缩系数及简化轴向伸缩系数见表4-1。表4-1常用轴测图的分类与特性一、斜二等轴测图的轴间角、轴向伸缩系数当空间物体上的坐标平面XOZ平行于轴测投影面，且将OZ轴置于铅垂位置时，用斜投影法将物体连同其坐标系一起向V面投射，所得到的轴测图称为斜二等轴测图，其轴测图、轴间角和轴向伸缩系数如图4-10所示。图4-10斜二等轴测图的轴间角、轴向伸缩系数由表4-1可知，斜二等轴测图的轴间角∠XOZ=90°，∠XOY=∠YOZ=135°，OY轴与水平成45°，可用45°三角板和丁字尺画出。三根轴的轴向伸缩系数分别为p1=1，q1=0.5，r1=1。在绘制斜二等轴测图时，沿轴测轴OX和OZ方向的尺寸可按实际尺寸选取比例度量，沿OY方向的尺寸则要缩短一半度量。斜二等轴测图能反映物体正面的实形且画圆方便，适用于画正面有较多圆的机件轴测图。斜二轴等测图的画斜二等轴测图的画法与正等测基本相同，常用的方法有特征面法、叠加法与切割法等。☆拓展练习拓展4-3：绘制支架的斜二等轴测图如图4-12所示，根据支架的两面视图，试绘制其斜二等轴测图。图4-12支架的两面视图拓展4-4：选择轴测图形式并绘制如图4-13所示，根据物体的两面视图或三视图，选用正等测或斜二测，绘制其轴测图。提示：图（a）画正等测、斜二测均可；但（b）画斜二测更方便、快捷。（a）（b）图4-13物体的轴测图任务三草图的绘制一、徒手画直线的方法徒手画直线时，在运笔过程中，小手指轻抵纸面，视线略超前些，不宜盯着笔尖，而要用眼睛的余光瞄向运笔的前方和笔尖运行的终点。如图4-15所示，画水平线时宜自左向右运笔，画垂直线时宜自上向下运笔。画斜线的运笔方向以顺手为原则，若与水平线相近，则自左向右;若与垂直线相近，则自上而下。如果将图纸沿运笔方向略为倾斜，则画线更加顺手。所画线段比较长，不便于一笔画成，可分几段画出，但切记一小段一小段画出。图4-15徒手绘制直线二、徒手画等分线段与常用角度的方法（一）八等分线段先目测取得中点4，再取等分点2、6，最后去等分点1、3、5、7,如图4-16a）所示。（二）五等分线段先目测以2﹕3的比例将线段分成不相等的两段，然后将较短段平分，较长段三等分,如图4-16（b)所示。图4-16徒手等分线段（三）画常用角度可利用直角三角形两条直线边的长度比定出两端点，连成直线，如图4-17a）所示。也可以如图4-17b)所示将半圆弧二等分或三等分画出45°、30°或60°斜线。图4-17徒手画常用角度三、徒手画圆、圆角和圆弧的方法画较小的圆时，可如图4-18a)所示，在以绘中心线上按半径目测定出四点，徒手画成圆。也可以过四点先作正方形，再作内切的四段圆弧。画直径较大的圆时，只取四点不易难确作圆，可如图4-18b)所示，过圆心再画两条45°斜线，并在斜线上也目测定出四点，过八点画圆。图4-18徒手绘制圆画圆角时，先将直线徒手画成相交，作分角线，再在分角线上定出圆心位置，使它与角两边的距离等于圆角半径的大小如图4-19a）。过圆心向两边引垂线定出圆弧的起点和终点，在分角线上也定出圆周上的一