南宁市高一下学期数学期末考试练习题及答案解析

南宁北附实验学校2025~2026学年度下学期高一月考（一）数学试题2026.3一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项符合题目要求.1.复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算可得答案.【详解】，虚部为.故选：C2.在中，，，若点D满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可.【详解】因为，所以有，.故选：A3.已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（）A.0 B.1 C.8 D.4【答案】C【解析】【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案.【详解】由于向量在向量上的投影向量为，故可得，即，所以，故选：C4.已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（）A. B. C.12 D.10【答案】D【解析】【分析】求出梯形的面积，再利用斜二测画法直观图与原图形面积关系求解即得.【详解】梯形中，，而，则梯形的高，因此梯形的面积，而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，所以原图形OABC的面积为.故选：D5.若且，则与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据垂直的向量表示及数量积的运算律得，再利用数量积的夹角公式求解即可.【详解】根据，有，即，所以，设与的夹角为，所以，又，所以.故选：B6.桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（）A.米 B.米 C.50米 D.米【答案】B【解析】【分析】利用仰角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解.【详解】由题意可知，,,设米，则在中，米，在中，米.由余弦定理可得，即，解得.因为米，所以米.故选：B.7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=()A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据正弦定理可得,由已知可得,整理可得,,在中.故C正确.考点：1正弦定理;2余弦定理.8.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形【答案】B【解析】【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，由，即的角平分线与边垂直，所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有多个选项符合题目要求.全对得6分，部分选对得部分分，有选错的得零分.9.关于复数，下列说法正确的是（）A.B.若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆C.如果，那么是纯虚数D.若复数满足，则在复平面对应的点是【答案】ABD【解析】【分析】运用复数幂的周期性可判断A项，运用复数的模的几何意义可判断B项，运用复数分类可判断C项，运用复数运算及几何意义可判断D项.【详解】对于A选项，由虚数单位的定义，，则，故A项正确；对于B选项，设在复平面内的点为，由，即，点在以为圆心，1为半径的圆上，故B项正确；对于C选项，若，那么是实数，故C项错误；对于D选项，，所以在复平面对应的点是，故D项正确．故选：ABD．10.（多选题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（）A.棱台的侧面一定不会是平行四边形 B.棱锥的侧面只能是三角形C.由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥【答案】ABC【解析】【详解】选项A，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A正确；选项B，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B正确；选项C，四个平面围成的封闭多面体，每个面都是三角形，且有一个公共顶点，这是三棱锥（四面体）的定义，C正确；选项D，如下图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，D错误．11.在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（）A.若，，则的外接圆的面积为B.若，，，则有两解C.若，则是锐角三角形D.若，则为锐角三角形【答案】AD【解析】【分析】对A，根据条件，利用正弦定理，可得，即可求解；对B，根据条件，数形结合，即可求解；对C，根据条件，利用余弦定理得，即可求解；对D，利用，得到，，进而可得，再利用余弦定理，即可求解.【详解】对于选项A，由正弦定理（其中是外接圆的半径），得到，所以，则的外接圆的面积为，所以A正确，对于选项B，如图，，，过作于，则，所以在射线上不存在，使，，，即无解，所以B错误，对于选项C，因为，由余弦定理得，又，所以，故是钝角三角形，所以C错误，对于选项D，因为，则，且，所以，则，所以，得到，即，由余弦定理得，又，所以，故是锐角三角形，所以D正确，故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____．【答案】2【解析】【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可．【详解】由复数，，可得为纯虚数，则，解得．故答案为：2．13.已知钝角的面积为，，，则该三角形的外接圆半径为______.【答案】【解析】【分析】根据面积公式求得，结合钝角三角形分类讨论角B的取值，结合正弦定理即可得解.【详解】由题的面积为，，解得，若，根据余弦定理，结合正弦定理得，三角形为直角三角形与题目钝角三角形矛盾，所以，根据余弦定理，根据正弦定理可得：该三角形的外接圆半径为.故答案为：【点睛】此题考查利用正余弦定理结合三角形面积公式求解三角形，尤其注意三角形为钝角三角形不一定是B为钝角，需要分类讨论清楚再求解.14.如图，点，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，，则图中阴影区域的面积的最大值为______.【答案】【解析】【分析】结合图形，根据圆的性质可判断为优弧的中点时阴影部分的面积取最大值，分别求出相关边和角，利用三角形面积公式和扇形面积公式计算即得.【详解】如图，取圆心为点，连接，由圆的性质可知当为优弧的中点时，到的距离最大，此时阴影部分的面积取最大值，因为，此时，故阴影部分的面积的最大值为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量，，．（1）若与向量垂直，求实数的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直列方程，化简求得的值.（2）根据向量平行列方程，化简求得的值.【小问1详解】向量，，．，，与向量垂直，，解得．【小问2详解】向量，，与向量平行，，解得．16.在△ABC中，已知（1）求角A；（2）若求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，再根据余弦定理求出角；（2）已知、和角，先根据余弦定理求出的值，再利用三角形面积公式求出面积.【小问1详解】根据正弦定理将边角互化，得到.化简可得，即.再根据余弦定理，因为，所以.【小问2详解】已知，，，根据余弦定理，可得.即，整理得.解得或（边长不能为负舍去）.最后根据三角形面积公式，可得.17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且（1）求角A；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理边化角以及两角和的正弦公式即可求解；（2）由根据面积公式，结合余弦定理求出，即可求解；【小问1详解】由，得，利用正弦定理，得，又，代入上式，，整理得，，因，两边除以，得，即，又，故；【小问2详解】由面积公式，，，，，结合，由余弦定理：，代入，，则，故周长为18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，求边上的中线长度的最小值；（3）若，，若为角平分线，求的长度．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解.（2）利用余弦定理、中点向量公式，结合基本不等式求出最小值.（3）利用三角形面积公式列式求解.【小问1详解】在中，由及正弦定理，得，即，而，则，又，所以.【小问2详解】由（1）知，由余弦定理得，，当且仅当取等号，则，又，因此，所以当时，边上的中线取得最小值.【小问3详解】依题意，，，，由，得，则，解得，所以的长度为.19.在中，角的对边分别为，已知．（1）若，求的外接圆的周长；（2）若为锐角三角形，且，①求角的取值范围；②求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用二