山东省济南市钢城区2026届初中学业水平考试模拟（一）数学试卷（含解析）

2026年山东省济南市钢城区初中学业水平考试九年级数学模拟试题（一）一、单选题1．下列实数中，是无理数的是（

）A． B． C．0.2626 D．2．中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它的主视图是（

）A． B． C． D．3．科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．5．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．6．若实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（

）A． B． C． D．7．如图，在3×3的正方形网格中，点，，，，均在各小正方形顶点处，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．8．盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（

）A． B． C． D．9．如图，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别与，交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接．若，，则是（

）A． B． C． D．10．定义：二次函数与轴有两个交点，将其位于轴下方的图象沿轴向上翻折，与原轴上方的图象合称为该函数的“型函数”．已知抛物线（为常数），记其对应的“型函数”为，有如下结论：①当取任意实数值，的函数图象一定关于直线对称；②当时，的函数图象与直线有个公共点；③当时，的最小值为；④若的函数图象与直线（为常数）有个公共点，则的取值范围是；⑤当时，的值随的增大而减小．则正确结论的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题11．因式分解：___________．12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个．13．如图，两条平行线l1、l2分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝_____．14．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人甲和乙从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设甲行走的时间为，甲和乙行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则甲给客人送餐需要_____s．15．如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____．三、解答题16．计算：17．解不等式组，并写出它的整数解．18．如图，在菱形中，E、F是对角线上两点，，连接、．求证：．19．某学校开展综合实践活动，如图，，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到E点的距离为．楼房底层窗台P处至地面C处的高度为，在点P处观察点B的仰角为，底部C距F处距离为．图中所有点均在同一平面内，．(1)求山坡的垂直高度；(2)求楼房的高度．（参考数据：，，，，结果精确到）20．如图，内接于，是的直径，点是上一点，交的延长线于点，点是上一点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，点是的中点，求的长．21．“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校九年级共1400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（）频数百分比A4B12CDE10合计40其中等级C，D的相关数据：4.6，5.0，4.5，4.9，4.5，4.9，5.0，4.8，4.6，4.9，4.5，4.5，5.0，5.0．根据上面提供的信息，回答下列问题：(1)请补全条形统计图；(2)若将调查结果制作成扇形统计图，则等级D所对应的圆心角为______；(3)等级C中数据的众数是______，抽取的这40名同学视力的中位数是______；(4)若视力不低于4.8为“良好”，根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生视力为“良好”的有多少人？22．济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜．某水果店购进一批数量相等的A、B两种蜜桃，其中购买A蜜桃用了480元，购买B蜜桃用了720元．已知每千克A蜜桃的进价比B蜜桃便宜4元．(1)求每千克A蜜桃、B蜜桃的进价各是多少元?(2)若该水果店再次购进A、B两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元．A蜜桃每千克售价12元，B蜜桃每千克售价18元．请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润．23．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，直线与轴正半轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点在第四象限对称轴右侧抛物线上，点在坐标平面内，四边形是面积为3的平行四边形，求点的坐标；(3)如图2，抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与抛物线交于点，与轴交于点．若点为抛物线对称轴上一点，点为轴上任意一点，且，当点在线段（含端点）上运动时，求的取值范围．25．如图，四边形为矩形，，，分别为、边上的中点．以，为边构造矩形．(1)线段与的数量关系是_______，直线与直线的位置关系是_______．(2)将图1所在的矩形绕点顺时针旋转，连接，，直线、交于点．则（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．(3)将图1的矩形绕点旋转，连接，，直线、交于点．若，则在矩形旋转的过程中，求的最小值．参考答案1．B解：，，0.2626，中，只有是无理数，其余均是有理数.2．D【详解】从杯子正面看，会看到梯形，选项D符合从正面看到的形状．故选：D．3．D解：．故选：D．4．B解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是中心对称图形，不是轴对称图形.5．C解：∵，∴A错误.∵，，与不是同类项，不能合并，∴B错误.∵，∴C正确.∵，∴D错误.6．C解：由数轴可得，，，∴，，，∴，故选项错误，选项正确．7．D解：设每个小正方形的边长为1，根据题意，得，，都是锐角，，不平行，故选项A不符合要求；，，，故选项B不符合要求；根据题意，得，都是锐角，且，，故选项C不符合要求；连接，根据勾股定理，得，且是等腰直角三角形，，，，，，∴，∴，，，四边形是平行四边形，，，．8．D解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下：abcdabcd由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种，∴所求概率为，故选：D．9．A解：连接，由作图知，垂直平分，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．10．B解：的函数图象与抛物线函数图象的对称轴为同一直线，由抛物线，其对称轴为直线，故的函数图象一定关于直线对称，结论①正确；当时，抛物线表达式为，的函数图象与直线的交点个数即为抛物型的图象与的交点个数，故可得方程，当时，解得或；当时，解得或；该方程有四个不相等的实数解，即的函数图象与直线的交点个数为个，故结论②正确；当时，，当或时，最小，其最小值为，故结论③错误；对于抛物线，其对称轴为直线，当时，，故顶点坐标为，翻折后中间部分顶点为，故可判断当时，的函数图象与直线（为常数）恰有个公共点，当时，的函数图象与直线（为常数）有个公共点，当时，的函数图象与直线（为常数）有个公共点，当是，的函数图象与直线（为常数）也有个公共点，恰好位于轴上，故或，故结论④错误；∵，所以函数与轴的交点为，，当时，函数值随的增大而增大，经翻折后，该部分的函数值随的增大而减小，即当时，的值随的增大而减小，故结论⑤正确；综上，正确的结论有①②⑤，共个．11．解：，故答案为．12．15解：∵摸出红球的频率稳定在左右，∴摸出红球的概率为，∴袋子中红球的个数为（个），∴袋子中黄球的个数为（个），故答案是：15．13．92°解：∵正五边形ABCDE的一个内角是108°，∴∠3＝108°﹣∠1＝108°﹣20°＝88°，∵l1∥l2，∠3＝88°，∴∠2＝180°﹣88°＝92°，故答案为：92°．14．45解：由题意，乙机器人刚出发时的速度为，则段乙机器人的速度为，∴乙机器人送餐所用时间为，∴点坐标为，即，∴甲机器人的速度为，∴甲给客人送餐需要．15．/解：如图，过点E作交于点G，在矩形中，，，，∵，∴，由折叠的性质可知，,，，，，∵，∴四边形是矩形，∴，，在中，，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴，在中，．16．解：原式．17．不等式组的解集为，整数解为解：，解不等式①得，解不等式②得，所以不等式组的解集为：，所以不等式组的所有整数解为：．18．见解析【详解】证明：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴．19．(1)山坡的垂直高度约为(2)楼房的高度约为（1）解：在中，，，，∴，∴山坡的垂直高度约为．（2）解：如图，延长交直线于点Q，则，过点P作于点G，∴四边形和四边形都是矩形，∴，，，，在中，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴楼房的高度约为．20．(1)见解析(2)6（1）证明：连接，∵，∴，∵，∴，∵于点D，∴，∴，∴∴，即又∵是的半径，∴是的切线．（2）解：∵，∴，∵点D是的中点，∴，∴，∵，∵，∵是的直径，∴，又∵，∴，∴，∴．即的长是6．21．(1)见解析(2)(3)4.5，4.55(4)630人（1）解：由题意可知：C等级人数为6人，D等级人数为8人，补全条形图如图：（2）解：；（3）解：C等级中出现次数最多的数据为4.5，故众数为4.5；将数据排序后，第20个数据和第21个数据分别为4.5和4.6，∴中位数为；（4）解：（人）∴估计该校九年级学生视力为“良好”的学生有630人．22．(1)每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元(2)再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元（1）解：设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为元，由题意得解得经检验是所列方程的根，且符合题意．∴答：每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元．（2）解：设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃千克，由题意得，解得．设总利润为w元，由题意得∵，∴w随m增大而减小．∴当时，，此时．∴再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元．23．(1)(2)(3)点G坐标为或（1）解：将代入，得，∴；将代入，得，∴；（2）解：设点，则，∴，，∵，∴，∴，（舍），∴．（3）解：设直线的解析式为，把，，代入得：，解得，∴直线的解析式为：，∴当时，解得，∴；①点G在x轴正半轴，∵，，∴，∴．设，则∴，（舍）∴．②点在x轴负半轴，此时，，∴过点A作轴于点，则是中点，∴；综上所述，点G坐标为或．24．(1)(2)(3)（1）解：由题意可得解得∴．（2）连接，过点作轴交于点四边形是平行四边形，且面积为∴∴．设直线的解析式为代入，，得解得：∴的解析式为：∴．设，则∴，∴（舍），∴∵四边形是平行四边形，又，，∴即．（3）解：当时，∴，∵∴，依