2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册+　并集和交集

1.3集合的基本运算第1课时并集和交集核心知识目标核心素养目标1.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集2.在具体情境中,了解全集的含义3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集1.通过对并集、交集、补集的学习,学会运用自然语言、图形语言、符号语言进行表达和转换,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养2.通过Venn图和数轴的使用,体会图形对理解抽象概念的作用,增强直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养知识探究·素养启迪情境导入

某兴趣小组有20名学生,学号分别是1,2,3,…,20.现有a,b两本新书,已知学号是偶数的学生读过新书a,学号是3的倍数的学生读过新书b.探究:(1)至少读过一本新书的学生有哪些?提示:(1)至少读过一本新书的学生有2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20.(2)同时读过a,b两本新书的学生有哪些?提示:(2)同时读了a,b两本新书的学生有6,12,18.(3)一本新书都没读过的学生有哪些?提示:(3)一本新书都没读过的学生有1,5,7,11,13,17,19.知识探究1.并集实例请同学们观察下列三组集合:(1)A={-1,0},B={1,3},C={-1,0,1,3};(2)A={x|x是偶数},B={x|x是奇数},C={x|x是整数};(3)A={1,2},B={1,3,4},C={1,2,3,4}.[问题1-1]你能说出C中的元素与集合A,B中元素的关系吗?提示:集合C中的元素是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.[问题1-2](1)中集合C的元素个数等于集合A,B的元素个数的和吗?(3)中呢?提示:在(1)中集合C中有4个元素,集合A,B中各有2个元素,4=2+2;在(3)中集合C中有4个元素,集合A中有2个元素,集合B中有3个元素,4<2+3.梳理1并集(1)定义:一般地,由

的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作

.(2)符号语言表示为A∪B=

.(3)图形语言表示为

所有属于集合A或属于集合BA∪B{x|x∈A,或x∈B}2.交集实例请同学们再观察下列三组集合:(1)A={2,3,4,8,9},B={1,5,8,12},C={8};(2)A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},C={x|x是等腰直角三角形};(3)A={x|x≤1},B={x|x≥0},C={x|0≤x≤1}.[问题2-1]集合A,B与集合C之间有什么关系?提示:集合C中的元素是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的.[问题2-2](1)中集合C的元素个数与集合A,B及A∪B的元素个数之间有什么关系?提示:(1)中集合C中有1个元素,集合A,B,A∪B中各有5,4,8个元素,5+4-8=1(个).梳理2交集(1)定义:一般地,由

的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作

.(2)符号语言表示为A∩B=

.(3)图形语言表示为

所有属于集合A且属于集合BA∩B{x|x∈A,且x∈B}3.并集、交集的运算性质[问题3]A={x|x2+1=0},B={0,2},则A∪B,A∩B的结果各为什么?提示:因为A=⌀,B={0,2},所以A∪B=B,A∩B=A.梳理3并集、交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B

B∪AA∩B

B∩AA∪A=

A∩A=

A∪⌀=

A∩⌀=

A⊆B⇔A∪B=

A⊆B⇔A∩B=

==AAA⌀BA小试身手1.已知集合A={-1,0,1},B={0,2},则A∩B等于(

)A.⌀ B.{0}C.{-1,0} D.{-1,0,1}B解析:由集合A={-1,0,1},B={0,2},可知A∩B={0}.故选B.2.已知A={a,b,c,d},B={b,d,e,f},则A∪B=

.

{a,b,c,d,e,f}3.已知A={x|x是菱形},B={x|x是矩形},则A∩B=

.

{x|x是正方形}4.已知A={x|-3<x<1},B={x|-2≤x≤3},则A∩B=

,A∪B=

.

解析:如图可知,A∩B={x|-2≤x<1},A∪B={x|-3<x≤3}.{x|-2≤x<1}{x|-3<x≤3}课堂探究·素养培育[例1](1)若集合A={x|x2=1},B={x|x2-3x+2=0},则集合A∪B等于(

)A.{1} B.{1,2}C.{-1,1,2} D.{-1,1,-2}并集运算解析:(1)集合A={-1,1},集合B={1,2},则集合A∪B={-1,1,2}.故选C.C(2)已知集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于(

)A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥2}C.{x|2≤x<4} D.{x|2≤x≤3}解:(2)解不等式3x-7≥8-2x,可得x≥3,因此集合B={x|x≥3}.又集合A={x|2≤x<4},如图,由图可得A∪B={x|x≥2}.故选B.B即时训练1-1:(1)已知集合A={0,2,4},B={x|-1<x<2,x∈Z},则A∪B等于(

)A.{0} B.{2,4}C.{0,1,2,4} D.{-1,0,1,2,4}解析:(1)因为集合A={0,2,4},B={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},所以A∪B={0,1,2,4}.故选C.C(2)已知集合A={x|-2≤x<4},B={x|-5<x≤3},则A∪B等于(

)A.{x|-2≤x≤3} B.{x|-5<x≤-2}C.{x|-5<x<4} D.{x|3≤x<4}解析:(2)因为A={x|-2≤x<4},B={x|-5<x≤3},所以A∪B={x|-5<x<4}.故选C.C解析:在数轴上表示A∪B

如图所示,A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<a}={x|-1<x<3},因此a=3.即时训练1-2:设集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<a},若A∪B={x|-1<x<3},则a=

.

3两个集合的并集仍是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的,它们的公共元素在并集中只能出现一次.求集合的并集时,若集合不是最简形式,需要先化简集合,而对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题.交集运算[例2](1)已知集合A={1,2,4,5},B={x|2≤x<5,x∈Z},则A∩B等于(

)A.{2} B.{2,4}C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}解析:(1)因为A={1,2,4,5},B={2,3,4},所以A∩B={1,2,4,5}∩{2,3,4}={2,4}.故选B.B(2)若集合P={x|2≤x<5},Q={x|3≤x<6},则P∩Q等于(

)A.{x|2≤x<5} B.{x|2≤x<6}C.{x|3≤x<5} D.{x|3≤x<6}解析:(2)在数轴上表示出集合P与Q,如图所示,由交集的定义知P∩Q={x|3≤x<5}.故选C.C即时训练2-1:(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2=2},B={(x,y)|x+y=2},则A∩B=(

)A.{1,1} B.{(1,1)}C.{x=1,y=1} D.⌀B(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(

)A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}解析:(2)在数轴上表示出集合A与B,如图所示,由交集的定义知,A∩B={x|0≤x≤2}.故选A.AD用列举法表示的数集在求交集时,可直接通过观察写出两个集合的所有公共元素;用描述法表示的数集在求交集时,如果集合是无限集,且直接观察不出或不易得出运算结果,则应把两个集合在数轴上表示出来,再根据交集的定义写出结果.求解集合交集问题,必须先明确集合中元素的性质,明确是数集还是点集等,然后准确写出集合的交集.并集、交集的综合应用探究角度1含参数的集合交、并运算[例3]已知集合A={x|x≤2},B={x|x>a},分别在下列条件下,求实数a的取值范围.(1)A∩B=⌀;解:(1)如图1所示,知只有a≥2时,有A∩B=⌀,所以实数a的取值范围是{a|a≥2}.(2)A∪B=R;解:(2)要使A∪B=R,如图2所示,知只有a≤2,实数a的取值范围是{a|a≤2}.(3)1∈A∩B.解:(3)因为1∈A∩B,1∈A,所以1∈B,如图3所示.只有a<1,所以实数a的取值范围是{a|a<1}.即时训练3-1:(1)已知集合A={x|x<2或x>6},B={x|a≤x≤a+3},A∩B=⌀时,求a的取值范围;(2)已知集合A={x|x<0或x>2},B={x|a≤x≤3-2a}.若A∪B=R,求实数a的取值范围.含参数的连续数集的交集、并集运算,应借助数轴的直观性求解,求解此类问题时,要注意参数端点值的取舍.探究角度2集合的交、并运算性质的应用[例4]已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.解:因为A∪B=A,所以B⊆A.因为A={x|0≤x≤4}≠⌀,所以B=⌀或B≠⌀.当B=⌀时,有m+1>1-m,解得m>0.当B≠⌀时,用数轴表示集合A和B,如图所示.[变式训练4-1]将本例中“A∪B=A”改为“A∩B=A”,其他条件不变,求实数m的取值范围.即时训练4-1:若集合A={x|-3≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+9},且A∪B=B,求m的取值范围.即时训练4-2:已知集合A={x|4<x<5},B={x|m+1≤x≤2m+1},C={x|x≤0或x≥2}.(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;(2)若B∩C=B,求实数m的取值范围.解:(2)因为B∩C=B,所以B⊆C.当B=⌀,即m+1>2m+1,m<0时,满足B⊆C.当B≠⌀,即m≥0时,在数轴上标出集合B,C,若B⊆C,则有两种情况,如图②、图③所示.在利用集合的交集、并集性质解题时,若条件中出现A∩B=A或A∪B=B,应转化为A⊆B,然后用集合间的关系解决问题,并注意A=⌀的情况,切不可漏掉.1.已知集合A={x|x>1},B={-1,0,1,2}