初中数学九年级专题复习：直角三角形锐角平分线模型探究与教案

初中数学九年级专题复习：直角三角形锐角平分线模型探究与教案

  一、教学前端分析

  （一）教材内容定位与知识结构剖析

  直角三角形锐角平分线模型是勾股定理知识体系纵深发展的重要节点，隶属于平面几何中三角形与四边形综合应用的进阶范畴。在本单元（勾股定理及其应用）的序列中，它既是勾股定理、角平分线性质、相似三角形、三角函数等多重核心知识的交汇点，也是连接几何度量关系与代数方程思想的典型桥梁。教材通常将此内容隐性地分布于直角三角形性质、角平分线定理及勾股定理应用的习题或阅读材料中，缺乏系统化、模型化的提炼。因此，本专题复习旨在打破教材章节壁垒，对散落的知识点进行高维度整合，构建结构清晰、逻辑自洽的“模型-方法-应用”认知框架，助力学生完成从孤立知识点掌握到复杂问题解决策略生成的能力跃迁。

  （二）学情现状深度诊断

  九年级学生处于中考总复习的关键期，其认知特点与知识储备表现为：第一，已系统学习过勾股定理、角平分线性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等基础知识，具备一定的逻辑推理和几何直观能力。第二，在知识的综合运用层面存在显著分化。多数学生能独立解决单一知识点的标准问题，但面对融合多个定理、需要主动添加辅助线或进行代数建模的复杂几何情境时，常表现出思维定势、策略单一、难以建立有效关联的困境。具体到“直角三角形锐角平分线”情境，学生普遍存在的问题包括：1.对“角平分线”这一条件的应用仅局限于“等角”和“距离相等”的浅层联想，未能深度关联其与线段比例（内角平分线定理）及面积法的内在联系；2.在复杂图形中，不善于识别或构造由角平分线与高线、中线等基本元素构成的子图形（如相似直角三角形）；3.代数运算能力，特别是基于比例关系设立和求解方程（组）的能力，在处理几何量计算时显得薄弱；4.模型观念淡薄，无法从具体题目中抽象出普适的结构与解法，导致学习效率低下，变式训练效果不佳。

  （三）教学核心理念与价值取向

  本设计秉承“素养导向、学生中心、模型建构、思维可视化”的现代教学理念。其价值不仅在于传授一个具体的几何模型结论，更在于：1.促进结构化认知：引导学生将零散知识编织成网，理解数学知识的内在统一性与关联性，形成可迁移的认知结构。2.发展高阶思维能力：通过模型探究、猜想验证、多解比较、变式拓展等环节，系统训练学生的分析综合、抽象概括、推理证明和批判性思维。3.强化数学思想方法渗透：将数形结合（几何关系代数化）、方程思想、模型思想、转化与化归思想贯穿教学始终，提升学生的数学思维品质。4.对接中考评价要求：精准对标中考数学对几何综合题的考查趋势，即注重对几何基本图形性质的深刻理解、对复杂图形的分解与重组能力、以及运用代数工具解决几何问题的综合素养。

  二、三维教学目标设定

  （一）知识与技能

  1.理解并掌握直角三角形锐角平分线的基本模型结构，能准确识别模型中的关键元素（直角、锐角平分线、被分线段、相关距离等）。

  2.熟练推导并掌握该模型的核心结论（涉及线段长度、比例关系、面积关系的多种表达式），理解其几何意义。

  3.能够灵活运用角平分线性质定理、勾股定理、相似三角形判定与性质、三角函数、面积法等多种工具，对模型进行证明、计算和变式应用。

  4.掌握从复杂几何图形中分离或构造该模型的基本技巧，并运用模型结论简化计算和推理过程。

  （二）过程与方法

  1.经历“具体实例观察→猜想可能结论→多法严谨证明→模型抽象定型→变式迁移应用”的完整探究过程，体验数学发现与创造的一般路径。

  2.通过一题多解、多解归一的对比分析，学会从不同角度审视几何问题，优化解题策略，体会数学方法的多样性与统一性。

  3.在小组合作探究与交流中，学习如何清晰表达几何推理逻辑，如何倾听、评价并完善他人的思路，提升合作学习效能。

  （三）情感、态度与价值观

  1.在克服复杂问题的挑战中获得成就感，增强学好数学的自信心和探索几何奥秘的内驱力。

  2.欣赏几何模型的简洁美、对称美以及数学方法的内在和谐美，感悟数学的理性精神。

  3.养成严谨求实、深入反思的数学学习习惯，形成乐于分享、敢于质疑的学术交流态度。

  三、教学重点与难点研判

  （一）教学重点

  1.直角三角形锐角平分线模型的结构特征识别与核心结论的多元推导。

  2.综合运用几何与代数知识，利用模型高效解决相关计算与证明问题。

  （二）教学难点

  1.在非标准或嵌入复杂背景的图形中，敏锐识别或主动构造该模型。

  2.根据具体问题条件，灵活选择并整合不同的证明与计算工具（如比例、相似、勾股、三角、面积），形成最优解题路径。

  3.对模型进行逆向、拓展与变式思考，理解其与相关几何模型（如射影定理、阿氏圆等）的潜在联系。

  四、教学准备与环境创设

  （一）教师准备

  1.精心设计分层递进的探究学案，包含基础回顾、模型探究、典例精析、变式训练、思维拓展等模块。

  2.制作动态几何课件（如使用GeoGebra），动态展示角平分线运动过程中相关几何量的变化，直观呈现模型稳定性，辅助猜想与验证。

  3.预设课堂讨论的关键问题链，规划板书设计框架，准备实物投影仪用于展示学生不同解法。

  （二）学生准备

  1.复习回顾：勾股定理及其逆定理；角平分线的定义与性质定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。

  2.预习学案中的基础回顾部分，尝试独立思考引入问题。

  （三）环境创设

  1.物理环境：学生按异质分组（4-6人一组）就座，便于合作探究与讨论。

  2.心理与认知环境：营造安全、开放的思维氛围，鼓励大胆猜想、小心求证，允许试错，强调过程性评价的价值。

  五、教学过程实施详案

  （一）情境激趣，模型初探（预计用时：12分钟）

  1.问题引入（现实关联）：

  教师展示一个简易的工程测量问题：“如图，为测量一个不可直接到达的陡坡高度AB，测量人员在坡底C点测得坡面AC的倾斜角为∠ACB=90°，并利用仪器测得从C点观测坡顶A的仰角∠ACD的平分线交斜边AB于点E。已知BC=6米，测量CE的长度为特定值。能否利用这些数据求出陡坡高度AB？”（配合简图）此问题将抽象的几何模型置于实际背景中，激发学生的求解欲望，同时隐含了直角三角形锐角平分线的基本结构。

  2.抽象剥离，明确对象：

  引导学生从实际问题中剥离出纯粹的几何图形：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是∠ACB的邻角（即某个锐角，如∠A）的平分线，交斜边AB于点D（为统一，后续使用此记法）。明确本节课的核心研究对象：Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠A（或BD平分∠B）交对边于D点的几何图形。

  3.观察猜想：

  教师利用GeoGebra动态演示，固定直角边BC长度，改变直角边AC长度（即改变锐角A的大小），观察并记录AD、BD、AB、AC、BC等线段长度的变化，以及AD/BD、AC/AB等比例关系。引导学生基于直观和已有知识进行猜想：

  *猜想1：点D分斜边AB所得的两条线段AD与BD之比，是否与两直角边有关？

  *猜想2：角平分线AD的长度，能否用三角形的三边表示？

  *猜想3：图中是否存在相似的三角形？

  学生独立思考后，在小组内交流猜想，教师巡视并收集有代表性的猜想。

  （二）多元论证，模型建构（预计用时：25分钟）

  此环节是本节课的核心，旨在通过多维度、多方法的证明，深刻理解模型内在逻辑，构建稳固的知识结构。

  1.探究结论一：比例关系（内角平分线定理的直接应用）。

  *问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠A交BC于D（或交斜边AB于D，需根据图形明确）。AD是∠A的平分线，那么点D分对边（BC或AB）所得线段比有何关系？

  *引导：首先明确角平分线定理的内容：三角形中，一个角的平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。

  *应用：

    (1)若AD平分∠A交斜边AB于D，则根据角平分线定理有：BD/DC=AB/AC

。此结论可直接应用，但图形中D在斜边上。

    (2)更常见的模型是：AD平分∠A交直角边BC于D。此时，对边是BC。根据角平分线定理：BD/DC=AB/AC

。这是该模型最基础的比例关系。

  *验证：请学生利用相似三角形（过D作DE⊥AB于E，利用角平分线性质得DE=DC，再证Rt△BDE∽Rt△ABC）独立证明此比例关系，巩固对定理来源的理解。

  2.探究结论二：角平分线长度公式（综合法推导）。

  *核心问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠A交BC于D。已知AC=b,BC=a,AB=c。求AD的长度l。

  *方法一（面积法+勾股定理）：

    设∠CAD=∠BAD=α。过D作DE⊥AB于E。

    由角平分线性质知：DE=DC。

    设DC=x，则DE=x，BD=a-x。

    一方面，S△ABC=S△ADC+S△ABD。

    即(1/2)ab=(1/2)b*x*sinα?不，直接用底和高：(1/2)ab=(1/2)*b*x+(1/2)*c*x。

    化简得：ab=bx+cx=>x=ab/(b+c)。

    在Rt△ACD中，由勾股定理：l²=b²+x²=b²+[a²b²/(b+c)²]。

    此表达式较复杂，可继续化简（通分）：l²=[b²(b+c)²+a²b²]/(b+c)²=b²[(b+c)²+a²]/(b+c)²。

    由勾股定理a²+b²=c²，代入得：l²=b²[(b+c)²+(c²-b²)]/(b+c)²=b²[b²+2bc+c²+c²-b²]/(b+c)²=b²(2c²+2bc)/(b+c)²=2b²c(c+b)/(b+c)²=2b²c/(b+c)。

    故l=b√[2c/(b+c)]。此式为一种表达。

  *方法二（利用角平分线长定理+斯特瓦尔特定理推论）：

    三角形内角平分线长定理：l_a²=bc[1-a²/(b+c)²]。

    在Rt△ABC中，∠A的平分线AD，其中BC=a,AC=b,AB=c。

    代入公式：l²=bc*[1-a²/(b+c)²]=bc*[(b+c)²-a²]/(b+c)²。

    ∵a²=c²-b²，

    ∴(b+c)²-a²=(b+c)²-(c²-b²)=b²+2bc+c²-c²+b²=2b²+2bc=2b(b+c)。

    ∴l²=bc*[2b(b+c)]/(b+c)²=2b²c/(b+c)。结果同方法一。

  *方法三（三角函数法）：

    在Rt△ABC中，tanA=a/b，故A=arctan(a/b)，α=A/2。

    在Rt△ACD中，cosα=b/l=>l=b/cosα。

    利用半角公式：cos(A/2)=√[(1+cosA)/2]。其中cosA=b/c。

    ∴cosα=√[(1+b/c)/2]=√[(c+b)/(2c)]。

    ∴l=b/√[(c+b)/(2c)]=b√[2c/(b+c)]。结果一致。

  *模型定型：师生共同梳理，将核心结论系统化：

    基本图形：Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠A交BC于D。

    核心结论：

    1.比例关系：BD:DC=AB:AC=c:b。

    2.长度关系（选记，重推导过程）：

      (1)DC=(ab)/(b+c)

      (2)AD²=2b²c/(b+c)或AD=b√[2c/(b+c)]

    3.面积关系：S△ADC:S△ABD=AC:AB=b:c。

    4.相似三角形：Rt△ACD∽Rt△ABC（共角A）？不，是部分角相等。更常见的是通过作高DE产生的子相似。

  教师强调：记忆结论是次要的，掌握从不同角度（面积、勾股、相似、三角）推导结论的思维过程是关键。模型的价值在于其稳定的结构关系，而非固定公式。

  （三）典例导学，策略内化（预计用时：20分钟）

  呈现多层次例题，引导学生应用模型，感悟策略选择。

  例题1（直接应用型）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∠BAC的平分线交BC于点D。求BD和CD的长度。

  *学生活动：独立完成。多数学生能利用结论1的比例关系：BD:DC=AB:AC。先由勾股定理求AB=10，设BD=5k,DC=4k，则5k+4k=8，解得k=8/9，进而得BD=40/9，DC=32/9。也可用推导出的DC公式直接计算。

  *教师点拨：强调设比例系数k的代数方法在解决比例问题中的通用性。比较直接代入公式与比例求解的优劣，引导学生理解公式是比例关系的代数变形。

  例题2（综合计算型）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，AD是∠BAC的平分线。求AD的长。

  *学生活动：小组合作，探讨不同解法。

  *解法展示与比较：

    解法1（面积法+勾股）：先求BC=3。设DC=x，作DE⊥AB于E，则DE=DC=x，BD=3-x。由面积法：S△ABC=S△ADC+S△ABD=>(1/2)*4*3=(1/2)*4*x+(1/2)*5*x=>12=9x=>x=4/3。在Rt△ACD中，AD²=4²+(4/3)²=160/9，故AD=(4√10)/3。

    解法2（利用推导公式）：已知b=AC=4,a=BC=3,c=AB=5。代入AD²=2b²c/(b+c)=2*16*5/(4+5)=160/9，AD=(4√10)/3。

    解法3（相似三角形）：作DE⊥AB于E。易证△ACD≌△AED?不，是△ACD≌△AED？HL全等（AD公共，CD=DE），得AE=AC=4，BE=1。易证△BDE∽△BAC，得BD/BA=DE/AC=BE/BC。设CD=DE=y，则BD=3-y。由BD/BA=DE/AC得(3-y)/5=y/4，解得y=4/3。后续同解法1。

  *策略提炼：教师引导学生对比三种解法，总结各自特点：面积法直观，代数味浓；公式法快捷但需记忆或现场推导；相似法几何推理链条清晰。强调根据题目条件灵活选择，并指出“作垂直利用角平分线性质”是处理角平分线问题的常用辅助线思路。

  例题3（逆向构造型）：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC平分∠BAD。若AB=6，AD=9，求AC的长。

  *问题分析：图形中不存在现成的直角三角形锐角平分线模型。但条件“∠ABC=∠ADC=90°”及“AC平分∠BAD”提示，A、B、C、D四点共圆（对角互补），且AC是圆周角∠BAD的平分线。更直接的，可分别考虑Rt△ABC和Rt△ADC，它们有公共的斜边AC，且∠BAC=∠DAC。

  *引导探究：教师提问：能否将AC视为某个直角三角形的角平分线？需要构造一个以AC为斜边，且包含∠BAC和∠DAC的直角三角形。学生可能想到延长CB和CD？更自然的是，在△ABC和△ADC中，已知两边和夹角，可求第三边？实际上，在Rt△ABC和Rt△ADC中，分别有cos∠BAC=AB/AC,cos∠DAC=AD/AC。由∠BAC=∠DAC，得AB/AC=AD/AC?这显然推出AB=AD，与已知矛盾。此路不通。

  *关键点拨：将两个直角三角形分离看待。在Rt△ABC中，AC=AB/cos∠BAC；在Rt△ADC中，AC=AD/cos∠DAC。因为∠BAC=∠DAC，设其为α，则有AC=6/cosα=9/cosα？这又导致6=9。问题出在：这两个直角三角形是独立的，它们的直角边和斜边关系各自成立，但AC是公共边，两个表达式必须相等：6/cosα=9/cosα？只有当cosα相等时，才要求6=9。这揭示了矛盾，说明我们的假设（两个直角三角形共享同一个α和AC）没问题，但推导出的等式要求AB=AD。因此，必须引入新的关系。

  *构造模型：受角平分线性质“到角两边距离相等”启发，过C点分别作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。由角平分线性质知CE=CF。观察图形，出现了两个基本的直角三角形锐角平分线模型：在Rt△AEC中，AC平分∠EAF？不，是∠BAC的补角或相关角？需要仔细分析。实际上，A、E、C、F四点共圆吗？更简洁的途径：连接BD。由于∠ABC+∠ADC=180°，A、B、C、D四点共圆。AC平分∠BAD，则弧BC=弧CD，故弦BC=CD？这需要证明。实际上，在圆内，圆周角平分线不一定平分对边所对的弦，除非弦是直径或其他特殊条件。此路较曲折。

  *回归本质（代数方程）：设∠BAC=∠DAC=α，则∠BCA=90°-α，∠DCA=90°-α？在Rt△ADC中，∠DCA=90°-∠DAC=90°-α。故∠BCD=∠BCA+∠DCA=180°-2α。在△BCD中，由余弦定理？但BC、CD未知。

  *最优解提示（利用公共边和勾股定理）：设AC=x。在Rt△ABC中，BC²=x²-6²。在Rt△ADC中，CD²=x²-9²。过C作CE⊥AB，CF⊥AD。设CE=CF=h。在Rt△AEC和Rt△AFC中，利用勾股定理可得AE²=AC²-CE²，AF²=AC²-CF²。同时，由角平分线性质，Rt△AEC和Rt△AFC中，∠EAC=∠FAC，AC公共，故Rt△AEC≌Rt△AFC(AAS)，从而AE=AF。但AE和AF在数值上等于？在Rt△AEC中，cosα=AE/x，在Rt△ABC中，cosα=6/x，所以AE=6？这不可能，因为E在AB上，AE≤AB=6。实际上，由cosα=6/x，在Rt△AEC中，AE=ACcosα=x

(6/x)=6。同理，在Rt△AFC中，AF=AC*cosα=6。但AF理论上应等于？在Rt△ADC中，cosα=AD/x=9/x，矛盾再次出现（6/xvs9/x）。除非x趋于无穷，cosα趋于0。这提示，点E和点F可能不在线段AB和AD的延长线上？仔细分析图形，当∠ABC=90°，CE⊥AB，则E与B重合？因为过C只能作一条直线垂直于AB，而CB⊥AB，所以E就是B点！同理，因为CD⊥AD（∠ADC=90°），CF⊥AD，所以F就是D点！这是关键突破。

  *恍然大悟：因为∠ABC=90°，所以BC⊥AB。又CE⊥AB，所以CE与CB重合，E即B点。同理，F即D点。因此，由角平分线性质CE=CF，直接推出BC=CD。设BC=CD=y。

  *利用勾股定理解方程：在Rt△ABC中：x²=6²+y²。

    在Rt△ADC中：x²=9²+y²。

    两式相减得：0=9²-6²=>81-36=45，矛盾？说明两个y²不同？我们设的是BC=y1,CD=y2，且y1=y2。方程应为：

    x²=36+y1²

    x²=81+y2²

    且y1=y2。

    代入得36+y²=81+y²=>36=81，矛盾。这意味着我们的假设“BC=CD”与勾股定理矛盾。问题出在哪里？重新审视“CE=CF”与“E即B，F即D”。如果E是B，那么CE就是CB。如果F是D，那么CF就是CD。由角平分线性质CE=CF，确实得到CB=CD。但代入勾股定理却产生矛盾。这表明，在给定AB=6,AD=9，且∠ABC=∠ADC=90°，AC平分∠BAD的条件下，这样的四边形可能不存在，或者点C的位置被唯一确定，且BC不等于CD？但角平分线性质是“点到角两边的距离相等”，这里C是角平分线上一点，CB是C到AB的距离吗？是的，因为∠ABC=90°，所以CB⊥AB。同样，CD⊥AD。所以CB和CD正是C点到角BAD两边的距离。根据角平分线性质定理，必须有CB=CD。因此，从几何性质上强制要求BC=CD。但勾股定理要求AC²=AB²+BC²=AD²+CD²，代入AB=6,AD=9，得36+BC²=81+BC²=>36=81，不可能。因此，在平面几何中，满足这些条件的点C不存在。此题可能题目有误，或者是一个探索性问题，让学生发现矛盾。这是一个极好的批判性思维训练机会。

  *教学价值：此例题看似“无解”，但探究过程极具价值。它迫使学生深入理解角平分线性质（距离是垂直距离），并严格运用勾股定理进行代数推理，最终发现条件之间的不相容性。教师引导学生认识到：数学解题不仅是求出答案，也包括通过逻辑推理判断问题的可解性或条件的一致性。这培养了学生的批判性思维和严谨态度。

  （四）变式迁移，思维拓展（预计用时：15分钟）

  设计一组变式题，推动学生举一反三。

  变式1（交换平分角）：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，∠ABC的平分线交AC于点D。求BD的长。

  *意图：将平分角从锐角A变为锐角B，模型结构发生变化（角平分线从顶点B出发）。引导学生类比探究，应用角平分线定理于△ABC（BD平分∠B）：AD/DC=AB/BC=10/6=5/3。设AD=5k,DC=3k，则AC=8k。先由勾股定理求AC=8，故k=1，AD=5，DC=3。求BD可用面积法或相似。如：S△ABC=S△ABD+S△BCD=>(1/2)*6*8=(1/2)*10*BD*sin∠ABD?复杂。更佳：过D作DE⊥AB于E，则DE=DC=3。在Rt△BDE中，BE=BC=6（由全等或角平分线性质），故BD²=BE²+DE²=36+9=45，BD=3√5。

  变式2（与中线结合）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的中线。求线段DE的长度。

  *意图：综合多个基本图形。学生需先确定D、E两点的位置。由模型可求CD=(8*6)/(8+10)=48/18=8/3（AB=10）。E为BC中点，故CE=3。所以DE=|CE-CD|=|3-8/3|=1/3。考察学生对模型结论的应用和基本计算。

  变式3（动点探究）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3。点P从A出发沿AB向B运动，速度为1单位/秒，同时点Q从B出发沿BC向C运动，速度为1单位/秒。当t为何值时，射线CP恰好平分∠ACB？

  *意图：将静态模型动态化，融入运动观点。射线CP平分∠ACB，即CP是直角∠C的平分线。这不同于锐角平分线模型，但考察角平分线性质在动态情境中的应用。当CP平分∠ACB时，根据角平分线性质，点P到CA和CB的距离相等。因为P在AB上，此距离不易直接表示。可转化为面积法：S△ACP:S△BCP=AC:BC=4:3。设运动时间为t，则AP=t，BQ=t，BP=5-t。S△ACP=(1/2)AC

PCsin∠ACP？不好。更佳：以AC和BC为底，高相同？过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E。由角平分线性质PD=PE。易证四边形PDCE为正方形？不，C处是直角。实际上，Rt△ADP∽Rt△ABC等。也可用：S△ACP/S△BCP=(AP

AC)/(BP*BC)？因为两个三角形分别以AP、BP为底时，高都是点C到AB的距离（不变），但这不是标准高。正确做法：S△ACP=(1/2)*ACAP

sinA,S△BCP=(1/2)BC

BP*sinB。由正弦定理，sinA=3/5,sinB=4/5。代入比例关系S△ACP:S△BCP=4:3，得到(4*t*(3/5)):(3*(5-t)*(4/5))=4:3。化简得(12t/5):(12(5-t)/5)=4:3=>t:(5-t)=4:3=>3t=20-4t=>7t=20=>t=20/7秒。此题综合性强，涉及动态、比例、面积、三角函数，是对学生综合能力的挑战。

  （五）归纳反思，体系升华（预计用时：8分钟）

  1.知识体系梳理：师生共同绘制思维导图，将“直角三角形锐角平分线模型”置于中心，向外辐射连接：角平分线性质、勾股定理、相似三角形、面积法、三角函数、方程思想等。明确该模型是这些知识交汇应用的“枢纽”之一。

  2.思想方法总结：回顾本节课，提炼核心数学思想：

    *模型思想：从具体问题中抽象出共通的几何结构，总结规律，形成解决问题的“工具箱”。

    *数形结合思想：将几何中的线段关系转化为代数方程，通过计算解决几何问题。

    *转化与化归思想：将复杂图形分解为基本模型，将未知量转化为已知量。

    *多解归一思想：不同的解题路径通往同一真理，体现了数学的内在和谐。

  3.学习反思提示：引导学生反思：在模型识别、方法选择、运算准确性、合作交流等方面有何收获与不足？如何将本节课的探究经验迁移到其他几何模型（如直角三角形斜边高模型、中线模型等）的学习中？

  六、教学评价设计

  （一）过程性评价

  1.课堂观察：记录学生在猜想、探究、讨论、展示等环节的参与度、思维活跃