初中数学最值问题10个经典题

1解决几何最值问题的通常思路：通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型轴对称最值BA·PlBAMNlB A·PlBA，B为定点，l为定直线，P为直线l上AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BNA，B为定点，l为定直线，P为直线l上先平移AM或BN使M，N定直线l的对称点2折叠最值AB'MBNC在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值.转化成求AB'+B'N+NC的最小值△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解.【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长.∵PC关于OA对称，∴△COD是等腰直角三角形.3【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是关键.【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短.从而确定N点位置，此时PA+NB最短.设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值.【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（21设直线AB″的解析式为y=kx+b，4【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识.ADNMB′PDNMB′PB根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值.【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键.4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为.学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误.s6【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决.【解答】解：如图，∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；BD2=82+62=80， ∴PD=45-8.【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间以静制动.6．如图，∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，OA随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为.7得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大∵∠MON=90°,AB=2 根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE， ∴当OD过点E是最大，最大值为2+1. 故答案为：2+1.【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三8【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD′=（4﹣x根据勾股定理然后用配方法即可求解.【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4.故答案为：2.【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值.点，则PK+QK的最小值为.9 ∴PK+QK的最小值为3. 【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键.【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得S正方形S正方形继而可得AP•可求得答案.【解答】解：连接AC，DP.∴S+S+S ∴当P与B重合时，有最大值2； 当P与C重合时，有最小值·2. 【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出