沪教版六年级上册知识点与方法复习总结

沪教版六上知识点与方法总结（收藏版）

一、整数：正整数、零和负整数；正整数和零统称为自然数。

最小的正整数是1,最大的负整数是-1,最小的自然数是零；最大的正整数和最小的负整数

都不存在。

1、整数包括正数、负数和零的说法是错误的，未说明是整数，把小数包括在内了。

2、整数包括正整数和负整数也是错误的，漏了零。

3、非负整数是自然数的说法是正确的。

4、大小范围：整数〉自然数〉正整数

4、圆圈（集合）填空需要注意，有些数符合很多项，比如1既是整数，又是正整数，还是

自然数。

二、整除

整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数是零，就说a能被b整除，或者说b能整除

a。

整除的条件：除数、被除数都是整数；商是整数；余数是零。（简称“三整一零”）

1、区分谁整数谁，谁被谁整数。

2、1能整除所有整数；0能被所有正整数整除。

三、因数和倍数

如果整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b叫做a的因数（也称为约数）。

1、因数和倍数都是在整除的条件下才成立

2、不可以单独说a是因数或者b是倍数，因数和倍数是相互依存的。

3、一个整数的最小因数是1,最大因数是它本身；一个整数的最小倍数是它本身，最大倍

数不存在.

4、1是任何一个整数的因数，1是倍数是所有整数。

5、一个整数，因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的

6、找一个整数所有因数的方法：乘法算式法；找一个整数倍数的方法，用这个整数XI,

X2,X3...,如果要求从小到大写出几个倍数，不要忘记最小的是它本身（XI开始）

7、因数个数是奇数的自然数是完全平方数。

四、被2、5、3、9整数的数的特征

1、被2整除数的特征：个位是0,2,4,6,8；被5整除数的特征：个位是。和5；被。和5整

除数的特征：个位是0;被3整除数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；被9整除数

的特征：各个数位上的数字和是9的倍数。

2、奇偶数的运算性质：

（1）两个数的性质：用特殊数字来记忆（1,2,3）

（2）奇数个奇数的和为奇数，偶数个奇数的和为偶数；

（3）任意个奇数的乘积是奇数，只要加入一个偶数，乘积就变成偶数

（4）两个整数的和与差的奇偶性相同。

五、被7、11、13整除数的特征

（1）被7整除

若一个整数一个数字截去，再从余下的数中，减去个位数的两倍，如果差是7的倍数，则原

数能被7整除，如果不是，继续以上步骤。

【截尾，倍大，相减，验差】

(2)被11整除

若一个整数奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，这个数能被11整除.

【奇偶位差法】

(3)被13整除

若一个整数个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则

原数能被13整除，如果不是，继续以上步骤。

【截尾，倍大，相加，验和】

六、素数与合数

一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1

和它本身外还有别的因数，这样的数叫做合数。(20以内的素数需熟记)

1、1既不是素数也不是合数

2、正整数可以分为素数、合数和1.

3、素数中唯一的偶数是2

4、最小的素数是2

5、最小的合数是4

6、奇数一定是素数和偶数一定是合数都是错误的。

七、分解素因数

每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数，也叫分解质因数。

1、分解素因数的方法：

方法一：口算法

方法二：短除法：除到商是素数为止，最后不要忘记写成连乘的形式。

2、分解素因数中需要记忆的特殊合数

(1)完全平方数：11的平方-19的平方

(2)119=7X17；143=11X13；91=13X7；221=13X17；187=11X17

八、公因数与最大公因数

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素。

(1)如果两个数是倍数关系，那么，最大公因数就是较小的那个数，最小公倍数就是较大

的那个数。

(2)如果两个数互素，那么它们的最大公因数是1,或者说它们只有公因数1.

(3)互素是两个数之间的关系。

(4)互素的常见类型有：两个不相等的素数，1和其它任意正整数，两个连续整数，两个

完全平方数，两个相邻的正奇数。

(4)求最大公因数的方法：

方法一：短除法：用公有的素因数去除这几个数，除到两个商互素为止。最大公因数就是把

所有的除数连乘起来。

方法二：分解素因数法：分别把这几个数分解素因数，把它们所有公有的素因数相乘，所得

的积就是它们的最大公因数。

（5）求几个数所有公因数的方法

方法一：分别写出这几个数的所有因数，再找相同的因数

方法二：先求出它们的最大公因数，再找最大公因数的所有因数

九、公倍数与最小公倍数

几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

1、求最小公倍数的方法

方法一：短除法

求两个数的最小公倍数，用公有的素因数除这两个数，除到商互素为止，最小公倍数就是把

所有的除数和商连乘起来。

方法二：分解素因数法

分别把这几个数分解素因数，把它们公有的素因数和剩余的素因数连乘，所得的积就是它们

的最小公倍数。

2、求三个数的最小公倍数，要除到商两两互素为止。

十、最小公倍数和最大公因数的应用

1、最小公倍数应用：

发车问题（“分钟”之间没有间隔；每隔一天，每隔一年就是每两天，每两年的意思），移

树问题，同一天去超市问题

2、最大公因数应用

锯木块问题，分礼物问题，分组问题，剪绳子问题。

十一、分数的意义和性质

1、分数与除法的关系：被除数十除数=婴黑冷

除数（分母）

区别：除法是一种运算，而分数是一个数。

2、占比问题

A

A占（是）B的几分之几，用分数表示为一

B

B占（是）A的几分之几，用分数表示为0

A

（1）、单位要统一

（2）结果要化成最简分数

（3）溶液占比问题：比如盐（糖）水，先分别算出盐（糖）、水、盐（糖）水分别重多少，

再用占比

3、区分带单位分数与不带单位分数

例题：把9米长的绳子平均分成11段，每段长米？每段绳子长是这段绳子的—.

十二、分数的基本性质

分数的分子和分母同都乘以或除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数大小相等，即

（1）类似于除法的商不变性质

（2）一定要强调，“不为0”

（3）只适用于乘除，不适用于加减

（4）运用分数的基本性质可以对分数变形，它是分数通分和约分的基础。

十三、约分和最简分数

把一个分数的分子和分母的公因数约去的过程叫做约分。通过约分可以化简分数。

分子和分母互素的分数叫做最简分数。

（1）最简分数的判定依据是分子分母互素，联系互素的常见类型

（2）分数的结果一定要用最简分数表示

（3）约分过程是分数的化简过程，约去的是分子和分母的公因数

（4）化成最简分数约去的分子和分母的最大公因数

十四、通分

将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分。

（1）通分是异分母化成同分母的过程

（2）公分母是分母的公倍数，最小公分母是分母的最小公倍数

（3）公分母有无数个，最小公分母只有1个。

十五、分数比较大小的方法

1、通分，化成同分母

2、利用分数的基本性质，化成同分子（找分子的最小公倍数）

3、结论：对一个真分数，分子分母同时加上一个相同的数（不为0）,分数值变大，对于假

分数，则反之。

4、分拆比较大小，分拆的是分子，使用于分子分母都较大

5、倒数法：倒数大的原分数反而小，倒数小的原分数反而大

6、化成小数比较大小

十六、分数的加减计算

1、分数加减计算原则：同分母分数先加减，再通分计算。

2、真分数、假分数、带分数

（1）真分数是分子小于分母，假分数是分子大于或等于分母；

（2）带分数是一个正整数和真分数相加的形式

（3）带分数是假分数的另一种表示形式，用带分数可以迅速估计分数值的大小。

（4）带分数与假分数的互化（利用带余除法转化，假分数的分子除以分母）

3、带分数的加减计算方法

（1）整数部分与分数部分分别相加减，结果再合并

（2）分数部分不够减，向整数部分“借位”

（3）整数部分不够减，先计算分数部分，计算结果向前“进位”

十七、分数乘除运算

1、分数乘法计算方法：分子与分子相乘，分母与分母相乘

2、分数乘法计算原则：

（1）先约分，后计算；

（2）带分数化成假分数再计算；

3、倒数

（1）互为倒数的两个数的乘积是1;

（2）求倒数的方法：用1除以这个数；

（3）。没有倒数；

（4）带分数化成假分数求倒数，小数化成分数求倒数；

（5）倒数是两个数之间的关系，如aXbXc=La,b,c互为倒数的说法是错误的;

（6）倒数是它本身的是1和；

（7）正整数的倒数一定是真分数的说法是错误的（反例：1）

（8）真分数的倒数一定是假分数，但假分数的倒数不一定是真分数（反例：1）

4、分数除法的运算法则：

除以一个数等于乘以这个数的倒数，把除法运算转化成乘法运算。

十八、分数小数的互化

1、分数化小数：利用分数与除法的关系进行转化

常见的分数化小数：

13

-=0.25；-=0.75；

44

1=0.2；2=0.4；4

0.6•——：0.8；

55,5

357

-=0.125•——：0.375；=0.625；一二0.875

8，888

2A.0,8：2

—=0.1；=0.2；L=0.9

10101010

3711

—=0.05=0.15；L=0.35；0.55

20；20；2020~

22324

--0.04=0.08；L=0.92；=0.96

25；25；2525

34749

—=0.02=0.06；L=0.94；=0.98

50；50；5050

记忆技巧：

5作分母的分数，分子分母同时乘以2；20作分母的分数，分子分母同时乘以5；25作分母

的分数，分子分母同时乘以4。

2、可化成有限小数的分数的规律

一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5,再无其他素因数，那么这个分数可以化成

有限小数，反之，就不能化成有限小数。

(1)分数不是最简分数，先化成最简分数；

(2)分母中只含有素因数2和5

3、有限小数化分数

(1)小数点去掉的数作分子

(2)几位小数，1后面添几个零作分母

(3)化成最简分数

4、循环小数

(1)、定义：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现,

这个小数叫做循环小数。

(2)、判断一个循环小数的依据：

①小数部分有循环

②是无限小数

(3)、循环节：

一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数

的循环节。

(4)、循环小数的简写：

在这个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点。

(5)、纯循环小数：十分位开始循环的小数；混循环小数：十分位后开始循环的小数；

5、循环小数化分数

(1)纯循环小数化分数

>循环节作分子

>循环节中有几个数字，分母写几个9

>化成最简分数

(2)混循环小数化分数

>扩大(X10,Xioo,X…)，转化成纯循环小数

>按纯循环小数的方法化成分数

>得到的分数(+10,+100,-?•••)

>化成最简分数

十九、分数小数混合运算

(一)基本运算思路

1、加减混合：

分数可化成有限小数(常见的分数化小数)：分数化成小数后计算；

有分数不能化成有限小数：小数化成分数后计算；

2、乘除混合：

小数化成分数

3、四则混合：

思路一、局部加减，局部乘除，结果再合并

思路二、整体考虑，运用巧算

(-)速算与巧算

1、凑整思想

31

⑴加减凑整：如0.25+厂1；l-25-rl

(2)乘除凑整：如0.25x4=1；-4-0.125=1

8

【总结】若几个数相加减或相乘除的结果是一个整数，那么，可将这几个数作为一组进行计

算。

2、运算性质

常用性质有：除法和减法的性质，结合律，交换律

乘法分配律

(1)乘法分配律的直接运用

29

例题：—x0.9+—x0.9=+x09

1111nn)-

(2)乘法分配律的构造运用

822982928922

例题1：一X--------1-------X——=—X--------1-------X——■-----1-----x—=—(交换律)

172317231723172317172323

33

例题2：1969x2-0.375x1949+3.75x14=1969x2—0.375x1949+0.375x140

88

3

jx(1969-1949+140)=60

22

例题3：3.6x31-+41.4x6-=3.6x31.4+41.4x6.4

55

=3.6x31.4+31.4x6.4+10x6.4=31.4x(3.6+6.4)+64=314+64=378

3、列项法(拆项相消法)

(1)

+aa+1

111

(2)一+一

axba+b'ab,

11

(3)a)

axbb-ayab,

4、整体换元法

二十、分数应用题

（―）乘法应用

〃n

求a的一是多少，列算式：ax-

mm

（-）除法应用

〃n

已知。的一是b,求a,列算式：b4—

mm

（三）多（少）几分之几

a—h

1、。比人多几分之几，列算式：吃一或

h—a

2、“比人少几分之几，列算式：丁或传—a）+b

【总结】多（少）几分之几的问题可以按照占比问题来理解。

（四）工程问题

1、当工作总量未知时，一般假设工作总量为“单位1”

2、工程问题基本公式：工作总量=工作效率X工作时间

3、合作工作效率：甲乙合作工作效率=甲工作效率+乙工作效率

注意：合作工作时间不可直接相加。

（五）分数应用题解题方法

1、带单位分数一般用加减法，不带单位分数一般用乘除法

]3

例题：粮店有4吨大米，第一周卖出一吨，第二周卖出余下的二，第二周卖出大米多少千

25

克？

(3211

【解析】4一一x-=—=2—(吨)

I2)51010

2、“单位1”思想的运用

例题：某商店二月份的营业额比一月份增加上，三月份比一月份减少二月份的营业额

108

是三月份的几分之几？

【解析】设一月份的营业额为“1”，则二月份的营业额是1+*="；三月份的营业额是

1711744

1--=-；二月份的营业额是三月份的几分之几，就是占比问题：——

8810835

3、统一单位1

例题：三个小组，第一小组人数是第二、第三小组人数和的,，第二小组人数是第一、第三

3

小组人数和的第三小组有10人，问三个小组共有多少人？

2

【解析】单位1不统一，先统一单位1

第一小组是三个小组总和的L；第二小组是三个小组总和的L；

43

那么，第三个小组是三个小组总和的1--2；

3412

三个小组总人数为：10+之=24（人）

4、转化的思想

例题：看一本书，第一天看了全书的士，第二天比第一天多看10页，这时已看的页数是没

33

看的页数的3,这本书共有多少页？

23

【解析】运用转化思想，通过转化条件可以简化计算

己看的页数是没看的页数的竺，那么，己看的页数是全书的约；

2333

=165（页）

4、方程的思想

例题：两个书架，甲书的本数是乙的士，如果乙给甲15本，两个书架上的书就相等

4

了，乙书架原有书多少本？

【解析】设以书架原有x本书

3

x—15=4+15

4

解得：x=120

【总结】结合方程的思想解决分数应用题可以更加直观、简洁。

二十一、解题方法整理

（一）分解素因数的应用：

例题1：三个正整数的积是84,其中两个数的和等于第三个数，那么这两个数分别是多少？

【解析】把84分解素因数，84=2X2X3X7=3X4X7

所以，三个数分别是3,4,7.

例题2：四个小朋友出生的年份是连续正整数，2019年他们年龄的乘积是360,求年龄最小

的小朋友出生年份

【解析】先把360分解素因数，360=2X2X2X3X3X5=3X4X5X6

一共六个素因数，组合成连续的正整数相乘，显然5不变，找与5相邻的有4个6,还剩下

3.

年龄最小的2019年是3岁，2019—3=2016（年）

（二）添项法在分数加法运算中的应用

1

111导**

-+-+-十+

例题1:248128

161281

127

【答案】

128

11111

例题2：+-+—+—+—+—

3612244896

11111111

【解析】-+—+—+—+-----F—+------

36122448969696

-3-96-32

【总结】后面一个分数均是前面一个分数的一半，可用添项法计算

（三）分组法分数加减计算中的应用

例题1：19--18-+17--16-+L+1--1

232323

［解析］原式=(195_18§)+(175_16§)+L+^1———

12

==10xl-=U-

63

12341232

例题2：1—+2—+3—+4—+5—+6—+7—+L+50-

55555555

1234

经观察，算式中的整数部分是连续自然数，分数部分每四个组成一组，和为二+1+《+《=2。

并且，一共有50个数，那么分成12组，还剩下最后两个。

【解析】原式=(l+2+3+4+L+50)+[g+]+[+[)x++

(1+50)x50+2+2x12+1

33

=1275+24-=1299-

55

【总结】合理的分组可以简化计算，观察规律，每组内计算结果相同。

分组要准确，并且算式中一共有多少个数，分得多少组，有无剩余，剩下的是哪些项，必须

要仔细。通常是从前向后顺次分组，有时候也会从后向前逆向分组

(四)列项法在分数加减计算中的运用:

例题1：一+—I-----H-------H--------1-+—

261220304256

111111

原式=-----一+---+---+---+---+一

1x22x33x44x55x66x77x8

-2+2-3+3_4+4_5+5_6+6-7+7-8

=1-17

88

【总结】列差法的应用

5791113

例题2：1-—F-------—H------

612203042

原式=1-仕+1

(23)

：/_1上

2714

【总结】列和法的应用

例题3：++…

1x44x77x1013x16

（五）整体换元法在分数加减计算中的应用:

1111x111411111X111

例题1:+++++++++一十一+一

23423452345J234

【解析】设A=1H---1—I—,B——I—I—

234234

1、

原式—xA.-1AH—xB

5J5J

=AB+-A-AB--B

55

（六）abcibab和abcabcabc类型的多位数化简

ababab=abxlOlOl（首个ab后面多一个“ab”，工后面就多一组“01”）

abcabcabc=abcx1001001（首个abc后面多一个"abc",1后面就多一组"001"）

第三章、比和比例

一、比的概念：。力是两个数或两个同类的量，为了把6和。相比较，将。与6相除，叫做

4与b的比。记作a：》，或写成色，其中，8*0。读作a比/?,或a与人的比。

b

。叫做比的前项，b叫做比的后项。比值：前项a除以后项人所得的商叫做比值。

二、比、分数、除法的关系

比前项+（除号）后项比值

分数分子-（分数线）分母分数值

除法被除数:（比号）除数商

区别：比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算

注意

(1)答题时看清是求比还是求比值；

(2)两个同类的量作比时，单位要统一

(3)比值没有单位

(4)a：b=13:5,a和b的取值有无数种可能

二、比的基本性质

1、定义比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(。除外)，比值不变。

注意：强调0除外，0不能做除数和分母

如，比的前项和后项同时乘以一个自然数，比值不变是错误的。

运用这个性质，可以把比化为最简整数比

2、最简整数比：比的前项和后项都是整数且互素。

注意：分数和比的结果必须化成最简整数比。

3、三连比的性质

(1)三个数的连比，三个数都是这个连比的项。在比较两个以上量时，往往可以采用连比。

如果4：力=加：〃，b:c=n:k,那么a:"：c=加：〃：%；

cibc

如果ZwO,那么a:c=a火：尿：M=一：一：一。

kkk

(2)二连比转化成三连比

关联项：前一个比的后项和后一个比的前项，字母相同

若关联项相同，直接连比；

若关联项不同，求它们的最小公倍数，化成相同再连比

(3)三连比拆成两连比

字母和数字保持相对应；

比的顺序可以改变；

例：a：b：c=l:2:6可以拆成：a：b=l:2.b：c=l:3,a：c：b=l:6:2

4、化最简整数比

(1)a：b=2:4=l:2,约去最大公因数

(2)a：b=1.2:2.2=12:22=6:ll,化为整数，再约去最大公因数

12

(3)a:b:c=-:-=5:6,同乘以最小公分母

35

(4)字母含有数字的化简

2a:8=4:5=。：。=2:5

a:26=5:4=>a:6=5:2

142.5

3a:一匕=4:2.5=a:》=—：1—=4:15

231

2

5、设k法求三连比

(1)3a=4/?=5c,求a:0:c

kkk

设3a=46=5c=Z,那么a=一,。=—,c=一,

345

=—:—:—=20:15:12

345

、abca

(2)—=—=—,求t

345

拓展：

例1：(ab):(Z?c):(ca)=2:3:4,则(Z?+c):(a+c):(a+匕)=

三连比拆为两连比：(ab:be)=2:3=>a:c=2:3

Z?:a:c=3:4:6

所以a:b:c=4:3:6

例2：设k法的应用

若x、y>z满足x:y:z=3:4:5,S,x2+y2+z2=xyz,则x+y+z=

设x=3£y=4Z,z=5h带入f+9+z?=型式子中，得到50k2=60公

,所以x+y+z=10

三、比例及其性质

（一）比例的相关概念

比例的定义：表示两个比相等的式子。

（1）a,瓦c,d四个量中,如果a:b=c:d,那么就说Q,b,c,d成比例,也就是表示两个比

例的式子叫做比例，其中。力,c,d分别叫做第一、二、三、四比例项，第一比例项々和第四

比例项d叫做比例外项，第二比例项〃和第三比例项c叫做比例内项。

（2）如果两个比例内项相同，即a:〃=Z?:c,那么把人叫做a和c的比例中项，^tr=ac

（3）比例的两种形式：-=—（竖式），a:h=c:d（横式）

hd

（二）比例的基本性质

如果=或@=£,那么ad=bc、，反之，如果a,h,c,d都不为零，且ad=机?，

hd

那么a:b=c\d或@=£。

bd

内项积等于外项积

*=3比例式）一^^〃=儿,（乘积式）

a_c

~b~~d

a_b

乘积式化成比例式：C7（4个）等号左右交换又有4个，一共8个。

d_c

~b~~d

d__b_

ca

（三）如何判断4个量能否构成比例

最大的数乘以最小的数是否等于其余两个数的乘积

（四）给出三个数，求第四个数，使构成比例

三个数任取两数相乘除以第三个数，有三种情况

注意：比表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项

四、比例的应用

（-）基础应用

根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例再求解。

例：某机床厂制造一批机床，3天生产了21台，按照这个速度，再生产12天就可以完成任

务，这批机床多少台

3_3+12

21x

（二）比例尺

比例尺=图上距离：实际距离

注意：

1、比例尺问题单位要统一

2、比例尺分类

放大比例尺：图上距离＞实际距离（小零件结构图）

缩小比例尺：图上距离〈实际距离

（三）调配问题

解题技巧：运用方程思想

例题：第一组和第二组人数比是5:3,第一组调配14人到第二组，第一二组的人数比为1:2,

求一二组原来的人数

设第一组有5x人，则第二组有3x人（注意设法）

5a-14_1

那么:

3a+142

(四)和差关系与比例分配

(-)百分比的意义

1、小数化成百分数

小数化成百分数，将小数点向右移两位，同时在右边添上百分号。

2、百分数化成小数

去掉百分号，并把百分号前面的数字的小数点向左移动两位。

3、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数，再把小数化成百分数。

(-)百分比的应用

在生产和工作中常用的百分率有:

及格人数

及格率=xlOO%；

总人数

合格率=需添

增加的产量

增产率=xlOO%；

原来的产量

实际出勤人数

出勤率=X1OO%»

应该出勤的人数

食品消费支出总额

恩格尔系数=xlOO%

消费支出总额

盈禾lj率=曾!X100%="/心=X100%

成本成本

三护如亏损“、八0/成本-售价.,.,

节切率=———x100%=——：——x10v0%o

成本成本

利息=本金X利率X期数

(三)等可能事件

发生的结果数

一所有等可能的结果数

例如

十、盈亏问题

1＞相关概念

折数：如打对折指现价是原件的50%

成数：如一成即10%

涨价后的价格-涨价前的价格

涨价了百分之几=

涨价前的价格

降价前的价格-降价后的价格

降价了白分之儿=--------------------------xlOO%

降价刖的价格

2、计算类型

(1)已知原价是a元，

降价后的价格为a(1-x)；

涨价后的价格为a(1+x)；

先降价x,再涨价x和先涨价x,后降价x一样，都是a(1+x)(1-x)

(2)已知降价后的价格是b元，降价x,原价为b+(1-x)

(3)已知涨价后的价格是b元，涨价x,原价为b+(1+x)

3、盈利和亏损

盈利=实