2025-2026学年山东省青岛第六十八中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省青岛第六十八中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据1，2，3，4，5的方差为(

)A.0 B.1 C.2 D.32.在复平面内，复数1+2i，−3+4i对应的点分别是A，B，则向量BA对应的复数的虚部为(

)A.−2i B.−2 C.2i D.23.向量a=(2,3)，b=(x,−3)共线，则|bA.13 B.13 C.1 D.4.在△ABC中，B=π3，最长边与最短边之比为(3A.π12 B.π6 C.π45.棱台上下底面均为有一个内角为60°的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的体积为192，则棱台的高为(

)A.23 B.2 C.1 6.已知α，β，γ为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则(

)A.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

B.若α//β，m⊥α，n⊂β，则m⊥n

C.若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

D.若α⊥β，α⊥γ，则β//γ7.从棱长为1的正方体上底面的4个顶点和下底面的4个顶点中分别取一个点，则这2个点之间的距离大于2的概率为(

)A.34 B.23 C.138.已知A，B，C，D是同一个球面上四点，AD过球心，AB=AC=BC=BD=CD=2，则三棱锥A−BCD的体积是(

)A.223 B.24 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若随机事件A，B满足：P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，则(

)A.A，B互斥 B.A，B对立 C.A，B相互独立 D.AB为不可能事件10.已知复数z=i(1−i)3，则(

)A.z⋅z−=8

B.zz−=−i

C.z对应复平面上的点在直线y=x上

D.11.已知正三棱锥P−ABC的底面边长和高均为6，Q为三棱锥表面上的动点，则(

)A.PA=43

B.三棱锥P−ABC的内切球半径为13−12

C.QA⋅QB的取值范围为[−9,30]

D.若Q∈平面ABC，则使直线PQ与AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2AD=2，E为CD的中点，则AE⋅BD=

13.斜三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，且A1A=14.已知△ABC中，AB=1，BC=3BD，AD=BC，则AB边上的高的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某校从参加高三数学模拟考试成绩中随机抽取60个数据，将其适当分组后，画出如下频率分布直方图．

(1)请估计参加高三数学模拟考试成绩的80%分位数；

(2)用按比例分配的分层随机抽样的方法将成绩落在[110.130)内的数据中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个数据，求至少有1个数据落在[110,120)内的概率．16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=1，3cosA+B2=csinB．

(1)求C；

(2)若17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，AB=2，BC=22，AO=6，D，E，O，F分别为BP，AP，BC，AC的中点．

(1)证明：EF//平面AOD；

(2)若PB=PC=6．

(i)证明：平面POF⊥平面PBC；

(ii)18.(本小题17分)

在△ABC中，AB=AC=2，D为边BC边的中点，若AD在AB方向上的投影向量的模为32|AD|．

(1)求∠BAC；

(2)若点G，P在△ABC所在平面内，GA+GB+GC=0，|PG|=2．

(i)证明：点G为△ABC的重心；

19.(本小题17分)

盒中有2n+1(n∈N∗)个标号为1，2，…，2n+1的小球，小球除标号外均相同，每次不放回的随机取一个球，在取球过程中的某一时刻，若取得奇数号球与偶数号球个数相等，则称为出现了一次“巧遇”．

(1)当n=2时，求取球两次就出现“巧遇”的概率；

(2)记A2i=“取出2i个球后，第一次出现‘巧遇’”i=1，2，3，…，n，B=“第一次取到的是奇数号球”．

(i)证明：P(A2i1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】AB

10.【答案】ABD

11.【答案】ABC

12.【答案】−313.【答案】1414.【答案】9815.【答案】134分

3516.【答案】π3

3217.【答案】证明：因为D，E，O，F分别为BP，AP，BC，AC的中点，

于是EF/​/PC，OD//PC，

所以EF/​/OD，又EF⊄平面AOD，OD⊂平面AOD，

所以EF/​/平面AOD

(i)证明：因为PB=PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，

在△ABO中，AO2=6=BO2+AB2，

所以AB⊥BO，

因为O，F分别为BC，AC的中点，

所以OF/​/AB，

所以OF⊥BC，

又PO∩OF=O，PO，OF⊂平面POF，

所以BC⊥平面POF，

又BC⊂平面PBC，18.【答案】∠BAC=π3

(i)证明：因为GA+GB+GC=0，所以GB+GC=−GA=AG，

因为D为边BC边的中点，所以GB+GC=2GD，