天津市宝坻区2025-2026学年高一下学期期末练习数学试卷（含详解）

天津市宝坻区2025-2026学年第二学期期末练习高一数学试卷一、单选题1．下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（

）A． B．8 C．14 D．3．i为虚数单位，复数的共轭复数的虚部是（

）A． B． C． D．4．在某次考试后，数学老师随机抽取了5名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，1，3，则这组数据的平均数和分位数分别为（

）A．5，1 B．5，3 C．4，3 D．5，55．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模长为（

）A． B． C． D．6．已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则7．甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则甲获胜的概率为（

）A． B． C． D．8．在平行四边形中，是线段的中点，是线段的中点，则（

）A． B．C． D．9．如图，某球体建筑物置于水平地面上，与地面相切于点，在地面上沿过点的某一直线上取，两点（点在，之间），分别在，处测得该球体建筑物的最大仰角为和．已知，则该球体建筑物的体积为（

）注：本题仰角是指观测点到切点（视线与球面相切处）的连线与水平面的夹角．A． B． C． D．二、填空题10．为虚数单位，计算：________．11．正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为________．12．《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是_______．13．在中，，，，则的面积为________．14．某校高一年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本以调查学生的身高信息（单位：）．已知男生样本的平均身高为，女生样本的平均身高为，则总样本的平均身高为________．15．已知为坐标原点，为平面内一定点，且，平面内的动点满足：存在实数，使，记点构成的平面区域为S，则S的面积为________．三、解答题16．在中，角，，的对边分别为，，．已知．(1)求角；(2)若，，求．17．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．18．某人工智能平台为了解用户每日使用时长情况，从平台用户中随机抽取了200名用户进行调查．将日均使用时长（单位：小时，精确到0.5小时）分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．已知平台将日均使用时长不低于2小时的用户定义为深度用户，其中为银牌深度用户，为金牌深度用户．(1)求图中的值；(2)采用分层抽样的方法从深度用户中随机抽取5名用户，再从这5人中随机选取2人进行深度访谈，求恰有1人是金牌深度用户的概率．19．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)设直线与平面交于点，请在答题卡上作出线段，叙述作图依据，并求线段的长．20．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．(1)求；(2)求的最小值．参考答案1．A解析：对于选项A：若，则，故A正确；对于选项B：向量不能比较大小，故B错误；对于选项C：若，但方向不一定相同，可知不一定相等，故C错误；对于选项D：若，但方向不一定相同，可知不一定相等，故D错误.2．C解析：由直观图还原原平面图形，如下图所示：由四边形为矩形，得，且，即为等腰直角三角形，则，，在原图形中，，，由，，则在原图形中，，，即四边形为平行四边形，因此，，所以原平面图形的周长为.故选：C3．D解析：复数的共轭复数为，则虚部为2.4．B解析：这组数据为：，总和为，共个数据，因此平均数为：x=先将数据从小到大排序：1,3,5,7,9，数据个数；计算位置；因为不是整数，向上取整得位置为，对应排序后第个数据，即，因此分位数为；综上，平均数为，分位数为.5．D解析：向量在向量上的投影向量为.向量在向量上的投影向量的模长为.6．C解析：对于选项A：若，，则或相交，故A错误；对于选项B：若，，则或相交，故B错误；对于选项C：若，，则，故C正确；对于选项D：若，，，则或相交，故D错误.7．A解析：甲获胜分为或两类，所以甲获胜的概率为.8．A解析：由是的中点，可得：由是的中点，平行四边形中，因此：，所以.9．C解析：如图，设球心为，与圆相切于点，与圆相切于点，与相交于点，连接，，，.设球的半径为.又因为与圆相切于点，所以.在中，，.在中，，，所以，，因为，与圆相切，所以.因为，与圆相切，所以.又，即，解得.该球体建筑物的体积.10．解析：由题意可得：.11．解析：在正四棱柱中，平面，则直线与底面所成的角为，由题意可得，且，则，所以正四棱柱的外接球的半径为，所以正四棱柱的外接球表面积为.12．解析：从8个卦中任取一卦，基本事件总数，其中由2根和1根构成的基本事件个数，所以从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是.故答案为：.13．解析：由余弦定理得.因为，所以..14．166解析：由题意可知：在50的样本中，男生30人，女生20人，所以总样本的平均身高为.15．解析：设，，，因为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，又因为，且，点在的延长线上，过作圆的切线，分别与圆切于点，，连结，，则，，可知点构成的平面区域为圆和四边形组成的部分，如图阴影部分，因为，则，可得，，所以点的轨迹面积.16．(1)(2)解析：（1）由余弦定理得.因为，所以.（2）因为，且，所以.由正弦定理，得，即.解得．17．(1)证明见解析(2)证明见解析解析：（1）设,连接,如图所示:因为O,E分别为,的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面．（2）连接,如图所示:因为,为的中点,所以,又因为四边形为菱形,所以,因为平面,平面,且,所以平面,又因为平面,所以平面平面．18．(1)(2)解析：（1）由频率和为1可得，解得.（2）深度用户中银牌与金牌的频率比为：银牌:金牌，抽取5人，按比例分配：银牌：人，金牌：人，记银牌3人分别为，金牌2人分别为，从5人中随机选取2人，则样本空间为，设事件A=“恰有1名金牌深度用户”，则，可得，，所以恰有1名金牌深度用户的概率为.19．(1)(2)，因为在平面内，平面与平面的交线为，所以延长，交于的延长线于点，连接；解析：（1）取中点，连接，如图所示：在正方体中，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，在中，为棱，的中点，所以，所以所以为异面直线与所成的角，由为棱，的中点，正方体的棱长为，则，，所以在中，由余弦定理得：.所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）因为在平面内，平面与平面的交线为，所以延