2025-2026学年山东省济南市莱芜第十七中学高二下册期中学情检测数学试卷（含解析）

/数学考试时间120分钟，满分150分．第I卷选择题一、单选题（每小题5分，共40分．每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的．）1.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.2.已知，则（）A.0.5 B.0.35 C.0.25 D.0.173.已知，则（）A.8 B.7 C.6 D.54.为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，我校开展劳动节文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，若三个唱歌节目必须相邻，则有多少种不同排法（）A.24 B.36 C.96 D.1445.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.(+)(2-)5的展开式中33的系数为A.-80 B.-40 C.40 D.808.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.关于的二项展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为 B.各项系数和为C.二项式系数和为64 D.项的系数为10.已知函数，则（）A.有两个极值点 B.当时，C.有三个零点 D.函数图象的对称中心为11.已知函数，其中，则（）A.若函数有且仅有1个零点，则B.若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是C.不存在，使函数存在唯一的极值点D.若对恒成立，则第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则________.13.秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患了流感的概率为_______________.14.已知函数存在极值，则实数的取值范围是___________，若对恒成立，则实数的最大值为___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数有极小值．（1）求的单调区间；（2）求在上的最大值和最小值．16.盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列.17.已知函数.（1）求的极值；（2）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围.18.某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．①求P2，P3；②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．19.已知，其中．（1）讨论的单调性；（2）已知．（i）若在处的切线经过坐标原点，求实数的值与的方程；（ii）对任意的，都有，求实数的取值范围．

数学考试时间120分钟，满分150分．第I卷选择题一、单选题（每小题5分，共40分．每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的．）1.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据导数运算公式和复合函数的求导法则计算即得.解答过程：对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，令，则，故C正确；对D，为常数，所以，故D错误.故选：C2.已知，则（）A.0.5 B.0.35 C.0.25 D.0.17答案：C解析：思路：根据条件概率公式结合题意直接求解即可.解答过程：因为，所以．故选：C3.已知，则（）A.8 B.7 C.6 D.5答案：C解析：思路：利用组合数公式求解.解答过程：因为，解得或，，，所以.故选：C.4.为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，我校开展劳动节文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，若三个唱歌节目必须相邻，则有多少种不同排法（）A.24 B.36 C.96 D.144答案：D解析：思路：相邻元素用捆绑法解题即可.解答过程：三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其他三个节目进行排列，共有种不同排法.5.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对函数求导，把有两个极值点问题转化为导数有两个正实根，从而利用判别式结合韦达定理构造不等式组求解．解答过程：函数的定义域为，求导得，，导数的符号由分子决定，令，函数有两个极值点，等价于在上有两个实根，则二次方程需满足Δ=−a2的取值范围是．6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：通过将函数单调递增转化为恒成立问题，从而分离参数，构造新函数求最值即可.解答过程：因为函数在区间上单调递增，所以在恒成立，即，令，所以只需即可.因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取到最小值为，即，所以实数的取值范围是.7.(+)(2-)5的展开式中33的系数为A.-80 B.-40 C.40 D.80答案：C解析：解答过程：，由展开式的通项公式可得：当时，展开式中的系数为；当时，展开式中的系数为，则的系数为.故选C.【名师方法提示：（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.8.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据函数奇偶性以及导函数性质可得，再求导并利用基本不等式可判断的单调性，解不等式可得结果.解答过程：由题意知，两边同时求导，即是奇函数，又是偶函数，则，可得，令，可得，易知，当且仅当时等号成立；即函数在上单调递减，又是奇函数，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为函数是偶函数，则，可知不等式等价于，即，即，即可得，解得，则不等式的解集是.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.关于的二项展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为 B.各项系数和为C.二项式系数和为64 D.项的系数为答案：AC解析：思路：利用二项式的通项公式和赋值法求解判断.解答过程：的展开式的通项，令，可得，所以，A正确；令，得，即各项系数和为，B错误；二项式系数和为，C正确；令，得，故二项展开式中不存在项，D错误，故选：AC.10.已知函数，则（）A.有两个极值点 B.当时，C.有三个零点 D.函数图象的对称中心为答案：ACD解析：思路：求导，确定单调性和极值判断AB选项，对原式因式分解确定根的个数判断C选项，根据三次函数，对称中心的横坐标是二阶导数为0的点判断D选项.解答过程：选项A，求导得，令，解得或，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；因此是极大值点，是极小值点，有两个极值点，A正确；选项B，由上述分析可知，在上单调递减，当时，，故，B错误；选项C，令，因式分解：，解方程，得，因此的三个零点为，共三个不同实根，C正确；选项D，对于三次函数，对称中心的横坐标是二阶导数为0的点，求二阶导数：，令f″x=0，得验证对称中心定义：若关于对称，则，代入a=1,b=0，，满足对称中心定义，故的对称中心为，D正确.11.已知函数，其中，则（）A.若函数有且仅有1个零点，则B.若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是C.不存在，使函数存在唯一的极值点D.若对恒成立，则答案：ABD解析：思路：利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解解答过程：对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为，令，，则，令得或，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，，作出的图象，如下：直线与其仅有一个公共点，则；对于B，，令，函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点，令得，显然0不是函数的零点，当时，变形为，令，则，令得，令得或，故在上单调递减，在上单调递增，，作出的图象，如下：直线与其交于两点，则，故，B正确；对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点，函数存在唯一的极值点，C错误；对于D，，即，当时，满足要求，当时，，变形为，令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确.第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则________.答案：7解析：思路：结合排列组合公式解方程即可解答过程：因为，故，即，解得故答案为：13.秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患了流感的概率为_______________.答案：##解析：思路：利用全概率公式求值.解答过程：用表示这个人患了流感，分别用，，表示这个人来自地区，则，，.，，.所以.故答案为：14.已知函数存在极值，则实数的取值范围是___________，若对恒成立，则实数的最大值为___________．答案：①.②.解析：思路：先确定函数定义域，再对函数求导，根据极值存在的条件，分析导数的取值情况，进而得到实数的取值范围；将不等式变形，分离出参数，转化为求新函数的最小值问题，再通过基本不等式找到其最大值.解答过程：定义域为，求导得：

f'(x若，则对恒成立，单调递增，无极值；若，令得x=−1a>0，当x∈(0,−1a当x∈(−1a,+∞)时，递减，因此的取值范围是；原不等式f(x)≤x2ex−lnx−2x2ex结合基本不等式et≥t得：

ex+2ln

存在x0∈(0,+∞)满足因此x2ex−2lnx−2x−1四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数有极小值．（1）求的单调区间；（2）求在上的最大值和最小值．答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为，（2）最大值为，最小值为．解析：思路：（1）利用导数求得的单调区间；（2）由的极小值列方程求得的值，比较极值和区间端点的函数值，求得在上的最大值和最小值.（1），令，解得或，令，解得，所以单调递减区间为，单调递增区间为，．（2）由（1）知，的极小值为，解得．∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，的极大值为又，，所以在上的最大值为，最小值为．16.盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列.答案：（1）（2）分布列见解析解析：思路：（1）利用组合数及古典概型的概率计算公式即可求解；（2）根据已知条件，求出随机变量的可能取值，然后利用组合数及古典概型的概率计算公式求出不同取值的概率，进而得出分布列.（1）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M，所以.（2）由题意可知，X的可取值为1，2，3所以，，，所以X的分布列为：X123P17.已知函数.（1）求的极值；（2）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围.答案：（1）极大值为，极小值为；（2）.解析：思路：（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；（2）“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求.解答过程：解：由题意可知函数的定义域为R.（1）因为.所以，由，得，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.（2）因为，所以为一个零点.所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.令，则，所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，有最小值，时，，时，.若方程有两个非零实根，则，即.若，方程只有一个非零实根，所以.综上，.方法提示：本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.18.某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．①求P2，P3；②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．答案：（1）12（2）①，；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大解析：思路：（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为η，可得，再写出的所有可能取值，分别求出其对应的概率，进而得到的分布列，并求出的数学期望，从而可求得的数学期望；（2）①直接根据题意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率为；②先根据题意建立与的关系式，即可证明数列为等比数列，进而可得到的通项公式，从而可比较P7，P8．（1）设该