2025-2026学年山东省济南市商河弘德中学高二下册第二次月考数学试卷（含解析）

/数学考试时间：2026年5月15日一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设是可导函数，且，则（）A.2 B. C.-1 D.-22.五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（

）A.9种 B.36种 C.64种 D.81种3.已知随机变量，若，则（）A.6 B.8 C.9 D.124.已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（）A.1 B.3 C.1或3 D.2或5.若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. B. C. D.6.已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知随机事件A，B，若，则（）A. B. C. D.8.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.有极大值 B.有极小值C.有极大值 D.有极小值二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知离散型随机变量的分布列为：且，则（）A. B. C. D.10.甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）A. B.C. D.11.[多选]某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，下列选项中正确的是（）A. B.C. D.前k天甲午餐总费用的数学期望为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的导函数为，且满足，则______.13.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_______．（用数字作答）14.若随机变量，且，则_______．四、解答题：本题共3小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数是函数的一个极值点.（1）求函数的单调递增区间；（2）当，求函数的最小值.16.已知．（1）求；（2）若，求的值．17.已知函数，曲线在处的切线斜率为2.（1）求的值；（2）求不等式的解集.18.甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性.

数学考试时间：2026年5月15日一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设是可导函数，且，则（）A.2 B. C.-1 D.-2答案：B解析：解答过程：，即.2.五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（

）A.9种 B.36种 C.64种 D.81种答案：D解析：思路：由分步计数原理求解.解答过程：四人依次选择电影，每人都有3种选择，则不同的选择共有种.故选：D.3.已知随机变量，若，则（）A.6 B.8 C.9 D.12答案：C解析：思路：利用二项分布的方差公式求解即可.解答过程：因为，所以由，可得，故选：C.4.已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（）A.1 B.3 C.1或3 D.2或答案：B解析：思路：求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案.解答过程：由题意得：，因为在x=1处取得极大值，所以，解得或，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极大值，故满足题意综上.故选：B方法提示：易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案.5.若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据导数的几何意义分析运算．解答过程：，则，设直线l与曲线C的切点，则直线l的斜率，由于直线斜率为，则，解得，所以，即切点为，故，解得．故选：C.6.已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：因为存在单调递减区间，所以在上有解，分离参数得，利用二次函数求最值得到的取值范围.解答过程：的定义域为，，令，得，因为在内存在单调递减区间，所以在上有解，所以，设，则的图象是开口向下的抛物线，所以，所以，的取值范围是，故选：C.7.已知随机事件A，B，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求.解答过程：因为，故，而，故，故，同理，故，故选：B.8.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.有极大值 B.有极小值C.有极大值 D.有极小值答案：A解析：解答过程：由图可知，当时，，而，则；当时，，而，则；当时，，而，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则有极大值，无极小值.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知离散型随机变量的分布列为：且，则（）A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：利用分布列的性质和期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可判断AB选项，可得出的分布列，利用方差公式可判断C选项，利用分布列的性质可判断D选项.解答过程：由分布列的性质和期望公式可得，解得，所以离散型随机变量的分布列为故，，BCD都对，A错.10.甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：利用事件概率判定A；设取黑球事件求出对应概率，借助条件概率公式分别算出两种情况下的条件概率，用全概率公式求得判断C；算出判定B；,最后由贝叶斯公式算出确定D正确.解答过程：对于选项A，由题意可知：，故选项A正确；对于选项C，因为表示事件“从甲罐取出的球是红球”，设表示事件“从甲罐取出的球是黑球”，可得，，当事件发生时，乙罐中有个红球，个黑球，故；当事件发生时，乙罐中有个红球，个黑球，故所以，故选项C错误；对于选项B，结合上述分析可得，，故选项B错误；对于选项D，结合选项C可得，，故选项D正确．11.[多选]某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，下列选项中正确的是（）A. B.C. D.前k天甲午餐总费用的数学期望为答案：ABD解析：思路：先根据题意找到递推式，即可判断B，由递推式可求出可判断A，由递推式可求出，从而判断C，根据期望公式，期望的性质以及，即可判断D．解答过程：若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第n天有的可能性选择米饭套餐，甲在第天选择了面食套餐，那么在第n天有的可能性选择米饭套餐，所以第n天选择米饭套餐的概率，故B正确；因为甲在第1天选择了米饭套餐，所以，所以，故A正确；由B选项得，，所以，又由题意得，，所以数列是以0.5为首项，为公比的等比数列，所以，所以，故C错误；前k天甲午餐总费用的数学期望为，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的导函数为，且满足，则______.答案：##解析：思路：对原函数求导，将代入求即可.解答过程：由题设，则.故答案为：13.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_______．（用数字作答）答案：24解析：解答过程：甲、乙排在一起，用捆绑法，先排甲、乙、戊，有种排法，丙、丁不排在一起，用插空法，有种排法，所以共有种．考点：排列组合公式.14.若随机变量，且，则_______．答案：解析：思路：根据正态分布的对称性可求代数式的值.解答过程：因为随机变量，可知正态分布曲线的对称轴是，所以正态分布的对称性可得，故，故答案为：.四、解答题：本题共3小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数是函数的一个极值点.（1）求函数的单调递增区间；（2）当，求函数的最小值.答案：（1）和；（2）.解析：思路：（1）由极值点求出参数，再代入，解不等式求递增区间（2）求在上的极值，与端点值比较得出最小值.解答过程：（1）由题意，则，当时，；当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为和（2）当时，的变化情况如下表x012＋0－0＋增函数极大值减函数极小值增函数当.当.所以当时，函数的最小值为.方法提示：用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；16.已知．（1）求；（2）若，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用赋值法分析求解即可；（2）利用二项展开式的通项公式以及组合数运算性质求解即可.（1）当时，，①当时，，②①②相加得：，所以.（2）由题意知分别为展开式中的系数，由的二项展开式的通项为：，所以由，即，所以，即，所以250−k=17.已知函数，曲线在处的切线斜率为2.（1）求的值；（2）求不等式的解集.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用导数的几何意义由可计算，由可计算；（2）利用导数求出的单调性，判断的奇偶性，利用奇偶性、单调性解不等式即可.（1），所以，由题意可得，所以，所以，所以.所以.（2）由（1）知，所以，所以在上单调递增，，所以为奇函数，，即，即，所以，即，即，解得，所以不等式的解集为.18.甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.答案：（1）分布列详见解析，；（2）解析：思路：（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．解答过程：（1）设乙答题所得分数为，则的可能取值为，0，15，30，；；；乙得分的分布列如下：X-1501530P（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件．则，，故甲乙两人至少有一人入选的概率．方法提示：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性.答案：（1）（2）答案见解析解析：思路：（1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程；（