2025-2026学年山东省淄博第五中学高二下册6月阶段检测数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（2024·安徽·三模）1.已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（）参考数据：若，则.A.13272 B.16372 C.16800 D.19518（2012·陕西宝鸡·一模）2.函数的图象大致是（）A. B.C. D.（2025·四川绵阳·模拟预测）3.在的展开式中，的系数为5，则a的值为（）A. B.1 C. D.2（2022·山东济宁·二模）4.为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点：x56.5788.5y98643若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为0的样本点是（）A. B. C. D.（15-16高二下·贵州铜仁·期末）5.将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有种A.12 B.36 C.72 D.108（2024·全国·模拟预测）6.已知为正项数列的前项和．若，且，则（）A.7 B.15 C.8 D.16（13-14高一下·黑龙江鹤岗·期末）7.已知为等比数列，，，则（）A.7 B.5 C.-5 D.-7（20-21高三上·安徽六安·阶段检测）8.已知函数，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（22-23高二下·贵州六盘水·期末）9.下列说法正确的有（）A.若变量关于的经验回归方程为且，，则B.若随机变量，则C.在回归模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好D.若随机变量的方差，则（2026·云南曲靖·一模）10.已知数列满足：，（），则下列说法正确的是（）A.B.数列是递减数列C.若，，成等差数列，则p，r，q也成等差数列D.数列为等差数列（24-25高二下·吉林长春·期末）11.函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（）A.当时， B.方程有3个不等实根C.函数有最大值 D.三、填空题（22-23高二下·北京丰台·期末）12.已知函数在区间上单调递增，则m的最大值为__________.（2026·四川广安·二模）13.记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列．则的通项公式为____________．（2025·天津和平·一模）14.袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________.四、解答题（2017·河北衡水·一模）15.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生等级优秀合格尚待改进频数155表2：女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：，其中.临界值表：（21-22高三上·北京·期末）16.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于任意的，有，求的取值范围.（2025·四川绵阳·一模）17.已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），.（1）求常数的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.（22-23高二下·福建莆田·期中）18.设等比数列{}的前n项和为，且（1）求数列{}的通项公式；（2）设数列{}的前2n项和为，求.（2025·山东泰安·模拟预测）19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数.（i）当时，求的最大值；（ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围.

数学一、单选题（2024·安徽·三模）1.已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（）参考数据：若，则.A.13272 B.16372 C.16800 D.19518答案：C解析：思路：由正态分布曲线的性质即可列式求解.解答过程：依题意，故所求人数为.故选：C.（2012·陕西宝鸡·一模）2.函数的图象大致是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：判断的奇偶性和在上的单调性，即可唯一确定正确选项.解答过程：设，则的定义域是，同时，故是奇函数，排除B选项；当时，，，所以当时，；当时，.故在上递增，在上递减，能够体现在上先递增后递减的图象只有D选项.故选：D.（2025·四川绵阳·模拟预测）3.在的展开式中，的系数为5，则a的值为（）A. B.1 C. D.2答案：B解析：思路：根据题意，可知通项为，令，可解问题.解答过程：因为的通项为，令，解得，则，解方程得：．故选：B．（2022·山东济宁·二模）4.为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点：x56.5788.5y98643若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为0的样本点是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出回归方程的样本中心点，从而可求得，再根据残差的定义可判断.解答过程：解：由题意可知，，，所以回归方程的样本中心点为，因此有，所以，在收集的5个样本点中，一点在上，故计算残差为0的样本点是.故选：C.（15-16高二下·贵州铜仁·期末）5.将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有种A.12 B.36 C.72 D.108答案：B解析：解答过程：试题分析：第一步从名实习教师中选出名组成一个复合元素，共有种，第二步把个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有,根据分步计数原理不同的分配方案有种，故选B．考点：计数原理的应用．（2024·全国·模拟预测）6.已知为正项数列的前项和．若，且，则（）A.7 B.15 C.8 D.16答案：B解析：思路：本题可通过题中的一般项与前项和的关系式，利用公式来推导和的关系，再通过构造法构造新数列并结合来得到的通项公式，算出结果.解答过程：因为，所以，即．因，所以，所以，所以数列是公比为2的等比数列，所以，则，所以，解得，所以，则．故选：B．（13-14高一下·黑龙江鹤岗·期末）7.已知为等比数列，，，则（）A.7 B.5 C.-5 D.-7答案：D解析：解答过程：为等比数列，，又解得或，所以或，所以，故选:D.（20-21高三上·安徽六安·阶段检测）8.已知函数，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：令，可知时，恒成立，对函数求导，并分类讨论求其单调性，使得函数的最小值，可求出的取值范围.解答过程：令，则时，恒成立，，令，若，在时，，且，此时函数单调递减，则，显然不符合题意；若，，令，解得，①当，即时，在时，，单调递增，即，则，即函数在单调递增，则成立，故时，符合题意；②当，即时，在时，单调递减，在时，单调递增.，则时，，，令，得，函数中，，即在上单调递减，则的值域为，因为，所以存在解，即，，故时，，时，，即，只需即可，则，解得，故符合题意.综上，当时，不等式恒成立.故选：D.方法提示：本题考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想的应用，考查学生的逻辑推理与计算求解能力，属于难题.二、多选题（22-23高二下·贵州六盘水·期末）9.下列说法正确的有（）A.若变量关于的经验回归方程为且，，则B.若随机变量，则C.在回归模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好D.若随机变量的方差，则答案：AC解析：思路：根据回归直线经过样本中心即可判断A，根据二项分布的期望公式即可判断B，根据决定系数的定义即可判断C，根据方差的性质即可判断D.解答过程：对于A,将，代入得，故A正确，对于B,,则，故B错误，对于C，在回归模型中，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，故C正确，对于D，,故D错误，故选：AC（2026·云南曲靖·一模）10.已知数列满足：，（），则下列说法正确的是（）A.B.数列是递减数列C.若，，成等差数列，则p，r，q也成等差数列D.数列为等差数列答案：ABD解析：思路：根据已知的递推关系，通过变形得到相邻两项的关系，进而判断数列的类型，再根据数列的性质逐一分析选项.解答过程：因为，则.两边同时取倒数得，即.所以数列是等差数列.故选项D正确.对于选项A，由选项D可知，数列是等差数列.所以，则，所以，且，所以，故A正确.对于选项B，因为，所以即对任意，，所以数列为递减数列，故B正确.对于选项C，若成等差数列，则有，即，化简得.当时，满足，但，即不成等差数列，故C不正确.（24-25高二下·吉林长春·期末）11.函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（）A.当时， B.方程有3个不等实根C.函数有最大值 D.答案：ABD解析：思路：运用奇函数的定义可得时的解析式，可判断A；令，求出所对应的方程的解，即可判断；利用导数判断函数的单调性求出函数的极值，即可判断；由的值域可判断．解答过程：对于A，函数为定义在上的奇函数，当时，，，故A正确；对于B，当时，，解得，时，，解得，又，所以有和0三个零点，故B正确；对于C，当时，，，当时，，递减，时，，递增，∴时，有极小值，时，，，，由是奇函数，∴时，有极大值，又，所以的值域是，故C错误；对于D，由C的讨论知，因此对任意的实数有，，∴，即，故D正确.故选：ABD.三、填空题（22-23高二下·北京丰台·期末）12.已知函数在区间上单调递增，则m的最大值为__________.答案：1解析：思路：求出函数的导数，令可求得函数的单调增区间，结合题意即可求得答案.解答过程：由于函数，故，令，等号仅在时取得,而，故，即在上单调递增，故函数在区间上单调递增，则m的最大值为1，故答案为：1（2026·四川广安·二模）13.记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列．则的通项公式为____________．答案：1解析：思路：由等差数列的通项公式求得，再根据与的关系即可求解．解答过程：因为，是公差为1的等差数列，所以，则①，当时，②，由①②得，，所以数列为常数列，．（2025·天津和平·一模）14.袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________.答案：①.②.解析：思路：第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望.解答过程：设“第一次取到黑球”为事件，“第二次取到白球”为事件.则

表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有种取法，第二次取白球有种取法，从个球中依次取个球的总取法有种，所以.

根据条件概率公式，可得.

随机取出个球，取出的球中白球的个数可能取值为，，.表示取出的个球都是黑球的概率，从个黑球中取个球的组合数为，从个球中取个球的组合数为，所以.

表示取出的个球中有个白球和个黑球的概率，从个白球中取个球的组合数为，从个黑球中取个球的组合数为，所以.

表示取出的个球中有个白球和个黑球的概率，从个白球中取个球的组合数为，从个黑球中取个球的组合数为，所以.

根据期望公式可得.

故答案为：；.四、解答题（2017·河北衡水·一模）15.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生等级优秀合格尚待改进频数155表2：女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：，其中.临界值表：答案：（1）；（2）没有的把握认为“测评结果优秀与性别有关”解析：思路：（1）利用抽样分层的定义求出、值，然后利用古典概型的概率公式求出概率即可；（2）根据题意填写2×2列联表，计算出的值，对照临界值表得出结论.解答过程：（1）从高一年级男生中抽出的人数为人，从高一年级女生中抽出的人数为人，则人，人，表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为，，，尚待改进的2人为，，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（b，B），（c，A）（c，B），共10种,设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（b，B），（c，A）（c，B），共6种．∴,（2）,男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．（21-22高三上·北京·期末）16.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于任意的，有，求的取值范围.答案：（1）（2）答案见解析（3）解析：思路：（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可；（2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间；（3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围.（1）由，知.所以当时，有，.故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.（2）当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减；当时，对有，故在上递增；当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减.综上，当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在和上递增，在上递减.（3）我们有.当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.故对任意，都有，满足条件；当时，由于，故.所以原结论对不成立，不满足条件.综上，的取值范围是.方法提示：关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果.（2025·四川绵阳·一模）17.已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），.（1）求常数的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1），（2）解析：思路：（1）设数列公比为，进而待定系数得再根据等比数列的通项公式求解即可得的通项公式；（2）结合（1）得，再根据分组求和与错位相减法求解即可.（1）解：因数列为等比数列（为常数），设公比为，所以，当时，，即，因为，时，，所以,解得所以，，又，，所以是等比数列，公比为，首项为，所以，即（2）解：由（1）知，令的前项和为，则，两式相减得：，所以所以数列的前项和.（22-23高二下·福建莆田·期中）18.设等比数列{}的前n项和为，且（1）求数列{}的通项公式；（2