2025-2026学年山西部分学校联考高二下册7月期末自测数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（）A.2 B. C. D.3.复数的共轭复数（）A. B. C. D.4.已知数列与均为等差数列，且，则（）A.14 B.7 C.10 D.55.已知直角三角形的两直角边的长分别为1和2，以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.6.甲､乙等5人排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（）A.120种 B.48种 C.24种 D.12种7.若函数，则关于的不等式的解集是（）A. B. C. D.8.已知，则（）A. B. C. D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组样本数据如下：，则该组数据的（）A.极差为10 B.平均数为6C.标准差为3 D.第80百分位数为7.510.已知点在圆上，点在圆上，则（）A.两圆只有一个公共点 B.圆与轴相切C.的取值范围为 D.面积的最大值为511.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（）A.C的离心率为B.C的焦点到其渐近线的距离为1C.若，则的面积为2D.若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若抛物线的焦点在直线上，则__________．13.已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________．14.已知数列满足，数列满足，，记集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为_________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.16.如图，正方体的棱长为分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.（1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望.（2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？18.已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．（1）求的方程；（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求的单调区间；（3）若存在，使得，求证：.

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，得.2.设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：根据平面向量共线定理计算即可.解答过程：由共线向量定理可知存在实数，使得，即，又与是不共线向量，所以解得.故选：B．3.复数的共轭复数（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：依题意，，所以.4.已知数列与均为等差数列，且，则（）A.14 B.7 C.10 D.5答案：B解析：解答过程：因为，所以，即，又数列与均为等差数列，所以，解得.故选：B.5.已知直角三角形的两直角边的长分别为1和2，以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：确定沿斜边旋转一周，为同底的两个圆锥，再由圆锥的体积公式即可求解.解答过程：如图，设直角三角形的两直角边，沿斜边旋转一周，旋转形成的几何体如图所示，因为，所以，则圆面积，.6.甲､乙等5人排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（）A.120种 B.48种 C.24种 D.12种答案：C解析：思路：将甲､乙捆绑在一起看作一个元素，根据排列组合知识计算即可.解答过程：甲､乙相邻，将甲､乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法，甲､乙相邻且在两端有种排法，故甲､乙相邻且都不站在两端的排法有（种）.7.若函数，则关于的不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：通过奇偶性和单调性去函数符号转化为一元二次不等式进行求解.解答过程：由，解得，，又在上均为减函数，所以在定义域上是减函数，又，所以是奇函数，于是不等式可化为，所以，解得.8.已知，则（）A. B. C. D.2答案：A解析：解答过程：因由，可得，即，由题意可知，两边同除以，得，又因，则，故.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组样本数据如下：，则该组数据的（）A.极差为10 B.平均数为6C.标准差为3 D.第80百分位数为7.5答案：ABC解析：解答过程：极差为，故A正确；平均数为，故B正确；标准差为，故C正确；因为，所以第80百分位数为8，故D错误.故选：ABC.10.已知点在圆上，点在圆上，则（）A.两圆只有一个公共点 B.圆与轴相切C.的取值范围为 D.面积的最大值为5答案：BD解析：思路：由方程可知各圆圆心和半径，对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值．解答过程：由题知圆的圆心，半径，圆可化为16，故圆的圆心，半径，则，所以两圆相交，故A错误；因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确；由圆的性质可得，且，所以的取值范围为，故C错误；由圆的性质可知点到直线的距离最大值为，所以面积的最大值为，故D正确；11.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（）A.C的离心率为B.C的焦点到其渐近线的距离为1C.若，则的面积为2D.若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则答案：ABD解析：思路：根据方程和焦距可得.对于A：根据离心率的定义运算求解；对于B：根据点到直线的距离公式运算求解；对于C：根据双曲线的定义结合勾股定理可得，即可得面积；对于D：求点M的坐标，根据双曲线的定义结合图形性质分析求解.解答过程：由双曲线的方程可知，且焦点在x轴上，因为，即，则，可得点，，渐近线为，即.对于选项A：双曲线C的离心率为，故A正确；对于选项B：双曲线C的焦点到其渐近线的距离，故B正确；对于选项C：因为，若，则，可得，即，可得，所以的面积为，故C错误；对于选项D：可知渐近线，直线，联立方程，解得，即，因为，即，则，当且仅当点Q在线段上时，等号成立，所以，故D正确；故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若抛物线的焦点在直线上，则__________．答案：2解析：解答过程：由题知，抛物线的焦点为，代入得，解得．13.已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________．答案：解析：解答过程：由图知函数的单调递减区间为和，单调递增区间为，所以时，；时，；由，得或，所以．14.已知数列满足，数列满足，，记集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为_________.答案：解析：思路：根据递推关系数列是首项为，公比为的等比数列，可求出，根据等差数列的通项公式可得,结合集合的定义即可求解.解答过程：由，得，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以.因为数列满足，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.因为集合中有3个元素，且，所以当时，；当时，，即，且，所以满足条件时.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.答案：（1）（2）解析：（1）由及正弦定理可得，所以，又，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，有，即，又，联立解得，或（舍去），所以.16.如图，正方体的棱长为分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明：取的中点为，连接.因为分别是的中点，所以.在正方体中，，又为的中点，所以，四边形是平行四边形，.又平面平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）取棱的中点，使目标直线与平面

内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线

的方向向量和平面

的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果．（1）略．（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为分别为的中点，所以所以，设是平面的法向量，则，即，令，则，所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．17.一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.（1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望.（2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？答案：（1）分布列见解析，（2），解析：思路：（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可；（2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可.（1）对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为，由题意可知，的可能取值有，且，则，，，，则的分布列如下：则数学期望为；（2）由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为，由，得，因为为正整数，所以，则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为.18.已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．（1）求的方程；（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．答案：（1）（2）（3）或解析：思路：（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程；（2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程；（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可.（1）设的半焦距为，由题意可知：，且，即，因为，即，解得，所以椭圆的方程为．（2）设，由题意可知，则，因为，则，可得，又因为在椭圆上，即，可得，化简得，所以点的轨迹方程为．（3）由题意可知过点的直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交，设直线的方程为，，联立方程，消去x得，则，因为与椭圆的另一交点为，可知关于原点对称，即为中点，则，即，可得，化简得，整理可得，因为，则，解得，所以直线的方程为，即或．19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求的单调区间；（3）若存在，使得，求证：.答案：（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为；（3）证明见解析.解析：思路：（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出函数，利用导数求出单调区间.（3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式.（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）依题意，的定义