2025-2026学年山西省太原市高二下册7月期末学业诊断数学试卷（含解析）

/数学（考试时间：上午8:00—10:00）满分150分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.在统计中，属于连续型随机变量分布的是（）A.两点分布 B.二项分布 C.超几何分布 D.正态分布2.已知离散型随机变量，则（）A.7 B.3 C.2.1 D.0.73.以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（）A. B. C. D.4.已知随机变量的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（）A.， B.，C.， D.，5.已知随机变量满足，，，若，则（）A. B. C. D.6.甲、乙、丙、丁等8人分成，两技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一小组，丙、丁不在同一小组，共有不同分配方案的种数为（）A.12 B.16 C.24 D.367.对某试验的一个数学量做次测量，并以测量结果的平均值作为该试验此数学量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于，则该试验至少需要测量的次数为（）（附：若，则）A.8 B. C. D.8.已知甲袋中有2个黑球、2个红球，乙袋中有2个红球、1个黑球和1个白球，每个球大小形状都完全相同．现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机摸出一个球．游戏中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也中奖；若摸出两个红球和1个白球，则不中奖；其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中奖的概率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B.独立性检验是对两个分类变量之间的关联性进行统计推断，这种推断基于小概率原理，它与反证法有所不同C.在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好D.在回归分析中，决定系数越小，模型的拟合效果越好10.将不同年级的3本数学书和3本不同的物理书排列在同一层书架上，则下列结论正确的是（）A.若3本数学书都相邻，则不同排列的方法种数为24B.若3本数学书都不相邻，则不同排列的方法种数为144C.若3本数学书按年级从小到大顺序排列，则不同排列的方法种数为120D.若将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书，则不同排列的方法种数为3611.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和．例如正整数．设方程的解集为，其中均为自然数，则下列结论正确的是（）A.B.中存在全不相等的元素C.中存在满足的元素D.中元素的个数为54三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则_________．13.已知变量，之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则_________．14.已知袋子装有标号分别为，，，，，的6个小球（仅标号不同），从中有放回地随机抽取3次，每次抽取1个球．记为3次取球试验中，这6个小球至少被取出1次的球的个数，则的数学期望_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？16.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．17.2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五．端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节．为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下列联表：年龄不了解了解合计30岁以下25154050岁以上204060合计4555100（1）依据小概率值的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？（2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道．规定每次甲、乙都从备选试题中各随机抽出3道试题进行回答，答对一题得5分，答错一题得0分．①求甲答对试题数的分布列；②乙答题得分的数学期望．附：；0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率．运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景与场景进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景下命中率为，在场景下命中率为．训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景下射击．（1）求小明在前3次射击得到1分的概率；（2）若小明在前3次射击得到2分，求这2分均在场景下获得的概率；（3）求小明第n次在场景下射击的概率．19.某人工智能科技公司对其产品研发年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1123450.511.52.54.5（1）求年销售量关于年投资额的线性经验回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：1234500.40.91.5（3）请根据表3的数据，用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果．表3：2345的近似值2.94.98.414.2参考公式：，；参考数据：，．

数学（考试时间：上午8:00—10:00）满分150分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.在统计中，属于连续型随机变量分布的是（）A.两点分布 B.二项分布 C.超几何分布 D.正态分布答案：D解析：解答过程：根据连续型随机变量的定义知，正态分布是连续型随机变量分布.2.已知离散型随机变量，则（）A.7 B.3 C.2.1 D.0.7答案：B解析：解答过程：因为，所以，.由二项分布的数学期望公式，得.3.以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据散点图及相关系数的概念判断即可；解答过程：解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，，又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以；故选：A4.已知随机变量的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：解答过程：因为，所以.又因为随机变量平移不改变方差，所以.5.已知随机变量满足，，，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：应用数学期望得出，再应用方差公式计算求解.解答过程：随机变量满足，，，若，则，则.6.甲、乙、丙、丁等8人分成，两技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一小组，丙、丁不在同一小组，共有不同分配方案的种数为（）A.12 B.16 C.24 D.36答案：B解析：思路：由题意应用分步乘法计数原理计算求解.解答过程：先安排甲乙去其中任意一组，有2种，由于丙丁不能同组，从丙丁2人中选1人与甲乙同组，另一人去另一组，有2种，剩余4人选1人加入甲乙一组，另外3人去另一组，有4种，故不同的分配方案有种．7.对某试验的一个数学量做次测量，并以测量结果的平均值作为该试验此数学量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于，则该试验至少需要测量的次数为（）（附：若，则）A.8 B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知，则，由题意知，即，解得．8.已知甲袋中有2个黑球、2个红球，乙袋中有2个红球、1个黑球和1个白球，每个球大小形状都完全相同．现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机摸出一个球．游戏中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也中奖；若摸出两个红球和1个白球，则不中奖；其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中奖的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：结合古典概型概率公式讨论出摸到不同球的概率，最后求解总概率即可.解答过程：从甲袋中随机摸出两个球，共有种情况，从甲袋中摸出两个红球的情况数为种，则摸出两个红球的概率为，而从甲袋中摸出一黑一红的情况数为种，可得摸出一黑一红的概率为，而从甲袋中摸出两个黑球的情况数为种，可得摸出两个黑球的概率为，由题意得从乙袋中随机摸出一个球，共有4种情况，从乙中摸出一个红球的概率为，摸出一个黑球的概率为，摸出一个白球的概率为，后面依据中奖规则讨论中奖的情况数，当从甲袋中摸出两个红球，从乙袋中摸出一个黑球，此时概率为，当从甲袋中摸出一黑一红，从乙袋中摸出一个红球，此时概率为，当从甲袋中摸出两个黑球，从乙袋中摸出一个白球，此时概率为，当从甲袋摸出一个红球和一个黑球，从乙袋中摸出一个白球，此时概率为，综上可得中奖的概率为，故D正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B.独立性检验是对两个分类变量之间的关联性进行统计推断，这种推断基于小概率原理，它与反证法有所不同C.在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好D.在回归分析中，决定系数越小，模型的拟合效果越好答案：BC解析：解答过程：独立性检验是基于小概率原理进行的推断，结果可能犯错误，故A错误；独立性检验用于推断两个分类变量是否关联，依据小概率原理，与反证法相似，但反证法结论是确定的，即与反证法有所不同，故B表述正确；残差平方和反映的是实际值与估计值间的差异，值越小，说明拟合效果越好，故C正确；决定系数越接近1，模型的拟合效果越好；决定系数越小，拟合效果越差，故D错误．10.将不同年级的3本数学书和3本不同的物理书排列在同一层书架上，则下列结论正确的是（）A.若3本数学书都相邻，则不同排列的方法种数为24B.若3本数学书都不相邻，则不同排列的方法种数为144C.若3本数学书按年级从小到大顺序排列，则不同排列的方法种数为120D.若将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书，则不同排列的方法种数为36答案：BCD解析：思路：根据题意，利用捆绑法、插空法，以及元素定序法等，结合选项，逐项求解，即可得到答案.解答过程：对于A，把3本数学书看成一个整体，则有种排法，所以A错误；对于B，先排3本不同的物理书，再在4个空隙中插入3本不同的数学书，则有种不同的排法，所以B正确；对于C，先对6本书进行全排列，有种不同的排法，因为3本数学书按年级从小到大顺序排列，则有种排法，所以C正确；对于D，将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书，可先分数学书，再分物理书，则有种不同的排法，所以D正确.11.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和．例如正整数．设方程的解集为，其中均为自然数，则下列结论正确的是（）A.B.中存在全不相等的元素C.中存在满足的元素D.中元素的个数为54答案：ACD解析：思路：对于A，直接计算可知满足条件；对于C，直接给出一组构造验证即可；对于BD，考虑中最大的数，分类列出所有的可能即可判断．解答过程：对于A，，故A正确；对于C，由于，且，故C正确；对于BD，均为不超过7的自然数，下面分情况讨论，最大数为7的情况：，此时共有个有序数组；最大数为6的情况：，此时共有个有序数组；最大数为5的情况：，此时共有个有序数组；最大数为4的情况：由于，故至少有3个4，而不是完全平方数，因此不满足题意；若最大数小于等于3，由于，故均不满足题意，由上可知，不存在全不相等的可能，且满足条件的有序数组的总数是，故B错误，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则_________．答案：2或5解析：解答过程：由组合数的对称性可知，或．13.已知变量，之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则_________．答案：2解析：思路：利用已知条件求出样本中心点坐标，再代入回归方程即可.解答过程：，，所以，得.14.已知袋子装有标号分别为，，，，，的6个小球（仅标号不同），从中有放回地随机抽取3次，每次抽取1个球．记为3次取球试验中，这6个小球至少被取出1次的球的个数，则的数学期望_________．答案：##解析：思路：根据题意，得到每个球被取到的概率均为，且，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解.解答过程：由题意知，有放回地随机抽取3次，每次抽取1个球，可得每个球被取到的概率均为，又由为3次取球试验中，至少被取出1次的球的个数，可得，可得，，,所以数学期望.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？答案：（1）60；（2）91种；（3）120种.解析：解答过程：试题分析：（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；

（2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；

（3）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案．试题解析：(1)；(2)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：(种)；方法2：(直接法)甲在内乙不在内有种，乙在内甲不在内有种，甲、乙都在内有种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：(种).(3)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：(种)；方法2：(直接法)分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：(种).点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．16.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）（2）364（3）解析：思路：（1）直接利用二项式定理求出项的系数即可得到的值；（2）分别令，，两式相加即可得到的值；（3）分别令，，两式相减即可得到的值．（1）由题意得，的展开式的通项是，，当时，；当时，；故．（2）令，则，即，①令，则，即，②①+②可得．（3）令，则，③令，则，④③-④可得．17.2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五．端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节．为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下列联表：年龄不了解了解合计30岁以下25154050岁以上204060合计4555100（1）依据小概率值的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？（2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道．规定每次甲、乙都从备选试题中各随机抽出3道试题进行回答，答对一题得5分，答错一题得0分．①求甲答对试题数的分布列；②乙答题得分的数学期望．附：；0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）可以认为对“端午节”民俗了解程度存在年龄差异.（2）①的分布列为0123②12解析：思路：（1）先作零假设，再计算，根据所给参考数据得解；（2）①分别计算随机变量对应的概率，得出分布列；②求出分布列根据期望公式求解.（1）零假设为：受调居民中对“端午节”民俗的了解程度不存在年龄差异，，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为受调居民中对“端午节”民俗的了解程度存在年龄差异，此推断犯错误的概率不超过0.01．（2）①由题意得的可能取值为，，，，，，，，用表格表示的分布列为0123②由题意得的可能取值为，，，，，，用表格表示的分布列为51015．18.男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率．运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景与场景进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景下命中率为，在场景下命中率为．训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且