2025-2026学年山西省现代双语学校联考高二下册6月月考数学试卷（含解析）

/数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分试题个数：共19题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.函数的单调递增区间是A. B.C. D.3.若函数是奇函数，则a的值为（）A.2 B. C. D.14.已知，使a>bA. B.C. D.5.已知f(x)是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.126.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种7.已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.8.为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：发病未发病合计使用药物104050未使用药物302050合计4060100从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的优势，在B发生的条件下A的优势，则（）A.可化简为，估计其值为 B.可化简为，估计其值为C.可化简为，估计其值为 D.可化简为，估计其值为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.已知集合，且，则实数m为或3B.当时，的最小值是C.不等式解集为或D.命题“”的否定是10.下列说法正确的有（）A.已知事件A，B，若，且，，则B.随机变量X服从正态分布，，若，则C.已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为D.有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则11.已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（）A.点M在双曲线C上B.当P在圆T上时，的面积为8C.点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3D.双曲线C上存在定点Q，使得直线PM和PQ的斜率之积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，的系数为_________．13.某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________.14.已知函数的值域为，则a的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知椭圆的离心率为22，长轴长为4．（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于两点，O为坐标原点.若的面积为，求．16.设.（1）若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式.17.已知为等差数列，，记，Tn分别为数列，的前n项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．18.如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为12．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．（1）求AI智能客服的回答被采纳的概率；（2）在某次测试中输入了3个问题，设X表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列及期望、方差；（3）公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由．19.已知函数.（1）当时，求的图象在x=1处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）当时，求证：.

数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分试题个数：共19题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．解答过程：方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有−2使不等式成立，所以．故选：C．2.函数的单调递增区间是A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.简称为“同增异减”.3.若函数是奇函数，则a的值为（）A.2 B. C. D.1答案：D解析：思路：根据奇函数的定义，结合函数表达式建立方程求解a的值.解答过程：是奇函数，为偶函数，为奇函数，.故选：D.4.已知，使成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解.解答过程：对于A，若，由不等式的性质，可得成立，即充分性成立；反之：若，则成立，即必要性成立，所以是的充要条件，所以A不符合题意；对于B，若，当时，可得；当时，可得，即充分性不成立；反之：若，当时，可得；当时，可得，即必要性不成立；所以是的既不充分也不必要条件，所以B不符合题意；对于C，例如：当时，满足，此时，所以C不符合题意；对于D，若，则，所以，可得，所以充分性成立；反之：若，当时，可得，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，所以D符合题意.5.已知f(x)是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（）A.−12 B. C.14 答案：A解析：思路：根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.解答过程：由题知对一切成立，于是.故选：A6.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种答案：B解析：思路：利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解解答过程：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B7.已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：构造函数，由题意可知函数在上单调递增，列不等式求解即可.解答过程：因为对于任意的，且，都有成立，不等式两边同时除以，可得，移项有，构造函数，则，所以函数在上单调递增，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C.8.为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：发病未发病合计使用药物104050未使用药物302050合计4060100从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的优势，在B发生的条件下A的优势，则（）A.可化简为，估计其值为 B.可化简为，估计其值为C.可化简为，估计其值为13 D.可化简为，估计其值为13答案：A解析：思路：利用条件概率公式化简.@@@PG解答过程：1.化简.已知，则，由条件概率公式，所以，2.根据列联表计算概率由列联表可知，，所以故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.已知集合，且，则实数m为0或B.当时，的最小值是C.不等式解集为或D.命题“”的否定是答案：ACD解析：解答过程：对选项A：∵，∴m=2或，解得m=2或或.根据集合元素的互异性，若，则，元素重复，舍去；若m=2，则，元素重复，舍去；若，则，满足互异性，故，选项A错误.对选项B：∵，∴，则，当且仅当，即x=3时等号成立，故的最小值为，选项B正确.对选项C：不等式等价于，解得或，选项C中将x=1纳入解集，忽略分母不为0的要求，错误.对选项D：全称命题的否定为特称命题，仅否定结论，不改变量词的限定范围，故命题“”的否定为“”，选项D中错误修改了限定范围为，错误.10.下列说法正确的有（）A.已知事件A，B，若，且，，则B.随机变量X服从正态分布，，若，则C.已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为D.有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则答案：ACD解析：解答过程：对于A，∵，∴，∴，则，故A正确；对于B，随机变量服从正态分布，，若，则，根据正态分布对称性可知，故B错误；对于C，当x=3时，，由残差等于实际值减去预测值，即样本点的残差为，C正确；对于D，由题意知X服从超几何分布，总数，白球数，抽取数，根据超几何分布期望公式计算可得，,选项D正确.11.已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（）A.点M在双曲线C上B.当P在圆T上时，的面积为8C.点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3D.双曲线C上存在定点Q，使得直线PM和PQ的斜率之积为定值答案：ABD解析：思路：根据题意，求出双曲线方程，将点M代入方程验证A选项；联立求出P点的横坐标值，根据三角形面积公式求解验证B选项；求出双曲线渐近线，利用点到直线距离验证C选项；利用点差法验证D选项.解答过程：由题知双曲线的焦点在轴，故，焦点坐标为，因为圆过焦点，代入得，即，解得，因此双曲线C的方程为：.对于A：点代入双曲线方程得左边右边，因此M在双曲线C上，故A正确；对于B：联立，消去得，故P横坐标可以为

，中，，高为，面积

，故B正确.对于C：双曲线渐近线为，设，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为，因为P在双曲线上，故满足，即，点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下，为，故C错误；对于D：设是位于双曲线上，关于原点对称，且异于P的两个点，则，又①，②，由①②得到，得到，所以，综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称，且异于P的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值，故当点Q坐标为时，直线PM和PQ的斜率之积为定值，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，的系数为_________．答案：解析：思路：由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.解答过程：展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.故答案为：60.13.某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________.答案：28解析：解答过程：若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口.①两个路口为人分配，共有种安排方案.②两个路口为人分配，共有种安排方案，此时共有种安排方案.同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有种安排方案.所以共有种不同的安排方案.14.已知函数的值域为，则a的取值范围是______.答案：解析：思路：先求得时的值域为，结合函数值域为的条件，将问题转化为时的值域需包含.对对应的函数求导，根据导数与单调性的关系对a的取值分类讨论，结合值域包含关系列不等式求解，最终取并集得到a的取值范围.解答过程：当时，函数在上单调递增，函数值集合为，由函数f(x)的值域为，得函数在上的值域包含，当时，函数，求导得，而，当时，，函数f(x)在上单调递增，函数值集合为，而恒成立，则；当时，由，得；由，得，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，，函数值集合为，于是，解得，则，所以a的取值范围是.方法提示：方法点睛：处理分段函数值域为的问题时，先求解单调性明确的分段对应的值域，将问题转化为另一分段的值域需覆盖剩余区间，再结合导数分析函数单调性与最值，分类讨论求解参数范围，最终汇总各分类的结果得到答案.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知椭圆的离心率为22，长轴长为4．（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于两点，O为坐标原点.若的面积为，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；（2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数t表示面积后可求t的值，从而可求弦长.（1）因为长轴长为4，故，而离心率为22，故，故，故椭圆方程为：.（2）由题设直线AB的斜率不为0，故设直线，，由可得，故即，且，故，解得，故.16.设.（1）若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式.答案：（1）（2）答案见解析解析：思路：（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求；（2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求.（1）不等式对于一切实数x恒成立等价于对于一切实数x恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意；当时，，解得；综上，实数a的取值范围为.（2）不等式等价于，即，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式的解集为.综上可得：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为.17.已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．答案：（1）；（2）证明：方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.解析：思路：（1）设等差数列的公差为d，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.（1）设等差数列的公差为d，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）略18.如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为12．已知输入的问题表达不清晰的概率为15（1）求AI智能客服的回答被采纳的概率；（2）在某次测试中输入了3个问题，设X表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列及期望、方差；（3）公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由．答案