2025-2026学年山西省阳泉市第二中学校等校高一下册5月期中考试数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B.0 C. D.2.已知向量与的夹角为，则等于（）A. B. C. D.23.复数的共轭复数为（

）A. B. C. D.4.在中，若，则B为（）A. B.或 C. D.或5.已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（）A. B. C. D.6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.7.在中，内角所对的边分别为，已知，，则A. B. C. D.8.如图，在中，，点是的中点．设，，则（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（）A.复数的虚部等于 B.C. D.若是实数，是纯虚数，则10.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则与的夹角为11.在中，若，则的形状可能为（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.钝角三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为__________．13.已知，，，则向量在方向上的投影向量为________.14.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为，则其外接球的表面积是______．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知，，与的夹角是．（1）计算；（2）当为何值时，？16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（1）求角A；（2）若，，求边c及的面积；17.如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面平面.18.在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角B的值；（2）若，判断的形状；（3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.19.如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：（1）正四棱锥的表面积；（2）侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．

数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B.0 C. D.答案：D解析：思路：利用向量加减法法则求解即得.解答过程：.故选：D2.已知向量与的夹角为，则等于（）A. B. C. D.2答案：B解析：思路：根据数量积公式代入计算即可.解答过程：因为向量与的夹角为，所以.故选：B.3.复数的共轭复数为（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先利用复数的除法法则得到，根据共轭复数的概念得到答案.解答过程：，所以共轭复数为.故选：A.4.在中，若，则B为（）A. B.或 C. D.或答案：B解析：思路：利用正弦定理求角的大小.解答过程：由，又且，所以或.故选：B5.已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆柱体积公式求出圆柱的高，再代入侧面积公式求解即可.解答过程：设圆柱的高为h，，解得，.故选：D6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设该圆锥底面圆的半径为，则，解得，所以该圆锥的高为，所以该圆锥的体积为.7.在中，内角所对的边分别为，已知，，则A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由正弦定理得选B.8.如图，在中，，点是的中点．设，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据向量的线性运算即可求得答案.解答过程：由题意在中，，点是的中点，故，故选：A二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（）A.复数的虚部等于 B.C. D.若是实数，是纯虚数，则答案：CD解析：思路：先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解.解答过程：由题意，复数，对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误；对于B项：，故B错误；对于C项：，故C正确；对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确．故选：CD.10.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则与的夹角为答案：BC解析：思路：根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D.解答过程：选项A，若，则，解得，故A项错误；选项B，若，则，解得，则，故B项正确；选项C，若，则，所以，故C项正确；选项D，，则，，，所以，所以与的夹角不是，故D项错误，故选：BC11.在中，若，则的形状可能为（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.钝角三角形答案：AC解析：思路：利用正弦定理及余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状.解答过程：法一：由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为，整理得：，或，故三角形为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理，原等式可化为，，，又，，或，或，故为等腰三角形或直角三角形．故选：AC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为__________．答案：解析：思路：设母线为，高为，由侧面积公式求出，即可求出，再由圆台的体积公式计算可得.解答过程：因为圆台的上底面半径，下底面的半径，其侧面积为，设母线为，高为，所以，即，解得，所以，所以该圆台的体积.故答案为：13.已知，，，则向量在方向上的投影向量为________.答案：解析：解答过程：因为，，，所以，则向量在方向上的投影向量为.14.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为，则其外接球的表面积是______．答案：解析：思路：可把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，得到三棱锥的外接球与该长方体的外接球是同一个球，设外接球的半径为，结合长方体的性质，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.解答过程：如图所示，可把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则三棱锥的外接球与该长方体的外接球是同一个球，设外接球的半径为，因为长方体的对角线长为，可得，即，所以外接球的表面积为.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知，，与的夹角是．（1）计算；（2）当为何值时，？答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用向量的数量积求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程求出的值．（1）解：由已知，所以．（2）解：若，则，，则，．16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（1）求角A；（2）若，，求边c及的面积；答案：（1）（2）3；解析：思路：（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；（2）利用余弦定理可得，结合面积公式运算求解.（1）因为，由正弦定理得，且，则，可得，则，又因为，所以．（2）由余弦定理得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面积．17.如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面平面.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行.（2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行.（1）如图：连接BD，设，连接OM，∵在正方体中，四边形是正方形，是中点，是的中点，，平面，平面，平面.（2）如图：连接，NB，为的中点，为的中点，，又，∴四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面由（1）知平面，，平面，平面，∴平面平面.18.在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角B的值；（2）若，判断的形状；（3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.答案：（1）60°；（2）等边三角形；（3）.解析：思路：（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围.（1）∵，∴由正弦定理得，即，即，即，由余弦定理得，∵，∴；（2）∵∴，∴，∴，∴为等边三角形.（3）因为,由正弦定理,得所以因为为锐角三角形,则,从而,所以.19.如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：（1）正四棱锥的表面积；（2）侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．答案：（1）；