2025-2026学年陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学高一下册期中质量检测数学试卷（含解析）

/数学满分:150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则的共轭复数的虚部为（

）A.1 B. C. D.2.已知，，若，则实数的值为（）A.2 B. C.-2 D.±23.如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（）A.4 B.6 C. D.84.在空间中，若直线平面，直线平面，则与（）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（）A. B. C.或 D.或6.在中，已知，，那么（）A.8 B. C.12 D.7.如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.300m B.600m C. D.8.若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（）A.4π B.π C.2π D.π二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分.）9.已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，，则C.若，，且，则D.若，，且，则10.在中，下列说法正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若G是的重心，则C.若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为D.已知，，则的最大值为1011.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）．A.该三棱台的体积为B.该三棱台的表面积为C.若点在棱上，则的最小值为D.该三棱台内半径最大球的体积为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，，且，则______.13.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为______．14.在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______.四、解答题（本题共5小题，共77分．第15题13分，第16，17题各15分，其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知复数，（为虚数单位）.（1）当时，求；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.16.已知向量.（1）求与;（2）求与的夹角的余弦值.17.在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；（3）若是的角平分线，，，求的长.18.如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等．（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积．19.由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.

数学满分:150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则的共轭复数的虚部为（

）A.1 B. C. D.答案：A解析：解答过程：，；，即的共轭复数的虚部为1.2.已知，，若，则实数的值为（）A.2 B. C.-2 D.±2答案：C解析：思路：根据平面平行向量的坐标表示建立方程，解之即可求解.解答过程：因为，所以，解得.故选：C3.如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（）A.4 B.6 C. D.8答案：D解析：思路：将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算．解答过程：将直观图还原为平面图形，如图所示.＝，，所以，所以原图形的周长为8cm，故选：D.4.在空间中，若直线平面，直线平面，则与（）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线答案：D解析：解答过程：由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交，则与可能平行，也可能是异面直线.5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（）A. B. C.或 D.或答案：A解析：思路：根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到，即可求解.解答过程：因为，，，由正弦定理，可得，因为，可得，所以.6.在中，已知，，那么（）A.8 B. C.12 D.答案：D解析：解答过程：由题意可得，，所以是等腰直角三角形，所以，所以.7.如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.300m B.600m C. D.答案：D解析：思路：在、中利用锐角三角函数求出、，在中利用余弦定理计算可得.解答过程：在中，，在中，，在中，．故选：D.8.若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（）A.4π B.π C.2π D.π答案：D解析：思路：设球的半径为，求出的值，再求出截面圆的半径即得解.解答过程：设球的半径为，因为球的表面积为，所以，解之得；因为截面与球心距离为；所以截面圆的半径；可得截面圆面积为.故选：D方法提示：本题主要考查球的截面圆的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分.）9.已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，，则C.若，，且，则D.若，，且，则答案：BD解析：思路：根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得答案.解答过程：对于A，若，，则或与异面，故A不正确；对于B，根据面面垂直的性质定理可知，B正确；对于C，若，，且，则或与相交，故C不正确；对于D，若，，则，过作平面，使得，因为，所以，所以，因为，所以.故D正确.故选：BD10.在中，下列说法正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若G是的重心，则C.若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为D.已知，，则的最大值为10答案：BCD解析：思路：根据向量的夹角判断一个三角形内角为锐角判断A，根据重心的性质及中线的向量表示判断B，根据向量在向量上的投影向量的计算判断C，根据数量积的定义及运算性质判断D.解答过程：对A，由可知的外角为钝角，所以为锐角，故不能判断三角形为钝角三角形，故A错误；对B，由G是的重心，可知，故B正确；对C，因为，，与的夹角为，所以在方向上的投影向量为，故C正确；对D，因为，当，即同向时等号成立，故D正确.故选：BCD11.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）．A.该三棱台的体积为B.该三棱台的表面积为C.若点在棱上，则的最小值为D.该三棱台内半径最大球的体积为答案：ABC解析：思路：取上、下底面的中心，，连接，，，再结合几何可得高，再利用台体体积公式即可对A求解判断；利用几何知识求出每个侧面的面积，即可对B判断求解；把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，从而可得的最小值为，即可C求解判断；体积为的球的半径为，该球的直径即可对D判断求解.解答过程：对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，，连接，，，则，，高．三棱台的体积，所以A正确；对B，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为，在中，，所以等腰梯形的面积为，上下底面面积分别为：，，所以，所以B正确；对C，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，由B知，，，而边的中点到点的距离，因此当点为线段与的交点时，的最小值为，所以C正确；对D，设体积为的球的半径为，则，解得，该球的直径，则此球不可能在正三棱台内，所以D错误．故选:ABC．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，，且，则______.答案：解析：解答过程：由.所以.13.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为______．答案：##解析：思路：利用圆台的侧面积公式即可求解.解答过程：根据题意可知：圆台的侧面积为.故答案为：.14.在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______.答案：解析：思路：根据题意，可得平面，将三棱锥补全成长方体，进而可求外接球半径，代入球的体积公式求解即可.解答过程：根据题意，底面ABC，平面ABC，所以，又，平面，所以平面，将三棱锥补全成长方体，如图，则此三棱锥的外接球的半径为，其三棱锥外接球的体积为.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分．第15题13分，第16，17题各15分，其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知复数，（为虚数单位）.（1）当时，求；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：（1）当时，，故，所以.（2）因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得，所以的取值范围为.16.已知向量.（1）求与;（2）求与的夹角的余弦值.答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据数量积的坐标公式及模的坐标公式计算即可；（2）根据向量夹角的坐标公式计算即可.（1）由，得，而，则；（2），即与的夹角的余弦值为.17.在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；（3）若是的角平分线，，，求的长.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得；（2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可；（3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可.（1）解：因为，由正弦定理可得，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故；（2）解：因为是边上靠近的三等分点，所以，所以，又因为，，，所以，化简得，即，解得或（舍去），所以；（3）解：已知平分，且，故，由得；将，代入得，解得∵∴18.如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等．（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积．答案：（1）（2）2解析：思路：（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果；（2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果.（1）设底面圆的直径为，则其高也为；由题可知，圆柱的体积，解得，因此圆柱的侧面积为；（2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此