2025-2026学年四川省泸州市合江县部分学校高二下册5月阶段检测数学试卷（含解析）

/数学（考试时间：150分钟；试卷满分：120分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知函数在处的导数为2，则（）A.0 B. C.1 D.22.曲线在点处的切线的方程为A. B. C. D.3.已知数列满足，则等于（）A.6 B.11 C.22 D.434.在等差数列，中，，其前项和为，若，则（）A.12 B.18 C.30 D.365.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【】A. B.1 C.2 D.46.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.设（e为自然对数的底数），则（）A. B. C. D.8.已知函数，，若，则的取值范围为（）A. B.C D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在区间单调递增B.函数在区间单调递减C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值10.已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（）A. B.数列是递增数列C. D.有最大值为11.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，则______.13.设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.14.已知曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为__________．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列前项和为，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列满足，求的前项和．16.已知函数．（1）求的单调区间及极小值点；（2）若有极大值3，并且函数在上有最大值3，求实数取值范围；17.如图，在四面体中，面ABC，.（1）求证：面面PBC；（2）若，于D，求平面和平面夹角的余弦值.18.已知函数，．（1）讨论函数单调性；（2）若恒成立，求实数a值．19.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围.

数学（考试时间：150分钟；试卷满分：120分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知函数在处的导数为2，则（）A.0 B. C.1 D.2答案：C解析：思路：直接由导数的概念求解即可.解答过程：.故选：C.2.曲线在点处的切线的方程为A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出导数，求得切线的斜率，由斜截式方程即可求得答案解答过程：，,,则在点处的切线的方程为即故选方法提示：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点的切线方程，属于基础题3.已知数列满足，则等于（）A.6 B.11 C.22 D.43答案：C解析：思路：根据数列的递推公式，结合的奇偶性逐步计算出的值.解答过程：已知，为奇数，根据递推公式，可得.为偶数，根据递推公式可得.

为奇数，根据递推公式可得.

为偶数，根据递推公式可得.

为奇数，根据递推公式可得.

故选：C.4.在等差数列，中，，其前项和为，若，则（）A.12 B.18 C.30 D.36答案：D解析：思路：设等差数列的公差为，由等差数列前项和为，利用已知即可计算出，即得，从而得.解答过程：设等差数列的公差为，则，所以，，所以，故选：D.5.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【】A. B.1 C.2 D.4答案：C解析：解答过程：试题分析：∵抛物线的准线为，曲线为，圆心为，半径，∵抛物线的准线与曲线相切，∴，即．考点：抛物线与圆的几何性质．6.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：函数的图象上存在与直线垂直的切线,即有解，转化为有解即可求出.解答过程：因为函数的图象上存在与直线垂直的切线，所以函数的图象上存在斜率为2的切线，故有解，所以有解，因为的值域为所以.方法提示：本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.7.设（e为自然对数的底数），则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及最值，结合对数函数的单调性及不等式的性质即可求解.解答过程：令则，令，即，解得当时，，所以在上单调递增.所以所以，即，令则，令即，解得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，即（当且仅当时等号成立）.因为所以即所以.故选：A.8.已知函数，，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：首先求函数的解析式，再根据导数判断函数的单调性，根据函数的单调性，解抽象不等式.解答过程：，得，所以，，，所以函数在单调递增，所以，即，即，即，且，得且.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在区间单调递增B.函数在区间单调递减C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值答案：ABD解析：思路：根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.解答过程：根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD方法提示：本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题10.已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（）A. B.数列是递增数列C. D.有最大值为答案：AC解析：思路：利用等差数列通项以及等比中项定义计算可得，可得A正确；由于不明确公差的符号，所以BD错误，由等差数列前n项和公式可得C正确.解答过程：设等差数列的公差为，由是和的等比中项可得，可得，即，即A正确；对于B，由A可知，因为不知道的正负，因此公差的符号不确定，所以数列的单调性不确定，即B错误；对于C，易知，所以C正确，对于D，根据B选项可知数列的单调性不确定，因此不一定有最大值，可得D错误.故选：AC11.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.解答过程：对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，则______.答案：解析：思路：利用等比数列的性质根据已知条件列方程求解即可解答过程：因为等比数列中，，所以，解得，故答案为：13.设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.答案：解析：思路：，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果．解答过程：椭圆，可得，设，，可得，化简可得：，，故答案为．方法提示：本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14.已知曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为__________．答案：11解析：思路：方法一：对求导，设，根据条件得到，进而得，再得到函数关于对称，最后求出点的纵坐标即可；方法二：对求导，根据在点处的切线与在点处的切线平行，可得存在两实根，再求出点的纵坐标即可.解答过程：方法一：，则，设，依题意，所以，则，显然，则，因为，所以的图象关于点中心对称，所以点与点关于点对称，所以，则，所以点的纵坐标为11.方法二：，则，因为，所以在上单调递增，令，设其根为，则.因为在点处的切线与在点处的切线平行，所以存在两实根，其中一个为，设另一个为．即两根为，由韦达定理得，则，所以，所以点的纵坐标为11.故答案为：11.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列满足，求的前项和．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由，的关系作差即可判断；（2）由（1）求得，再由等差数列、等比数列的求和公式即可求解；（1）当时，，即，当时，联立①－②，可得，即，所以，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可得，则，，所以．16.已知函数．（1）求的单调区间及极小值点；（2）若有极大值3，并且函数在上有最大值3，求实数的取值范围；答案：（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为；的极小值点为1.（2）.解析：思路：（1）求出定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极小值点；（2）根据极大值求出，并求出的解，结合函数单调性得到答案（1）函数的定义域为，且，当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；在处取得极小值，故极小值点为1.（2）由（1）可知当时，有极大值，且极大值为3，则，解得，故，由（1）知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；令，即，，解得或2，函数在上有最大值3，故的取值范围为.17.如图，在四面体中，面ABC，.（1）求证：面面PBC；（2）若，于D，求平面和平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，根据垂直关系的坐标表示求点的坐标，利用向量法求二面角的余弦值.（1），，面ABC，，面，面PAC，面面PBC.（2）由题意知，，，则.以C为坐标原点，为x轴，为轴，过点垂直于底面的线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，设，则，，，设平面DAC的法向量为，则，令，则，，同理平面的法向量为，设平面和平面夹角为，则，平面和平面夹角的余弦值为.18.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数a的值．答案：（1）当时，在上递减，在上递增；当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）解析：思路：(1)求导后判断导函数的正负进行讨论；(2)根据零点存在性定理求出隐零点，将隐零点代入计算，构造关于的函数证明即可.（1）则，

当时，在上递减，在上递增；当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）不等式，即为，设，，则，

设，，当时，，可得，则单调递增，此时当而当时，，故不满足题意；

当时，由，单调递增，当x无限趋近0时，无限趋近于负数a，当x无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点，即，则，，当时，，可得，单调递减；当时，，可得，单调递增，所以，因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以，所以，因为恒成立，即恒成立，令，，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即

又由恒成立，则，所以.19.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于