2025-2026学年四川省泸州市泸县普通高中共同体高二下册素养评价数学试卷（含解析）

/数学考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知抛物线，则其焦点坐标为（）．A. B. C. D.2.已知等比数列的公比为3，若，则为（）A.3 B.9 C.27 D.813.已知函数，则这个函数的图象在点处的切线方程为（）A. B.C. D.4.圆被轴截得的弦长为（）A.2 B.4 C. D.55.二项式的展开式的第四项为（）A. B. C. D.6.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.7.某校200名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中的值为0.004B.估计这20名学生考试成绩的下四分位数为75分C.估计某校成绩落在内的学生人数为50人D.估计这20名学生考试成绩的众数为75分8.函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（）A.A与B是相互独立事件 B.A与B是互斥事件C.与C是对立事件 D.10.已知函数，则（）A. B.C.在上单调递增 D.不等式的解集为11.在棱长为的正方体中，M，N分别为，的中点，则（）A.B.C.点在正方形内，当平面时，点轨迹长度为D.点在棱所在直线上，当平面时，四面体的外接球表面积为第Ⅱ卷（非选择题共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共8个小题，共92分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）.13.已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为_______．14.已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且.若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16.如图，在三棱锥中，平面，，，E为的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.记为数列的前项和，已知.（1）求，；（2）证明：数列是等比数列；（3）设，求数列的前项和.18.已知椭圆的左、右顶点分别为，，是E的右焦点，且．（1）求E的方程．（2）过点，且斜率不为0的直线l与E交于M，N两点．（ⅰ）若l的斜率为1，P是直线上的一点，且的面积为，求点P的坐标．（ⅱ）设直线与交于点Q，试判断Q是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若有极值，且的最大值大于，求的取值范围；（3）若恒成立，求的取值范围．

数学考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知抛物线，则其焦点坐标为（）．A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：将抛物线化为标准式得，所以，所以其焦点坐标为，B正确.2.已知等比数列的公比为3，若，则为（）A.3 B.9 C.27 D.81答案：B解析：解答过程：等比数列的公比为3，因为，所以，即，又，则，解得，故选项B正确.3.已知函数，则这个函数的图象在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先确认点在曲线上，再对函数求导，根据乘积求导法则得导函数，然后将切点横坐标代入导函数，得切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程，将方程化为一般式即可.解答过程：因为，故点为函数图象上的切点，因为，所以，又因为，切线斜率为在处的值，所以，所以，，所以，即.4.圆被轴截得的弦长为（）A.2 B.4 C. D.5答案：A解析：思路：找出圆心和半径，求出圆心到轴的距离解答过程：由圆方程得，圆心为，半径为，圆心到轴的距离为：，所以弦长为：，故选：A.5.二项式的展开式的第四项为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先写出通项，进而计算第四项即可；解答过程：二项式的通项为，则．故选：A.6.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：向量，，有，，则向量在向量上的投影向量的坐标为.7.某校200名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中的值为0.004B.估计这20名学生考试成绩的下四分位数为75分C.估计某校成绩落在内的学生人数为50人D.估计这20名学生考试成绩的众数为75分答案：D解析：思路：根据频率和为1可求，根据下四分位数的概念可得B的正误，利用频率可求频数，利用众数的概念可得众数.解答过程：对于选项A，由频率分布直方图，得：，解得，故A错误；对于选项B，前两个矩形的面积和为，所以估计这20名学生数学考试成绩的下四分位数为70，故B错误；对于选项C，总体中估计成绩落在内的学生人数为，故C错误.对于选项D，估计这20名学生数学考试成绩的众数为最高矩形中点横坐标75，故D正确.故选：D8.函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：法一：函数图象有公共点得出方程有实根，再应用导函数得出单调性及最小值进而得出参数；法二：先设变量构造新函数，再应用导数得出最小值结合有解求参.解答过程：法一：函数，与图象有公共点，即关于x的方程有实根，令，则，令得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以；为使关于x的方程有实根，只需，所以，故选:C．法二：由于，故令，即有解，等价于有解，令，，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以，故.故选：C．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（）A.A与B是相互独立事件 B.A与B是互斥事件C.与C是对立事件 D.答案：AD解析：思路：选项A：根据古典概型判断相互独立事件；选项B：根据互斥事件的定义判断互斥事件；选项C：先列出和的所有样本点，验证两者是否互斥，再验证它们的并集是否为全集，或概率和是否为1，从而判断是否为对立事件；选项D：先判断事件和是否互斥（无共同样本点），再使用互斥事件的概率加法公式计算即可判断.解答过程：选项A：由已知得，因为，，所以，即与互不影响，A正确.选项B：事件与事件能同时发生，故与不是互斥事件，B错误.选项C：，，故事件与不是对立事件，C错误.选项D：因为事件，事件，则不可能同时发生，故与互斥，所以，D正确.故选：AD.10.已知函数，则（）A. B.C.在上单调递增 D.不等式的解集为答案：ACD解析：解答过程：已知函数，则，所以，，当且仅当时，即当时等号成立，所以函数在上为增函数；由，得.因为函数在上为增函数，由可得.故不等式的解集为，ACD都对，B错.11.在棱长为的正方体中，M，N分别为，的中点，则（）A.B.C.点在正方形内，当平面时，点轨迹长度为D.点在棱所在直线上，当平面时，四面体的外接球表面积为答案：BCD解析：思路：选项A：通过向量共线判断,与坐标不成比例,故与不平行,A错误.选项B：计算与的数量积为0,可判断两直线垂直,B正确.选项C：利用面面平行确定点轨迹为线段,计算得,C正确.选项D：由线面垂直求出点坐标,再计算四面体外接球表面积为,D错误.解答过程：以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.正方体棱长为，各点坐标为，，，，，，，，，.选项A：，.两向量坐标不成比例，故与不平行，A错误.选项B：，.，故，B正确.选项C：取中点，中点，连接.，，，，，.可得，，.平面，平面，且，所以平面平面.点在正方形内且平面，故点轨迹为线段，则，C正确.选项D：，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，即.设，.由平面得，即，解得，即.四面体的顶点为，，，，该四面体的外接球等价于以为邻边的长方体的外接球，长方体的长宽高分别为，外接球直径，外接球半径，表面积，D正确.第Ⅱ卷（非选择题共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共8个小题，共92分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）.答案：72解析：思路：由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得.解答过程：根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法；第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法.由分步乘法计数原理，不同站法数为种.故答案为：72.13.已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为_______．答案：解析：解答过程：函数在区间上单调递增，在上恒成立，即对任意成立，令，则在上，在区间上单调递减，上确界为，不在区间内，需满足不小于的上确界，即．14.已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且.若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______.答案：##解析：解答过程：设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为即为直角三角形，所以，又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有，连接与左焦点，由可得为直角三角形且，由双曲线定义可知，，所以双曲线的离心率为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据已知及等差数列通项公式求公差，进而写出通项公式；（2）应用裂项相消法求和即可.（1）若等差数列的公差为，结合题设有，所以，可得，故.（2）由（1）得，所以.16.如图，在三棱锥中，平面，，，E为的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）借助等腰三角形中线性质与线面垂直性质定理可得、，再利用线面垂直判定定理可得平面，即可得证；（2）法一：利用几何法，作出平面与平面夹角，再借助勾股定理与余弦定义计算即可得；法二：利用空间向量法，建立适当空间直角坐标系后，求出两平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得.（1）因为，为的中点，所以，又因为平面，平面，所以，又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）法一：如图，过作于，连接，由（1）知，又因为，、平面，所以平面，所以就是平面与平面的夹角，因为平面，平面，所以，因为，则，，则，则，所以，平面与平面夹角的余弦值为．法二：以为原点建立如图所示的坐标系，则，，，，由轴平面，则平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由题意，可得平面的一个法向量为，所以，所以，平面与平面夹角的余弦值为．17.记为数列的前项和，已知.（1）求，；（2）证明：数列是等比数列；（3）设，求数列的前项和.答案：（1），（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）先令求出首项，再将分别代入已知等式即可求出；（2）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立；（3）由（2）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得.（1）因为当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得（2）证明：当时，；当时，，两式相减得：，所以所以又因为，所以，所以是首项为4，公比为4的等比数列.（3）由（2）知：所以，所以①，故②，两式相减得，，故.18.已知椭圆的左、右顶点分别为，，是E的右焦点，且．（1）求E的方程．（2）过点，且斜率不为0的直线l与E交于M，N两点．（ⅰ）若l的斜率为1，P是直线上的一点，且的面积为，求点P的坐标．（ⅱ）设直线与交于点Q，试判断Q是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．答案：（1）（2）（ⅰ）或（ⅱ）是，解析：思路：（1）根据题意求出，可得方程；（2）（ⅰ）设出直线方程，根据弦长公式，求出面积表达式，结合面积的值可得答案；（ⅱ）分斜率存在和不存在两种讨论，表示出，的方程，结合韦达定理可得答案.（1）由，可得，又，，所以，则E的方程为．（2）设