2025-2026学年云南省昭通市第一中学高二下册6月测试数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的虚部是（）A. B. C.2 D.2i3.在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则展开式常数项为（）A.8 B.16 C.64 D.324.已知，，若，则的值为（）A. B. C. D.5.已知函数在处有极大值，则c的值为（）A.2 B.6 C.2或6 D.06.设双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（）A.3 B.2 C. D.7.数列中，，对任意，，，若，则（）A.6 B.7 C.8 D.98.已知，，则的值是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递减数列B.C.，，成等差数列D.当或4时，取得最大值10.已知函数，则（）A.是的极大值点B.有三个不同零点C.若函数的对称中心为，则D.当时，11.如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（）A.直线和所成的角为B.三棱锥的体积为定值C.二面角的平面角的大小为D.点满足，，，若，则平面第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，13，14，20，24，25，27，40，45，48则该组数据的第43百分位数为_____．13.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______．14.已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为___________．四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在锐角中，，，分别为内角，，的对边，满足．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．16.如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，是正三角形，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若是的中点，求直线与平面所成角的余弦值．17.已知椭圆E：（）的离心率为，，，且原点到直线的距离等于．（1）求椭圆的方程；（2）设点（）在椭圆上，直线交轴于点．点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．18.现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈．（1）若有某种治疗方案C，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案C痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率；（2）对疾病有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗，无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，，药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．（i）分别求使用药物A和药物B一个疗程的治愈概率；（ii）请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短?19.已知函数，．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）证明：；（3）证明：，．

数学满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：分式不等式等价于，解得，又因为，因此，所以.2.若复数满足，则的虚部是（）A. B. C.2 D.2i答案：B解析：思路：由复数除法求得，再求出共轭复数后可得．解答过程：由题设，，故虚部为．3.在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则展开式常数项为（）A.8 B.16 C.64 D.32答案：D解析：解答过程：因为二项式的所有二项式系数的和为，由题得，解得，的展开式的通项为，，令，可得常数项为32．4.已知，，若，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由，得到，结合数量积的坐标运算，列出方程，即可求解.解答过程：由向量，，因为，可得，即，解得.5.已知函数在处有极大值，则c的值为（）A.2 B.6 C.2或6 D.0答案：B解析：思路：求出函数的导数，利用导数为0求出值并验证即得.解答过程：函数，求导得，依题意，，解得或，当时，，当时，，当时，，函数在处取得极小值，不符合题意；当时，，当时，，当时，，函数在处取得极大值，符合题意，所以.故选：B6.设双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（）A.3 B.2 C. D.答案：C解析：解答过程：由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，如图1，将代入，得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以．7.数列中，，对任意，，，若，则（）A.6 B.7 C.8 D.9答案：D解析：思路：令，因为且，可推导出数列是等比数列，得到通项公式.利用等比数列求和公式计算,化简解关于的方程得到结果.解答过程：在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，．由题意得,，则，解得．8.已知，，则的值是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，所以，所以，又，所以，所以．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递减数列B.C.，，成等差数列D.当或4时，取得最大值答案：ACD解析：思路：由的关系求得通项公式，再结合等差数列的性质逐项判断即可.解答过程：当时，，又，所以，则是递减数列，故A正确；，故B错误；因为，所以，故数列为等差数列，所以，，成等差数列，故C正确；因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确．10.已知函数，则（）A.是的极大值点B.有三个不同零点C.若函数的对称中心为，则D.当时，答案：CD解析：思路：选项A，求的导函数，进而结合导数的符号判断极值点类型；选项B，对进行因式分解，再求解的根；选项C，利用三次函数对称中心的性质求解横坐标，进而得到纵坐标，再计算即可；选项D，根据的范围求出的取值范围，再分析在该区间上的单调性，进而确定的取值范围.解答过程：，令，得，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是极大值点，是极小值点，所以A错误；对于B，，由，得，所以有两个不同零点，B错误；对于C，对于三次函数，对称中心为，若函数的对称中心为，，，所以，C正确；对于D，当时，，由A知在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以，D正确.11.如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（）A.直线和所成的角为B.三棱锥的体积为定值C.二面角的平面角的大小为D.点满足，，，若，则平面答案：BCD解析：思路：建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角空间向量法计算判断A；根据等体积法的等高等底可判断B；根据面面角空间向量法计算可判断C；证明面面平行，根据面面平行的性质可判断D.解答过程：建立如图所示空间直角坐标系，则，对于A，，故，故，即直线和所成的角为，故A错误；对于B，三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，三棱锥的底面积为定值，因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故B正确；对于C，设平面法向量为，，因为，所以，所以令，得，所以平面法向量为，取平面法向量为，设二面角为，则，所以二面角的大小为，故C正确；对于D，若，则，则点在线段上，因平面平面，且平面平面，平面平面，故，因为平面，平面，故平面，同理可证平面，因为平面，平面，且，故有平面平面，又因为平面，所以平面，故D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，13，14，20，24，25，27，40，45，48则该组数据的第43百分位数为_____．答案：24解析：解答过程：一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，13，14，20，24，25，27，40，45，48，共10个数，因为，不是整数，所以该组数据的第百分位数为按从小到大排列的第5个数，即24．13.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______．答案：解析：思路：先结合奇函数与对称性条件推出周期，再化简，最后利用奇偶性代入解析式求值即可.解答过程：由题设可得，由是奇函数，所以，用代替，则，故，所以，即是周期为6的函数，所以.14.已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为___________．答案：8解析：思路：首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解.解答过程：由已知得，则，所以抛物线方程为，设直线的倾斜角为，由于直线过焦点，，又，所以.故答案为：8.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在锐角中，，，分别为内角，，的对边，满足．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．答案：（1）（2）解析：（1）在中，因为，由正弦定理得，即，而，则，又，所以．（2）由（1）得，由锐角，得，解得，因此，由，得，即，所以的范围是．16.如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，是正三角形，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若是的中点，求直线与平面所成角的余弦值．答案：（1）如图所示，取的中点，的中点，连接，，，，因为是正三角形，，则，又为的中点，所以，又底面四边形为菱形，，所以是等边三角形，所以，因为，平面，平面，所以平面．又平面，进而，同理可得，因为，平面，平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）如图所示，取的中点，的中点，连接，，，，求出，利用线面垂直的判定定理得到平面．利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到平面．（2）求出与平面所成的角就等于与平面所成的角．利用线面垂直的判定定理求出平面，利用线面垂直的定义得到，从而得到就是与平面所成的角．在中，求出，即为直线与平面所成角的余弦值．（1）略（2）因为底面是菱形，是的中点，所以是中点，又因为是的中点，所以，所以与平面所成的角就等于与平面所成的角．因为是菱形，，，由余弦定理得AB=，，是等边三角形．因为底面，底面，所以．因为，，平面，所以平面．如图，连接，则平面，，所以就是与平面所成的角．因为是等边三角形，，所以，．在中，PC=，AC=2，则PA=，所以PF=3．在中，，所以直线与平面所成角的余弦值为．17.已知椭圆E：（）的离心率为，，，且原点到直线的距离等于．（1）求椭圆的方程；（2）设点（）在椭圆上，直线交轴于点．点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1）（2）存在点，理由如下：假设存在点满足题意，设，，直线DA的方程为：，令，；，直线DB的方程为：，直线DB与x轴交于点N，令，则．，，，则，所以，（注：点Am ，  n在椭圆E则，存在点使得．解析：思路：（1）由离心率得出关系，利用原点到直线CD的距离可求出得椭圆方程；（2）假设存在点满足题意，设，利用求出，能求出说明存在，不能求出说明不存在．（1）由，得，由点，可知直线CD的方程为，即．由于原点到直线CD的距离为，即，得，，所以椭圆的标准方程为．（2）略18.现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈．（1）若有某种治疗方案C，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案C痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率；（2）对疾病有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗，无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，，药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．（i）分别求使用药物A和药物B一个疗程的治愈概率；（ii）请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短?答案：（1）（2）（i），；（ii）需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短解析