2025-2026学年浙江省杭州市高一下册6月期末教学质量检测数学试卷（含解析）

/浙江杭州市2025-2026学年第二学期高一6月教学质量检测数学试题一、单选题1．已知为虚数单位，若，则（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（

）A． B． C． D．4．已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（

）A． B． C． D．5．设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数，且，则（

）A． B． C． D．7．若单位向量，，满足，则向量与夹角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．已知，点，和分别在函数，和的图象上，平行于轴，，且，则点的横坐标约为（

）（参考数据：，）A．8.8 B．7.8 C．6.8 D．5.8二、多选题9．已知函数为奇函数，则（

）A． B．C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减10．函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．C．，D．函数在区间上有3个零点11．在三棱锥中，平面，平面平面，，则（

））A．直线与所成角的最大值为B．若，，则C．若，，则二面角的正切值为D．若的面积为，则直线与平面所成角的正切值的最大值为三、填空题12．已知向量，，则的最大值为__________．13．设随机事件，相互独立，且，，则__________．14．用表示数集中最大的数．若是函数的零点，且，则的最小值为__________．四、解答题15．某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取100人的测试分数作为样本，将样本数据分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示．

(1)估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数（精确到0.1）；(2)采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为和的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率．16．在中，角，，所对的边分别为，，．已知．(1)求；(2)设，，且为的平分线，求．17．已知函数．(1)设，（i）求的值；（ii）解不等式；(2)若，，求的取值范围．18．如图，在正三棱台中，，．

(1)求证：；(2)求棱台的体积；(3)若棱台内有一个正方体，且此正方体在该棱台内能任意转动，求此正方体棱长的取值范围．19．已知函数．(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；(2)令，（i）证明：函数的图象是中心对称图形；（ii）设函数有三个零点，，，证明：．参考答案1．C解析：，所以．2．D解析：，分子分母同时除以得.3．A解析：因为，，所以，，所以，，所以.4．D解析：设有个数据，则原数据总和为，引入数据后，新总和为，因此新平均数x=原样本方差为，根据方差定义，可得原数据的离均差平方和.添加数据后，新增偏差平方项，因此新方差.由于，因此.5．B解析：先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行，故不一定成立，即充分性不成立；再验证必要性：当且时，，必要性成立．综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件．6．B解析：，又因为，所以，所以，所以A、C无法判断，对于B、D，，所以，即.7．A解析：，由，可得，两边取平方，所以，解得，即，又由，可得，则，，所以，又，，设向量与的夹角为，，则，所以.8．C解析：已知轴，，故，即轴.设点的横坐标为，则，.由得，化简得，两边取常用对数，①.又，与纵坐标相同，故的横坐标为，即.由得，所以，两边取常用对数整理得，②.联立①与②，x⋅9．ACD解析：对于A，函数的定义域为，因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，此时，，是奇函数，A正确；对于B，，当时，，因为函数为奇函数，所以当时，，所以或，B错误；对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确；对于D，任取，则，所以,所以在区间上单调递减，故D正确.10．ABD解析：由图象可知，函数最大值为，且，故,最高点到上升零点的距离为，所以,由得，A正确；将，最高点坐标代入：,结合，得，因此函数为,，B正确；说明函数对称轴为,的对称轴满足，显然不是对称轴，C错误；的零点即，解得：,要求，即，得，共个零点，D正确.11．BCD解析：如图，作，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，平面，所以，因为平面平面，所以平面，又因平面，所以，对于A，假若直线与所成角的最大值为，即存在，因平面，则平面，这与题设平面矛盾，故A错误；对于B，因为平面，易得，若，，则，因为，所以，又因平面，可得，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，，，，所以，所以，作于，作，交延长线于点，连接，因为平面，平面，所以，又因平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，平面，则平面，又因平面，所以，是二面角的平面角，因为，，所以，易得，即，解得，在中，，所以C正确；对于D，因平面，则直线与平面所成角为，，又因三角形面积为4，即，故，因，故，所以正切最大值，故D正确．12．5解析：由题意可得，当，取最大值5，所以的最大值为5.13．0.7/解析：由题意得，则.14．4解析：因为是函数的零点，代入得：，又，三个数和为、乘积为正，说明三个数必为一正两负，因此最大数就是唯一的正数，设，则，另外两个数均为负数.设两个负数为（），则由得：，代入得：，由基本不等式，代入得：，整理得，即，当时，等号成立，此时三个数为，满足，，符合条件.因此的最小值为.15．(1)62.9(2)解析：（1）由题意得：，解得，设第25百分位数为，则，解得，用样本估计总体，所以估计总体的第25百分位数为62.9．（2）按照分层随机抽样，分数位于内有3人，记为，，，分数位于内有2人，记为，，则样本空间，共10个样本点，记两人分数均小于60为事件，则，有3个样本点，所以．16．(1)(2)解析：（1）由和正弦定理得，即，由余弦定理，可得．又，所以．（2）因为，所以，由角平分线性质得，所以，由余弦定理得，解得，，方法一：由可得，，解得．方法二：因为，所以，故为直角三角形，所以为直角三角形，由可得，所以.

17．(1)（i）0；（ii）或；(2)解析：（1）当时，（i），所以；（ii）由题知．由对数函数的单调性可得：化简得：，解得或；（2）由，设，使得且，即，所以，设，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，故的取值范围是．18．(1)延长，，交于点，因为，，所以所以三棱锥是边长为4的三棱锥，设下底面的中心分为，中点为，连，，是正三角形，为中点，故，是正三角形，为中点，故，又，且平面，根据线面垂直判定定理，得平面，因为平面，所以．(2)(3)．解析：（1）略.（2）由（1）知，所以棱台的高，所以正三棱台的体积为．（3）正方体在棱台内能任意转动，问题等价于正方体的外接球能放置在棱台内．由于正三棱锥的表面积，体积．所以三棱锥的内切球半径．又因为棱台的高，而三棱锥的内切球的直径恰为，因此半径为的三棱锥的内切球，恰好是棱台内切球，即正方体棱