2025-2026学年浙江省绍兴市高一下册6月期末考试数学试卷（含解析）

/浙江绍兴市2025-2026学年高一下学期期末调测数学试题一、单选题1．复数，则复数z的虚部为（

）A．1 B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（

）．A．互斥 B．互为对立C．相互独立 D．相等5．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（

）A． B． C． D．6．已知一个圆锥的侧面展开图是半圆，记侧面积为，体积为，则（

）A． B． C． D．7．已知函数（，）在轴上的截距为，若在内有且只有一个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．8．已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．数据1，2，3，4，5，6的中位数是3B．数据，，，的方差是1，则，，…，的方差是9C．若事件与互斥，且，，则D．记事件与的对立事件分别为，，若事件与互斥，则是必然事件10．已知函数，则（

）A．B．的图象关于点中心对称C．在上为增函数D．若，是的两个零点，则11．如图，三棱柱的体积为，，，点，，，分别为棱，，，的中点，点，，，在球心为的球面上，则（

）A．，，三线共点B．C．球的表面积的取值范围为D．多面体的体积为三、填空题12．已知向量，，则_______．13．在四棱锥中，平面，，且，，，，，则异面直线与所成角的余弦值_______．14．如图所示，有一个每个面都是正三角形的正八面体．质点从顶点出发，每一步都等可能地沿一条棱移动到相邻顶点（从一个顶点移动到相邻顶点称为一次移动）．则质点移动次后第一次回到顶点的概率是______．四、解答题15．已知，计算下列各式的值．(1)；(2)．16．某地为提升文旅经济，在端午假期面向部分游客发起满意度调查，调查维度包括饮食、住宿、交通、服务等，满意度得分采用百分制且所有参与调查的游客打分均不低于50分，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．(1)求的值；(2)估计此次调查中综合满意度得分的众数和上四分位数；(3)估计此次调查中综合满意度得分的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），若参与本次调查的游客共有1200名，估计在参与调查的1200名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数．17．著名数学家欧拉发现并证明了欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位），从而建立了三角函数和指数函数的关系，已知复数．(1)若，将复数表示成（）的形式；(2)若是关于的实系数方程的一个根，求，的值；(3)求的最大值．18．如图，在三棱锥中，，，，，，点，分别是棱，的中点，点为上靠近的三等分点，．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积；(3)求直线与平面所成角的正弦值．19．在中，已知，，，点满足（）．(1)若，求；(2)设（），定义集合．（ⅰ）若，求的取值范围；（ⅱ）若，记中的最大值为，求的值域．参考答案1．A解析：复数，则复数z的虚部为1.2．B解析：根据对数的幂运算性质得:,已知，代入得：,两边除以，可得：.3．B解析：如图，长方体中，平面.在平面内，除直线外，其他所有与平行的直线，都与平面平行，但是平面与平面不平行；若，根据面面平行的定义可知，平面内的直线都与平面平行.所以，“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．C解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；，，，，因为，所以与独立，故选项C正确；事件与不相等，故选项D错误.故选：C.5．D解析：由题意得，，则6．B解析：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，因为圆锥的侧面展开图是半圆，所以，则，因为，所以，则，，则7．A解析：由题意得，即，因为，所以，，，故，因为在内有且只有一个零点，所以，解得.8．D解析：，故，故，因为，所以，设，则，其中可看作关于的二次函数，开口向上，当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为.9．BCD解析：对于A，数据1，2，3，4，5，6的中位数是，故A错误；对于B，数据，，，的方差是1，则，，…，的方差是：，故B正确；对于C，若事件与互斥，且，，则，故C正确；对于D，事件互斥，则是不可能事件，则是必然事件，故D正确.10．AD解析：选项A，由题意得，，因此，故A正确.选项B，若关于中心对称，则对任意满足，当时，，此时，若成立，则恒成立，令，但，可得不可能恒成立，即不可能恒成立，故B错误，选项C，当时，由指数函数与一次函数的性质得单调递增；当时，由对数函数与一次函数的性质得单调递增；而当时，，此时的最大值为，当时，，不满足题意，则在上不为增函数，故C错误，选项D，由题意得共有两个零点，当时，单调递增，且，因此一个零点为，当时，单调递增，且时，，当时，，由零点存在性定理得仅有一个零点，而，且，而，可得，得到，即，可得，则，得到，因此，故，故D正确.11．ABD解析：选项A：由已知可得，，故可设，因为平面，平面，平面平面，所以，所以，，三线共点，A正确；选项B：分别为的中点，故是的中位线，，只需证，取中点，连接、：为正三角形，故；由公共，得，因此，故，，且平面，因此平面，又平面，故，结合，得，B正确；选项C：三点确定底面正三角形的外接圆，半径，球心在过底面中心且垂直于底面的直线上，因此球半径，即球表面积的最小值为，当侧棱倾斜到一定程度时，可以落在底面的外接球面上（此时球心与底面中心重合），满足四点共球，因此表面积最小值为，C错误；选项D：设底面正三角形面积为，棱柱高为，则，将五面体分割为四棱锥和四面体：梯形的面积，四棱锥高为，体积：；因为的面积等于的面积，所以三棱锥与三棱锥底面积和高都相等，故它们的体积相等，即，又四面体的体积，.12．5解析：向量，，则.13．/解析：设直线与所成角为，由题可知底面是梯形，，，因为平面，所以，所以.14．/解析：质点移动次后第一次回到顶点包含以下路径：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共条路径，在正八面体中，与每个顶点相邻的顶点都有个，因为每次位于某个顶点，下一次等可能移动到相邻顶点的概率都是，故质点移动次后第一次回到顶点的概率是.15．(1)(2)解析：（1）解法一：；解法二：因为，所以，即，所以；解法三：已知，若在第二象限，则，，此时；若在第四象限，则，此时综上；（2）解法一：；解法二：因为，所以，即，；解法三：已知，若在第二象限，则，，此时，若在第四象限，则，，此时，综上；16．(1)(2)众数估计为75，上四分位数估计为85(3)627人解析：（1）由频率分布直方图可得，，又，解得.（2）由频率分布直方图，本次综合满意度得分的众数估计为，因为前3组频率之和为0.6，第四组频率为0.3，故上四分位数在，则上四分位数估计为：.（3）平均分为，平均分，故不低于平均分的频率为，则打分不低于平均分的人数估计为人．17．(1)(2)，(3)解析：（1）；（2）法一，则，即，故且，所以，；法二为虚数根，所以方程还有另一个根为，根据韦达定理：，所以，；（3）法一，，故．法二，令，，则可视为单位圆上的点到点的距离，到圆心的距离，即在单位圆外，所以，其中为单位圆的半径.18．(1)，故，又因为点，分别是棱，的中点，所以，，，.在中，，，可得，，又因为点为上靠近的三等分点，，所以，在中，，，，则，，且，交于点，平面，所以平面．(2)(3)．解析：（1）略（2）在中，可得，即，解得，中，，，可知是等腰三角形，上的高，所以，又因为平面，所以，点是的中点，点为的三等分点，所以三棱锥的体积（3）由（1）可知，，，且，所以（表示点到平面的距离）．连接，如图所示：在中，由（2）可知，解得，记直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为19．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）解析：（1）因为，所以，所以，所以（2）因为，所以，，所以，因为，所以，又因为，，所以，所以，因为，其中二次函数判别式