2025-2026学年浙江省温州市高二下册6月普通高中学业水平模拟测试数学试卷（含解析）

/数学满分100分，考试时间80分钟．选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知全集，集合，则集合为（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.已知为虚数单位，复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.4.已知向量，，且，则的值是（）A. B. C. D.5.若事件与事件互斥，则（）A. B.C. D.6.已知，，，则（）A. B. C. D.7.已知，则“”是“是偶函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.9.已知单位圆上两点，，弦，点为圆上一动点，则的最大值为（）A. B. C. D.10.已知函数，若，则（）A. B. C. D.11.已知一个半径为的球内含于一个封闭的圆锥，该圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，则的所有可能取值中最大的是（）A. B. C. D.12.已知函数的定义域为，且,，则（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中有多个符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）13.已知，，则（）A. B.C. D.14.如图，在直三棱柱中，，，点为线段的中点，点为线段上的动点（不含端点），则（）A.存在点，使得平面B.存在点，使得平面C.当点为线段的中点时，直线与平面所成的角最大D.当点为线段的中点时，三棱锥的外接球半径最小15.在中，点是边上一点，，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则的最小值为D.若，则的最小值为非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每空3分，共9分）16.已知幂函数的图象经过点，则_____.17.温州园博园是温州新晋人气网红打卡胜地，相关部门统计了开园后50天的日游客数量（单位：万人），将样本数据分成，，，，，，七组，绘制频率分布直方图如图所示．估计日游客数量的第75百分位数为____________．18.已知三棱锥，，点为内部一点，若，，且，则____________．四、解答题（本大题共3小题，共37分）19.现有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面分别标以数字1到6，先后抛掷两次，观察它正面朝上的点数，设事件“第一次骰子的点数为偶数”，事件“两次点数之和为偶数”．（1）求事件发生的概率；（2）求事件和事件至少有一个发生的概率．20.如图，在直四棱柱中，，，．（1）证明：；（2）若，求二面角的平面角的余弦值；（3）求直四棱柱体积的最大值．21.已知函数，，．（1）若，判断曲线是否是中心对称图形，若是，求出它的对称中心；若不是，请说明理由；（2）若函数，（i）判断的单调性；（ii）若是的两个零点，且，证明：．

数学满分100分，考试时间80分钟．选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知全集，集合，则集合为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为全集，则集合为.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：的定义域满足，解得或，则定义域为．3.已知为虚数单位，复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：复数，则的共轭复数为4.已知向量，，且，则的值是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，即，解得.5.若事件与事件互斥，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据互斥事件“不可能同时发生”的核心定义，明确互斥事件的交集为不可能事件，再结合互斥、对立、独立事件的概率性质逐一辨析四个选项.解答过程：对于A：是对立事件（互斥且必有一个发生）的性质，互斥不一定对立，A错误；对于B：若事件与互斥，即，因此，B正确；对于C：互斥事件对两个事件的概率大小没有要求，无需满足，C错误；对于D：是相互独立事件的定义，不是互斥事件的性质，D错误.6.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围，再比较大小即可求解.解答过程：因为在单调递减，，所以，因为在上单调递增，，所以，因为在上单调递减，，所以，即，，，所以.7.已知，则“”是“是偶函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据诱导公式，与函数的周期性判断即可．解答过程：解：，，是偶函数；若是偶函数，，不一定等于，是充分不必要条件，故选：A．8.已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先对已知等式两边平方，结合同角三角函数基本关系式求出，再根据α为锐角且确定2α的取值范围，最后利用同角三角函数的平方关系确定的符号并计算出结果.解答过程：由，两边平方得，

解得；因为为锐角，且，故，可得，因此，即在第二象限，；由同角三角函数关系，得，结合，得.9.已知单位圆上两点，，弦，点为圆上一动点，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：建立平面直角坐标系，设及，再由向量的数量积的坐标运算可得最大值.解答过程：因为是单位圆上两点，且弦，不妨设，如图：设，则，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立.因此的最大值为10.已知函数，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据幂函数和一次函数的单调性，结合代入法、函数单调性的性质进行求解即可.解答过程：因为，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，，所以一定有，由，或，当时，解得，当时，因为该一元二次方程根的判别式为，

所以该方程没有实数根，综上所述：.11.已知一个半径为的球内含于一个封闭的圆锥，该圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，则的所有可能取值中最大的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：使用圆锥的侧面积公式得到，通过分析圆锥的轴截面面积，使用三角形的面积公式将的函数关系式写出来，利用基本不等式求解.解答过程：设圆锥母线长为，底面半径为，高为，因为圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，所以，得，，，最大时，球为圆锥的内切球，此时圆锥的轴截面如图：，即，将代入化简得：，因为，所以，，令，，则，设，则，，因为，当且仅当时等号成立，所以，12.已知函数的定义域为，且,，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先通过赋值得，再赋值得函数为偶函数，再令得，进而可得，得函数的一个周期为，再通过赋值可得，，，，结合周期性可得.解答过程：由函数的定义域为，且,令，得，即，因为，所以得.再，得，，即，所以函数为偶函数.再令，得，因为为偶函数，所以，因此，且，所以.又令，得，所以，因为函数为偶函数，所以，因此.令，得，得.令，得，即，用代替得，再用代替得，即，所以函数的一个周期为.因为，所以.因此，所以.因此.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中有多个符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）13.已知，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：已知，，则，，故，A正确；，则，，，，故B正确；取，满足，，此时，即，故不恒成立，故C错误；，则，，则，故，故D正确．14.如图，在直三棱柱中，，，点为线段的中点，点为线段上的动点（不含端点），则（）A.存在点，使得平面B.存在点，使得平面C.当点为线段的中点时，直线与平面所成的角最大D.当点为线段的中点时，三棱锥的外接球半径最小答案：AD解析：思路：取的中点，由面面平行的性质和判定定理可判断A；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由可判断B；由线面角的向量公式结合二次函数的性质可判断C；设三棱锥的外接球半径为，球心，由可得，再由二次函数的性质可判断D.解答过程：对于A，取的中点，连接，当为的中点时，，平面，平面，所以平面，又因为，同理可得平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故A正确；对于B，因为三棱柱是直三棱柱，，所以建立如图所示的空间直角坐标系，，设因为，所以，设为平面的法向量，，所以，则，令，所以，若平面，则，即，解得：，不满足，故B错误.对于C，平面的法向量为，，设直线与平面所成的角为，所以，当时，最大，即最大，故C错误；对于D，平面的外接圆圆心为斜边的中点，半径，三棱锥外接球的球心必在过且垂直于平面的直线上，设，设外接球的半径为，则，且，所以，，由，可得：，解得：，将代入可得：，当时，取得最小值，此时点为线段的中点，故D正确.15.在中，点是边上一点，，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则的最小值为D.若，则的最小值为答案：BCD解析：思路：AB利用余弦定理和即可；C利用以及基本不等式求解；D利用得出，设，得出，，化简得出，利用基本不等式求解.解答过程：设，在中利用余弦定理得，在中利用余弦定理得，则，得，即，A选项，因为，所以，无法求出，故A错误；B选项，因为，所以，得，故B正确；C选项，因为，所以，即，则，得，等号成立时，故的最小值为，故C正确；D选项，因为，所以，则，因为，所以，所以均有意义，设，则，，同理，，则可化为，即，得，则，等号成立时，故的最小值为，故D正确.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每空3分，共9分）16.已知幂函数的图象经过点，则_____.答案：##解析：思路：利用幂函数的待定系数法求解即可.解答过程：由幂函数的图象经过点，则，所以，故答案为：17.温州园博园是温州新晋人气网红打卡胜地，相关部门统计了开园后50天的日游客数量（单位：万人），将样本数据分成，，，，，，七组，绘制频率分布直方图如图所示．估计日游客数量的第75百分位数为____________．答案：9解析：思路：根据频率分布直方图及百分位数的定义求解.解答过程：由频率分布直方图可知，，，，，，，各组的频率分别为：，所以日游客数量少于万人的频率为，日游客数量少于万人的频率为，所以日游客数量第75百分位数落在这个区间内，设第75百分位数为，则，即.18.已知三棱锥，，点为内部一点，若，，且，则____________．答案：##解析：思路：建立如图所示的空间直角坐标系，设，，由已知条件求得参数值，再由两点间距离公式计算.解答过程：由题意是等边三角形，如图，以为轴，线段的中垂线为轴，建立空间直角坐标系（使得点的坐标为正），则，，，因为，所以在线段的中垂面上，即在坐标平面上，设，由得，即①，设，由得，解得，即，又，，，所以②，③，由②③解得，，，代入①得，所以.四、解答题（本大题共3小题，共37分）19.现有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面分别标以数字1到6，先后抛掷两次，观察它正面朝上的点数，设事件“第一次骰子的点数为偶数”，事件“两次点数之和为偶数”．（1）求事件发生的概率；（2）求事件和事件至少有一个发生的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）分类讨论，第一次向上的点数为奇数或偶数时，第二次向上的点数情况，结合古典概型可得解；（2）根据公式求解或利用正难则反的思想，根据对立事件概率公式求解.（1）用表示第一次向上的点数为，第二次向上的点数为，则样本空间为，总的样本点为，事件“两次点数之和为偶数”，即的奇偶性相同，亦即“第一次向上的点数为奇数，第二次向上的点数也为奇数”或“第一次向上的点数为偶数，第二次向上的点数也为偶数”，所以，所以，即事件发生的概率.（2）方法一：由题意知，所以.方法二：“事件和事件至少有一个发生”的对立事件为“事件和事件都不发生”，即“第一次向上的点数为奇数，第二次向上的点数为偶数”，所以所求概率为.20.如图，在直四棱柱中，，，．（1）证明：；（2）若，求二面角的平面角的余弦值；（3）求直四棱柱体积的最大值．答案：（1）证明：在直四棱柱中，因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以．（2）（3）解析：思路：（1）先证明面，然后由线面垂直的性质定理得证；（2），先证明就是二面角平面角，然后在直角三角形中求得其余弦值；（3）设，用余弦定理表示出，然后利用结合三角恒等变换、正弦函数性质得面积最大值，从而可得体积最大值.（1）略（2）连接，记，连接，易得平面，则平面，又平面，故，又因，所以是的中垂线，得，因平面，易得，又因O是AC中点，所以，故就是二面角的平面角，又因，则，则.（3）设，，因，由余弦定理，，，因，则，故当，即时，取得最大值1，此时的最大值为，故直四棱柱体积的最大值.21.已知函数，，．（1）若，判断曲线是否是中心对称图形，若是，求出它的对称中心；若不是，请说明理由；（2）若函数，（i）判断的单调性；（ii）若是的两个零点，且，证明：．答案：（1）是，对称中心为（2）（i）在上单调递增（ii），令，则.又，函数在上