2025-2026学年浙江省温州市平阳县万全综合高级中学等校高二下册第一次联考数学试卷（含解析）

/数学满分100分，时间150分钟。一、单选题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下表统计了某同学一周内每天体育活动时长（单位：h）：日期周一周二周三周四周五周六周日时长/h1.52.01.41.21.81.63.0则体育活动时长的第60百分位数是（）A.2.0 B.1.8 C.1.7 D.1.64.定义新运算“”如下：，已知函数，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（）A. B. C. D.6.在中，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（）A.6 B.9 C.12 D.158.若函数在区间上有两个零点，则（）A. B. C. D.二、多选题9.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A.事件与事件互斥B.事件发生的概率为C.事件与事件相互独立D.事件发生的概率为110.如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则（）A.PC与MO是异面直线 B.直线NO与PC的夹角为C. D.四棱锥的外接球的表面积为11.设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（

）A.的周期是2B.在上递减，在上递增C.的最大值是2，最小值是1D.当时，三、填空题12.设，若圆的面积为，则__________．13.函数的定义域是____________（用区间表示）14.已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为___________.四、解答题15.现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．（1）若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？（2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？（3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？16.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．（1）求证：平面；（2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．17.已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18.已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，.（1）求的方程；（2）若直线过点且的面积为，求的方程.19.函数，，为自然对数的底数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明函数存在唯一的极值点；（3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.

数学满分100分，时间150分钟。一、单选题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据交集的定义计算即可.解答过程：因为，，所以.故选：B.2.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：根据复数的运算法则求出，进而判断即可.解答过程：由，则，则复数对应的点为，在第三象限.故选：C.3.下表统计了某同学一周内每天体育活动时长（单位：h）：日期周一周二周三周四周五周六周日时长/h1.52.01.41.21.81.63.0则体育活动时长的第60百分位数是（）A.2.0 B.1.8 C.1.7 D.1.6答案：B解析：思路：先将数据从小到大排列，再利用百分位数的计算定义和计算方法，即可求解.解答过程：将体育活动时长按从小到大的顺序排列为1.2，1.4，1.5，1.6，1.8，2.0，3.0，因为，所以体育活动时长的第60百分位数是1.8.故选：B.4.定义新运算“”如下：，已知函数，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据新定义，得到的表达式，判断函数在定义域的单调性，可得结果.解答过程：当时，；当时，；所以，易知，在单调递增，在单调递增，且当时，，当时，，则在上单调递增，所以得，解得.故选：C方法提示：本题考查对新定义的理解，以及分段函数的单调性，重点在于写出函数以及判断单调性，难点在于满足的不等式，属中档题.5.已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解.解答过程：由椭圆，得，，即，因此左右焦点，，因为面积为，故，得，即，将代入椭圆方程：，解得.

，，则

.6.在中，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：先判断是否能推出，再判断能否推出即可求解.解答过程：由，，所以，所以，所以，所以，即，由有，由余弦定理有，即，又，所以，所以，，所以“”是“”的充分必要条件，故选：C.7.已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（）A.6 B.9 C.12 D.15答案：C解析：解答过程：设等差数列的公差为，由题意得，，则.8.若函数在区间上有两个零点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：化简函数的解析式，并求出其在区间上的对称轴，结合函数图像的对称性，单调性和中点坐标公式可求，从而可得结论.解答过程：因为，化简可得，令，得，，直线为函数在的对称轴，且当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以，．故选：D二、多选题9.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A.事件与事件互斥B.事件发生的概率为C.事件与事件相互独立D.事件发生的概率为1答案：BC解析：思路：根据古典概型的概率公式判断B，利用特例说明A，计算、、，即可判断C，根据判断D.解答过程：由题意可得，故B正确；当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生，所以事件与事件不互斥，故A错误；事件与事件同时发生的情况有共4种，所以，又，所以，故事件与事件相互独立，故C正确；，故D错误.故选：BC.10.如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则（）A.PC与MO是异面直线 B.直线NO与PC的夹角为C. D.四棱锥的外接球的表面积为答案：BCD解析：思路：首先连结，利用中位线可判断，，再根据四棱锥的性质，即可判断选项.解答过程：对于A,连接AC，BD，PO，分别是的中点，所以，A错误；对于B，，故所求为直线PD与PC的夹角，为，B正确；对于C，由于，，所以，又，故，C正确；对于D，易知，故四棱锥的外接球的表面积为.D正确.故选：BCD11.设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（

）A.的周期是2B.在上递减，在上递增C.的最大值是2，最小值是1D.当时，答案：ACD解析：思路：由即可判断A选项；利用和函数的对称性可判断B，C的正误；结合周期性和奇偶性可求当时，，故可判断D的正误．解答过程：对于A，对于恒有，则的周期为2，故A正确；对于B，时，，，则函数在上是减函数，因为且为偶函数，故，故的图象关于对称，函数在上是增函数，结合的周期为2可得在上是减函数，故B不正确；对于C，由B的分析可得在,的最大值是，最小值为，结合函数的周期性可得的最大值为2，最小值为1，故C正确；对于D，设，则，故，故D正确．故选：ACD．三、填空题12.设，若圆的面积为，则__________．答案：3解析：思路：将圆化成标准方程得出半径为，根据面积建立等式即可求解．解答过程：由题意得圆的标准方程为，则圆的半径为，圆的面积为，解得：，故答案为：．13.函数的定义域是____________（用区间表示）答案：解析：思路：结合幂函数与对数函数性质计算即可得.解答过程：由题意得，即，解得，即定义域为：.故答案为：14.已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为___________.答案：解析：思路：设，，表达出，，从而得到关于的一元二次方程，转化为关于的一元二次方程在上有解问题，结合根的判别式和特殊点的函数值，得到，求出离心率的取值范围.解答过程：设，，则，由题意得，，，则，两边平方得，整理得，又，所以，变形得到，即上式在上有解，其中，令，则，，要想使得在上有解，只需要开口向上，即，即，所以，，解得故离心率的取值范围是.故答案为：方法提示：本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).四、解答题15.现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．（1）若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？（2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？（3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？答案：（1）122（2）63000（3）4860解析：思路：（1）利用分类加法计数原理将三个年级人数相加即可；（2）利用分步乘法计数原理将三个年级人数相乘即可；（3）结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理分为三类，每一类分成两步相乘再求和即可.（1）从高一选1人作为总负责人有50种选法；从高二选1人作为总负责人有42种选法；从高三选1人作为总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50（种）选法．（2）从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有（种）选法．（3）①从高一和高二中各选1人作为中心发言人，有（种）选法；②从高二和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法；③从高一和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法．故共有（种）选法．16.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．（1）求证：平面；（2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量法求线面角求解即可.（1）在三棱柱中，，，，则.又四边形是正方形，则，，所以.又，平面，因此平面.又平面，所以.在等边中，为中点，则，又，平面，所以平面.（2）取中点为，中点为，则，.由（1）知，平面，平面，则.又，故.又，平面，则平面.即两两垂直.以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，因为为线段中点，所以.，，.设平面的法向量为，则，即，故可取.设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：（1）设等差数列的公差为，由，可得，解得，所以；（2）由（1）知，所以，所以所以所以．18.已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，.（1）求的方程；（2）若直线过点且的面积为，求的方程.答案：（1）（2）或解析：思路：（1）当直线垂直轴时，可求出、的坐标进而求出的值；（2）根据三角形的面积公式，弦长公式，点到直线的距离公式即可求出.（1）设点，，因为抛物线，所以.当直线过点且垂直轴时，直线的方程为，把代入可得，故，所以，所以方程为.（2）由（1）可知，易知直线的斜率不为零，设直线方程为，联立得，则，，所以，又点到直线距离，所以，令，所以，所以，解得或，所以直线方程为或.19.函数，，为自然对数的底数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明函数存在唯一的极值点；（3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）根据导数的几何意义求出切线方程；（2）令