基本不等式课件2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第1课时基本不等式

学习目标基本不等式的证明与理解

请写出我们上节课学习的重要不等式.问题1

问题2

上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.问题3

上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.问题3

方法三(利用几何意义证明)

1.基本不等式：如果a>0，b>0，则

，当且仅当

时，等号成立.2.

叫做正数a，b的算术平均数，

叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数

它们的几何平均数.（基本不等式与重要不等式是不同的，尤其是重要不等式的应用条件是任意实数，而基本不等式的应用条件是两个正实数）

a=b

不小于

(1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0.(2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏.

注

意

点<<<

CA.1个

B.2个

C.3个

D.4个

例2

［教材改编P39探究］(2026·四川省德阳市月考)图2.2-3是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.该图可作为一个数学结论的一个几何解释，这个数学结论可能是(

)C图2.2-3

该题从几何意义角度解释了重要不等式.例3下列结论正确的是(

)B

A

利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足.

反思感悟利用基本不等式求简单式子的最值

小大

CA.16

B.25

C.36

D.49

B

例7[多选题][2026河北保定一中月考]下列选项正确的是

()A.当x>1时,x+

的最小值是3B.已知x<0,则x+

的最大值是-2C.当0<x<10时,

的最大值是5D.设x∈R,则x2+2+

的最小值为2

ABC

解析对于A,由x>1,得x-1>0,则x+

=x-1+

+1≥2

+1=3,当且仅当x-1=

,即x=2时等号成立,所以A正确.对于B,当x<0时,-x>0,所以x+

=-

≤-2

=-2,当且仅当-x=

,即x=-1时等号成立,所以B正确.对于C,

≤

=5,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,所以C正确.对于D,x2+2+

≥2

=2,但x2+2=

无解,所以等号不成立,所以D错误.(1)利用基本不等式求最值的注意点①一正：各项必须为正.②二定：各项之和或各项之积为定值.③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.

反思感悟(2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

反思感悟1.知识清单：(1)基本不等式的证明与理解.(2)利用基本不等式求简单代数式的最值.(3)配凑法求最值.2.方法归纳：配凑法.3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”.随堂演练

BA.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.[2026海南海口第一中学月考]设a,b∈R,且a<b<0,则

()A.

<

B.

>

C.

≥

D.

+

>2

D

解析对于A,因为a<b<0,所以

>

,故A错误;对于B,因为a<b<0,所以

<

<0,所以-

>-

>0,又-a>-b>0,所以

·(-a)>

·(-b)>0,即

>

,故B错误;对于C,因为a<b<0,所以

<0,

>0,所以

<

,故C错误;对于D,因为a<b<0,所以

>0,

>0,所以

+

≥2

=2,当且仅当

=

,即a=b时,等号成立,又a<b,所以

+

>2,故D正确.易错警示利用基本不等式解题要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三