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文档简介
第一课时均值不等式新课程标准解读核心素养1.掌握均值不等式及推导过程数学抽象、逻辑
推理2.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小逻辑推理、数学
运算3.能初步运用均值不等式进行证明和求最值逻辑推理、数学
运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习
必备知识梳理
如图，是第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵
爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来
像一个风车.【问题】
依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
3.重要不等式对任意实数
a
，
b
，有
a2＋
b2≥2
ab
，当且仅当
时，等号
成立.a
＝
b
【想一想】1.均值不等式中的
a
，
b
只能是具体的某个数吗？提示：
a
，
b
既可以是具体的某个数，也可以是代数式.2.均值不等式成立的条件“
a
，
b
＞0”能省略吗？请举例说明.
1.不等式
m2＋1≥2
m
中等号成立的条件是（
）A.
m
＝1B.
m
＝±1C.
m
＝－1D.
m
＝0解析：
若不等式
m2＋1≥2
m
，由重要不等式等号成立的条件：
m
＝1，故选A.2.若
a
＞
b
＞0，则下列不等式成立的是（
）
典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一对均值不等式的理解
A.①②B.①③C.②③D.①②③
②
题型二利用均值不等式比较大小【例2】
（1）已知
a
，
b
∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立
的是（
D
）
（2）已知
a
，
b
，
c
是两两不相等的实数，则
p
＝
a2＋
b2＋
c2与
q
＝
ab
＋
bc
＋
ca
的大小关系是
.解析：∵
a
，
b
，
c
互不相等，∴
a2＋
b2＞2
ab
，
b2＋
c2＞2
bc
，
a2＋
c2＞2
ac
.∴2（
a2＋
b2＋
c2）＞2（
ab
＋
bc
＋
ac
）.即
a2＋
b2＋
c2＞
ab
＋
bc
＋
ac
.∴
p
＞
q
.p
＞
q
A.
P
＞
Q
＞
M
B.
M
＞
P
＞
Q
C.
Q
＞
M
＞
P
D.
M
＞
Q
＞
P
题型三利用均值不等式证明不等式
通性通法利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项（1）策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性
质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，
其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；（2）注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时
成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意
使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不
等式模型再使用.
A.
x
≥2
y
B.
x
＞2
y
C.
x
≤2
y
D.
x
＜2
y
2.
a
，
b
∈R，则
a2＋
b2与2｜
ab
｜的大小关系是（
）A.
a2＋
b2≥2｜
ab
｜B.
a2＋
b2＝2｜
ab
｜C.
a2＋
b2≤2｜
ab
｜D.
a2＋
b2＞2｜
ab
｜解析：
∵
a2＋
b2－2｜
ab
｜＝（｜
a
｜－｜
b
｜）2≥0，∴
a2＋
b2≥2｜
ab
｜（当且仅当｜
a
｜＝｜
b
｜时，等号成立）.故选A.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.若
a
，
b
∈R，且
ab
＝4，可以证明
a2＋
b2≥8成立.请写出等号成立
的条件：
.解析：
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