2026初高中数学衔接教材7讲配答案(浓缩版)

第一部分

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

1绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

aa(>0)

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即aa=0(=0)

−<aa(0)

⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

⑷两个绝对值不等式:|x|<aa(>0)⇔−a<x<a；|x|>aa(>0)⇔x<−a或xa>

2乘法公式：

⑴平方差公式：a22−=+b(aba)(−b)

⑵立方差公式：a33−=−b(aba)(2++abb2)

⑶立方和公式：a33+=+b(ab)(a2−+abb2)

⑷完全平方公式：()a±=±+b22a2abb2，

(a++bc)2=a222+b+c+222ab+ac+bc

⑸完全立方公式：()a±=±b3a33a2b+3ab23±b

3分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程ax=b解的讨论

b

①当a≠0时，方程有唯一解x=；

a

②当a=0，b≠0时，方程无解

③当a=0，b=0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5二元一次方程组：

（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

6不等式与不等式组

（1）不等式：

①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

（2）不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

（3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次

不等式。

（4）一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解

集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

7一元二次方程：ax2+bx+=c0(a≠0)

①方程有两个实数根⇔∆=b2−40ac≥

∆>0

②方程有两根同号⇔c

xx12=>0

a

∆>0

③方程有两根异号⇔c

xx12=<0

a

bc

④韦达定理及应用：x+=−x,xx=

12aa12

∆−b24ac

x22+=x(x+x)22−xx,x−=x(x+x)42−xx==

121212121212aa

33+=+2−+2=++2−

xx12()(xxxxxx121122)()()3xx12xx12xx12

8函数

（1）变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的

数轴上的点表示因变量。

（2）一次函数：①若两个变量y,x间的关系式可以表示成y=kx+b（b为常数，k不等于

0）的形式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比例函数。

（3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐

标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当k<0，b<O，则经2、3、4象限；当k<0，b>0时，则经1、2、

4象限；当k>0，b<0时，则经1、3、4象限；当k>0，b>0时，则经1、2、3

象限。

④当k>0时，y的值随x值的增大而增大，当k<0时，y的值随x值的增大而减少。

（4）二次函数：

b4ac−b2b

①一般式：y=ax22+bx+=ca()x++(a≠0)，对称轴是x=−,

24aa2a

b4ac−b2

顶点是（－,)；

24aa

②顶点式：y=++ax()m2k(a≠0)，对称轴是xm=−,顶点是(−mk,)；

③交点式：yaxxxx=−−(12)()(a≠0)，其中（x1,0），（x2,0）是抛物线与x轴的

交点

（5）二次函数的性质

b

①函数y=ax2++bxc(a≠0)的图象关于直线x=−对称。

2a

bb

②a>0时，在对称轴（x=−）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x=−）

2a2a

b4ac−b2

右侧；y的值随x值的增大而增大。当x=−时，y取得最小值

2a4a

bb

③a<0时，在对称轴（x=−）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（x=−）

2a2a

b4ac−b2

右侧；y的值随x值的增大而减少。当x=−时，y取得最大值

2a4a

9图形的对称

（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那

么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称

的两点确定的线段被对称轴垂直平分。

（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互

相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图

形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

10平面直角坐标系

（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x

轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点O

称为直角坐标系的原点。

（）平面直角坐标系内的对称点：设，是直角坐标系内的两点，

2Mx(,11y)Mxy′(,22)

xx=−

①若M和M'关于y轴对称，则有12。

yy12=

xx=

②若M和M'关于x轴对称，则有12。

yy12=−

xx=−

③若M和M'关于原点对称，则有12。

yy12=−

xy=

④若M和M'关于直线yx=对称，则有12。

yx12=

x=2ax−x=2ax−

⑤若M和M'关于直线xa=对称，则有12或21。

yy12=yy12=

11.几何中高中应复习强化：平行线等分线段定理，平行传递性，梯形中位线，圆中垂径定

理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质，平行、垂直的定义，

判定，性质，三角形的认识、三角形的全等、相似，三角形的的心，梯形、平行四边形、矩

形、菱形、正方形、正六边形的定义、性质,直角三角形的射影定理等。

12统计与概率：

（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成A×10N的形式，其中A大于等于1小于10，

N是正整数。

（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的

大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，

每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。

（3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计

图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占

的百分比。

1

（4）平均数：对于N个数xx,,,x，我们把(xx+++x)叫做这个N个数的

12NN12N

算术平均数，记为x。

（5）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平

均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。

（6）中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间

两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据

叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据

所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，

受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大

致相等时，众数往往没有特别的意义。

（7）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对

象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体

进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样

本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，

人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的

调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。

（8）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值

为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分

布直方图。

（9）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与

平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数

据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。

（10）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些

事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件

都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。

③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

（11）概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可

能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发

生的概率为1，记作P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，记作P（不

可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0<<PA()1

第二部分

分类例题精讲及实战演练

一、数与式的运算

一）、必会的乘法公式

【公式1】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

证明：(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

∴等式成立

1

【例1】计算：(x2−2x+)2

3

1

解：原式=[x2+(−2x)+]2

3

111

=(x2)2+(−2x)2+()2+2x2(−2)x+2x2×+2××(−2x)

333

8221

=x4−22x3+x2−x+

339

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

【公式2】(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3(立方和公式)

证明:(a+b)(a2−ab+b2)=a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3=a3+b3

说明:请同学用文字语言表述公式2.

【例2】计算：（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3

【公式3】(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3(立方差公式)

1．计算

（1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）=

（2）（2x-3）（4x2+6xy+9）=

11111

（3）m−(m2+m+)=

23469

（4）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）=

2．利用立方和、立方差公式进行因式分解

（1）27m3-n3=

1

（2）27m3-n3=

8

（3）x3-125=

（4）m6-n6=

【公式4】()abababab+3=++3332+32

【公式5】()abaababb−=−3332+323−

【例3】计算：

11111

（1）(4+m)(16−4m+m2)（2）(m−n)(m2+mn+n2)

5225104

（3）(a+2)(a−2)(a4+4a2+16)（4）(x2+2xy+y2)(x2−xy+y2)2

解：（1）原式=43+m3=64+m3

1111

（2）原式=(m)3−(n)3=m3−n3

521258

（3）原式=(a2−4)(a4+4a2+42)=(a2)3−43=a6−64

（4）原式=(x+y)2(x2−xy+y2)2=[(x+y)(x2−xy+y2)]2

=(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6

说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式

的结构．

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、

4、…、10的立方数，是非常有好处的．

1

【例4】已知xx2−3+=10，求x3+的值．

x3

1

解：xx2−3+=10∴x≠0∴x+=3

x

1111

原式=(x+)(x2−1+)=(x+)[(x+)2−3]=3(32−3)=18

xx2xx

说明：本题若先从方程xx2−3+=10中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦

琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体

代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

111111

【例5】已知a+b+c=0，求abc(++)(++)(+)的值．

bccaab

解：a+b+c=0,∴a+b=−c,b+c=−a,c+a=−b

b+ca+ca+b

∴原式=a⋅+b⋅+c⋅

bcacab

aabbcc()−()−()−abc333++

=++=−①

bcacababc

a3+b3=(a+b)[(a+b)2−3ab]=−c(c2−3ab)=−c3+3abc

3abc

∴a3+b3+c3=3abc②，把②代入①得原式=−=−3

abc

说明：注意字母的整体代换技巧的应用．

二）、根式

式子aa(≥0)叫做二次根式，其性质如下：

(1)(a)2=aa(≥0)(2)aa2=||

bb

(3)ab=⋅ab(a≥≥0,b0)(4)=(ab>≥0,0)

aa

【例6】化简下列各式：

(1)(3−+2)22(3−1)(2)(1−+−x)22(2xx)(≥1)

解：(1)原式=|3−2||31|2+−=−3+311−=

(x−+1)(x−2)=2xx−3(>2)

*(2)原式=|xx−+1||−=2|

(xx−−1)(−2)=1(1≤≤x2)

说明：请注意性质aa2=||的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字

母的取值分类讨论．

3

【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)

8

311x

(2)(3)+(4)28−+xx3

23+ab2

333×26

解：(1)===

888×24

3(2−−3)3(23)

(2)原式===6−33

(2+−3)(23)232−

a++ba22bab

(3)原式==

abab

2x

(4)原式=2−⋅+×xx2222x=2x−xx+22x=32x−xx

22×

说明：

(1)二次根式的化简结果应满足：

①被开方数的因数是整数，因式是整式；

②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：

①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或

因式开出来；

3xax

②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)．这时可将其化为形式(如可

23+2b2

x

化为)，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采

2

33(2−3)

取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中23+与

23+(2+−3)(23)

23−叫做互为有理化因式)．

有理化因式和分母有理化

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两

ax+byax−by

个代数式叫做有理化因式。如a与a；与互为有理化因式。

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

【例8】计算：

aa

(1)(ab++−+1)(1ab)−(ab+)2(2)+

a−+abaab

解：(1)原式=(1)()(2+b22−a−+aab+=−−b)22aab+2b+1

aa11

(2)原式=+=+

aa(−b)(aa+b)a−+bab

(ab++−)(ab)2a

==

(a+−ba)(b)ab−

说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式

二次根式的运算．

23+−23

【例9】设xy=,=，求xy33+的值．

23−+23

23+(2+3)2

解：x===+743,y=−743⇒x+=y14,xy=1

23−232−

原式=(xyx+)(22−+=+xyy)(xyxy)[(+−)23xy]=14(142−=3)2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根

据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

练习1

1．二次根式aa2=−成立的条件是()

A．a>0B．a<0C．a≤0D．a是任意实数

2．若x<3，则9−+−−6xx2|x6|的值是()

A．－３B．３C．－９D．９

3．计算：

(1)(xyz−−34)2(2)(2a+−1b)2−(a−ba)(+2b)

1

(3)(a+b)(a2−ab+b2)−(a+b)3(4)(a−4b)(a22++4bab)

4

4．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：

1

(1)−8a3(2)a⋅−

a

4ab112

(3)(4)+−

ab−ba23+−231

5．化简：

mm122x−−yxy

(1)9mm+−102m2(2)÷(xy>>0)

325mx2xy2

1133x+−xyy

6．若−=2，则的值为()：

xyx−−xyy

3355

A．B．−C．−D．

5533

11x22++xyy

7．设xy=,=，求代数式的值．

32−+32xy+

111

8．已知a=+xb20,=+=+xc19,x21，求代数式a222++−−−bcabbcac

202020

的值．

51−

9．设x=，求xx42++−21x的值．

2

10．化简或计算：

11321

(1)(18−+4)÷(2)2⋅−2(2−5)2+

2323−352+

xx+xyx++xyy

(3)−

xy−y2xx−yy

三）、分式

当分式A的分子、分母中至少有一个是分式时，A就叫做繁分式，繁分式的化简常用

BB

以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．

x

【例10】化简

1−x

x+

1

x−

x

xxxxxx(+1)x+1

解法一：原式======

1−x(1−⋅xx)x22+−x

xx+−x+xxxx

x2−1(xx+−1)(1)x+1x+1

x

xxxxx(+1)x+1

解法一：原式=====

(1−⋅xx)x(1−x)x2+−x

xx++x−xxx

12−x+1

()xx−⋅x1

x

说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解

AAm×

法二则是利用分式的基本性质=进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．

BBm×

xx2++396xx−1

【例11】化简+−

x22−−279xx62+x

xx2++396xx−116x−1

解：原式=+−=−−

(x−3)(x22++3x9)xx(9−)2(3+xx)−3(x+−3)(x3)2(x−3)

2(x+3)−12−(xx−1)(−3)−−(x3)23−x

===

2(xx+−3)(3)2(xx+−3)(3)2(x+3)

说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分

解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．

四）、多项式除以多项式

做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可

以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减

法。结果表示为：被除式=除式×商式+余式

【例1】计算(x4−3x)÷(3−x2)

−x2−3

解：−x2+3x4+0+0−3x+0

x4+0−3x2

3x2−3x

3x2−9

−3x+9

∴(x4−3x)=(3−x2)×(−x2−3)+9−3x

练习2

计算

1．(3x3+10x2+13x−27)÷(x2+2x−3)

2．(2x2+x3−2)÷(x2−1)

3．已知A=9x4−21x3−2x2+11x−2,B=3x3−5x2−4x+1

求：A2÷B2

二、因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运

算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完

全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．

一）、公式法

【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1)8+x3(2)0.125−27b3

分析：(1)中，82=3，(2)中0.125=0.533,27bb=(3)3．

解：(1)8+=+=+x3233x(2x)(4−+2xx2)

(2)0.125−27b33=0.5−(3b)3=(0.5−3b)[0.52+0.5×+3bb(3)2]

=−(0.53b)(0.25++1.5bb92)

说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如

8a33b=(2ab)3，这里逆用了法则()abn=annb；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，

一定要看准因式中各项的符号．

【例2】分解因式：

(1)3ab34−81b(2)a76−ab

分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现ab66−，

可看着是()ab32−()32或()ab23−()23．

解：(1)3ab3−81b4=3(ba33−27)b=3(ba−3)(ba2++3ab9b2)．

(2)a7−ab6=aa(6−=b6)aa(3+b33)(a−b3)

=+−+−++aaba()(22abb)(aba)(22abb)

=aababa(+)(−)(2++abb22)(a−+abb2)

二)、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于

四项以上的多项式，如ma+mb++nanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，

可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的

关键在于如何分组．

1．分组后能提取公因式

【例3】把2ax−10ay+−5bybx分解因式．

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然

后从两组分别提出公因式2a与−b，这时另一个因式正好都是xy−5，这样可以继续提取

公因式．

解：2ax−10ay+5by−=bx2(ax−5)y−b(x−5)y=−(x5)(2ya−b)

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的

方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

【例4】把ab(c2−−−d2)(a22b)cd分解因式．

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因

式．

解：ab(c2−−−d2)(a22b)cd=abc2−abd22−acd+b2cd

=−+−(abc22acd)(b2cdabd2)

=ac()()()()bc−+adbdbc−=−adbcadac+bd

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了

加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中

所起的作用．

2．分组后能直接运用公式

【例5】把x22−++yaxay分解因式．

分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，

其中一个因式是xy+；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy+.

解：x22−++=+−++=+−+yaxayxyxy()()()()()axyxyxya

【例6】把2428x2++−xyy22z分解因式．

分析：先将系数2提出后，得到xxyyz2+24+−22，其中前三项作为一组，它是一

个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：24282(2xxyyz2++−=22xxyyz2++−224)

=2[(xy+)22−(2)]z=2(xy++2)(zxy+−2)z

说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或

提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多

项式就可以分组分解法来分解因式．

三)、十字相乘法

1．x2++()pqx+pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之

和．

x22++()pqxpqx+=+++pxqxpqxxpqxpxpxq=()()()()+++=++

因此，x2++(pqxpqxpxq)+=+()(+)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

【例7】把下列各式因式分解：

(1)xx2−+76(2)xx2++1336

解：(1)76=−(1)(6),(1)(6)×−−+−=−7

∴xx2−7+6=[x+−(1)][x+−(6)]=(xx−1)(−6)．

(2)36=×49,4+=913

∴+x213x+=+36(xx4)(+9)

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项

系数的符号相同．

【例8】把下列各式因式分解：

(1)xx2+−524(2)xx2−−215

解：(1)−24=−×(3)8,(−+=3)85

∴xx2+5−24=[x+−(3)](x+8)=(x−3)(x+8)

(2)−15=−×(5)3,(−+=−5)32

∴xx2−2−15=[x+−(5)](x+3)=(x−5)(x+3)

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的

因数与一次项系数的符号相同．

【例9】把下列各式因式分解：

(1)x22+−xy6y(2)()8()12xx22+−xx2++

分析：(1)把x22+−xy6y看成x的二次三项式，这时常数项是−6y2，一次项系数是

y，把−6y2分解成3y与−2y的积，而3y+−(2)yy=，正好是一次项系数．

(2)由换元思想，只要把xx2+整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解

二次三项式aa2−+812．

解：(1)x2+−xy6y22=+−=+xyx62(x3y)(x−2y)

(2)(xx22+)−8(xx2+)+12=(xx2+−6)(xx2+−2)

=+−+−(xxxx3)(2)(2)(1)

2．一般二次三项式ax2++bxc型的因式分解

大家知道，2．

(axcaxc1+1)(2+=2)aax12+(acacxcc12+21)+12

反过来，就得到：2

aax12+(acacxcc12+21)+=+12(axcaxc11)(2+2)

我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成

aaa12ccc12aacc1,212,,

ac11

，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于2

×ac12+ac21ax++bxc

ac22

的一次项系数，那么2就可以分解成，其中位于上一

bax++bxc(axcaxc1++12)(2)ac11,

行，位于下一行．

ac22,

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确

定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

【例10】把下列各式因式分解：

(1)12xx2−−52(2)568x22+−xyy

32−

解：2

(1)12xx−5−=2(3x−2)(4x+1)4×1

2212y

(2)5x+−=+6xy8y(x2y)(5x−4y)54×−y

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解

时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是

否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

四)、其它因式分解的方法

1．配方法

【例11】分解因式xx2+−616

解：xx222+−=+××+−−=+616x2x3332216(x3)−52

=(x++35)(x+−35)=(xx+8)(−2)

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平

方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．

2．拆、添项法

【例12】分解因式xx32−+34

分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一

次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0

了，可考虑通过添项或拆项解决．

解：xx32−3+=4(x3+−1)(3x2−3)

=(x+1)(xx22−+1)−3(x+1)(x−1)=(x+1)[(xx−+1)−3(x−1)]

=+(xxx1)(22−+=+44)(xx1)(−2)

说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，

造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将−3x2拆成x2−4x2，将多项式分成

两组()xx32+和−+44x2．

一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：

(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；

(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

练习

3

1．把下列各式分解因式：

(1)a3+27(2)8−m3(3)−+27x38

2．把下列各式分解因式：

(1)xy34+x(2)xnn+33−xy(3)yx22(−+2)x3y2

3．把下列各式分解因式：

(1)xx2−+32