2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题03 常用三角公式与解三角形(解析版)

复习专题03常用三角公式与解三角形

知识点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1.两角和与差的正弦公式

sin()sincoscossin,

sin()sincoscossin.

（1）公式中的、都是任意角．

（2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即sin()sinsin.

（3）注意公式的逆向运用．如：sin()coscos()sinsin[()]sin.

2.两角和与差的余弦公式

cos()coscossinsin

cos()coscossinsin

（1）,为任意角，可以是一个角，也可以是角的组合．

（2）cos()coscos般不成立，但在特殊情况下也可能成立．例如：当0,60

时，cos060cos0cos60．

（3）要注意公式的逆用．如：cos()cossin()sincos[()]cos．

（4）在转化过程中，充分利用诿导公式，构造两角和与差的余较会式的结构形式，然后逆用分式求健。

3.两角和与差的正切公式

tantantantan

tan(),tan().

1tantan1tantan

35

在VABC中，sinB，cosC，求sinA的值.

513

33

【答案】

65

【分析】求出cosB，sinC的值，利用两角和的正弦公式可求得sinA的值.

5

【详解】因为cosC<0，则角C为钝角，角B为锐角，

13

412

故cosB1sin2B，sinC1cos2C，

513

3æ5ö41233

因此，sinAsinBCsinBcosCcosBsinC´ç÷´.

5è13ø51365

35

在VABC中，若cosA，cosB，则cos(AB)等于（）

513

16335663

A．B．C．D．

65656565

【答案】D

【分析】用余弦和角公式cos()coscossinsin展开，代入即可.

35412

【详解】因为在VABC中，cosA，cosB，则sinA,sinB，

513513

3541263

cos(AB)cosAcosBsinAsinB´()´.

51351365

故选：D

æpöæpö

已知tan,tan是一元二次方程3x25x20的两个根，且Îç0,÷,Îç,p÷．

è2øè2ø

(1)求tan()的值；

(2)求的值．

【答案】(1)7

3p

(2)

4

æpöæpö1

【分析】（1）根据Îç0,÷,Îç,p÷，得到tan,tan2，再利用两角差的正切公式求解；

è2øè2ø3

（2）利用两角和的正切公式求解.

1

【详解】（1）解方程3x25x20得x,x2．

132

æpöæpö

因为Îç0,÷,Îç,p÷，

è2øè2ø

1

所以tan,tan2，

3

1

2

tantan

则tan()37．

1

1tantan1´(2)

3

1

(2)

tantan

（2）tan()31．

1

1tantan1´(2)

3

æpöæpö

因为Îç0,÷,Îç,p÷，

è2øè2ø

æp3pö

所以Îç,÷，

è22ø

3p

从而．

4

知识点2两角和与差的正切公式的常见变形

tantantan()(1tantan);

tantantan()(1tantan);

tantan

1tantan;

tan()

tantan

1tantan;

tan()

tantantantantan()tan();

tantantantantan()tan().

知识点3辅助角公式

1.公式形式

22æbö

asinbcosabsin()ç其中tan÷.

èaø

2.推导过程

22

22æaböæaöæbö

asinbcosabçsincos÷.由于ç÷ç÷1，

èa2b2a2b2øèa2b2øèa2b2ø

ab

若令cos,sin，则asinbcos

a2b2a2b2

b

a2b2(sincoscossin)a2b2sin()．其中tan,的终边所在的象限由点

a

(a,b)来确定．

b

（1）asinbcosa2b2．sin()（其中tan）．

a

a

（2）asinbcosa2b2．cos()（其中tan）．

b

a

（3）asinbcosa2b2．cos()（其中tan）。

b

这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦的三角比值与其他常数积的和收缩为一个三角比，这种恒等变

换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式．

知识点4二倍角公式

1.正弦公式：

公式：sin22sincos．

sin2sin2

推广：sin,cos．

2cos2sin

2.余弦公式：

公式:cos2cos2sin22cos2112sin2,

推广cos2(cossin)(cossin),cos2sin22cos2112sin2cos2.

（1）二倍角是相对的，$2a$是a的二倍，是的二倍，是的二倍，22是

224

的二倍，是的二倍，这里䓚含荷换元的思想．

2

（2）在应用二倍角的正切公式时，要注意公式适用的范围，即公式有意义的条件。

3.正切公式：

2tan

公式:tan2.

1tan2

推广2tantan21tan2.

知识点5半角公式

1cos1cos

（1）sin,（2）cos,

2222

1cos

（3）tan，

21cos

sin1cos

（4）半角正切公式的有理形式：tan．

21cossin

知识点6积化和差与和差化积公式

1.积化和差公式：

1

sincos[sin()sin()],

2

1

cossin[sin()sin()],

2

1

coscos[cos()cos()],

2

1

sinsin[cos()cos()].

2

2.和差化积公式：

sinsin2sincos,

22

sinsin2cossin,

22

coscos2coscos,

22

coscos2sinsin.

22

知识点7万能公式

2tan1tan22tan

sin2,cos2,tan2.

1tan21tan21tan2

222

知识点8三角形的面积公式

三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为

111

SabsinCacsinBbcsinA.

222

abc

推论：S2R2sinAsinBsinC,S，

4R

其中R为ABC的外接圆的半径．

三角形常用面积公式

1

（1）Sahh表示边a上的高）．

ABC2aa

1

（2）Sr(abc)(r是三角形内切圆的半径）．

ABC2

（3）SABCp(pa)(pb)(pc)

1

即海伦公式，其中p(abc），为ABC的半周长．

2

知识点9正弦定理

1.正弦定理

abc

在ABC中，若角AB及C所对边的边长分别为a、b及c，则有

sinAsinBsinC

2.正弦定理的推广及常用变形公式

在ABC中，若角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，其外接圆半径为R，则

abc

（1）2R．

sinAsinBsinC

（2）asinBbsinA,bsinCcsinB,asinCcsinA．

（3）sinA:sinB:sinCa:b:c．

abcabcabacbc

（4）2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinAsinBsinAsinCsinBsinC

（比例的性质）

（5）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC（可以实现边到角的转化）．

abc

（6）sinA,sinB,sinC（可以实现角到边的转化）．

2R2R2R

3.正弦定理的齐次结构

结构特点：每一项中都有边(a、b、c)或正弦角(sinA、sinB、sinC)且次数一致，即可实现边和

对应正弦角的互化．

结构示例：

（1）整式齐次式

边的齐次式：bcsinAsinBsinC,abc2sinAsinBsin2C;

角的齐次式：sin2Asin2Bsin2CsinAsinBa2b2c2ab

sinBb

（2）分式齐次式：．

sinAsinCac

知识点10余弦定理

1.余弦定理

在ABC中，设角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，则有

a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

余弦定理的变形：cosA,cosB,cosC.

2bc2ac2ab

(1)正弦定理和余弦定理的选择:已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另

一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论，如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程,

即可求出边，比较两种方法，采用余弦定理较简单

(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一

元二次方程求正实数，因此解题时需特别注意三角形三边长度应满足的基本条件

(3)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广

(4)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的!

（5）余弦定理不但适用于已知三边和已知两边及夹角的情况，也可以解决已知两边及其中一边对角的三角

形求解问题

2.反三角符号的意义

等式条件a的取值范围满足条件的角x

p

sinxa0a1xarcsinaÎ0,

2

p

cosxa0a1xarccosaÎ0,

2

pö

tanxaa0xarctanaÎ0,÷

2ø

（1）当xÎ[1,1]时，

arcsinx表示一个角（弧度制）；

pp

arcsinxÎ,;

22

pp

arcsinx是在,内的正弦值为x所对应的角，即sin(arcsinx)x．

22

（2）当xÎ[1,1]时，

arccosx表示一个角（弧度制）；

arccosxÎ[0,p]；

arccosx是在[0,p]内的余弦值为x所对应的角，即cos(arccosx)x．

（3）当xÎR时，

arctanx表示一个角（弧度制）；

æppö

arctanxÎç,÷；

è22ø

æppö

arctanx是在ç,÷内的正切值为x所对应的角，即tan(arctanx)x.

è22ø

3.用反三角符号表示角

方程方程的解集

|a|1{x∣x2kparcsina,kÎZ}

sinxa|a|<1x∣xkp(1)karcsina,kÎZ

|a|1

|a|1{x∣x2kparccosa,kÎZ}

cosxa|a|<1{x∣x2kparccosa,kÎZ}

|a|1

tanxa{x∣xkparctana,kÎZ}.

知识点11解三角形在实际问题中的应用

1.实际问题中的常用角

名称定义图示

基线在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线

在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与

仰角

水平线的夹角

在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与

俯角

水平线的夹角

从指定方向线到目标方向线的水平角(指定

方向角方向线是指正北或正南或正东或正西,方向

角小于90°)

从正北的方向线按顺时针方向到目标方向

方位角

线所转过的水平角

1测量距离问题的求解策略（1）确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解;若有未知量，则把

未知量放在另外三角形中求解;（2）确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的

定理.

2测量高度问题的求解策略（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角、方向(位)角是关键;（2）在

实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平

面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错;（3）注意山或塔垂直于地面或海平面把空间问题转化为平面问

题.

3测量角度问题的求解策略

（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义;（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余

弦值;（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解

决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.

题型一、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦

35

例1（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）在VABC中，若sinA,cosB，则cosC=（）

513

165616561656

A．B．C．或D．或

656565656565

【答案】A

【分析】根据A、B、C的范围及题中条件，可求得sinB，cosA的值，代入两角和的余弦公式，化简整理，

即可得答案.

【详解】因为在VABC中，所以A,B,CÎ(0,π)，

512

因为cosB，所以sinB1cos2B，

1313

π

因为sinA<sinB，所以A<B<，

2

34

因为sinA，所以cosA1sin2A，

55

3124516

所以cosCcosπABcosABsinAsinBcosAcosB´´.

51351365

故选：A

æ3πöæπö45

1-1（24-25高一下·上海长宁·期中）已知Îçπ,÷，Îç0,÷且sin，sin，则

è2øè2ø513

cos．

16

【答案】

65

【分析】先由同角三角函数关系求得cos,cos，再通过“配角”利用两角和的余弦公式求解即得.

æ3πöæπöæπ3πö

【详解】Îçπ,÷，Îç0,÷，Îç，÷

è2øè2øè22ø

∵54∴

又sin，sin，

135

∵22

2æ5ö122æ4ö3

cos1sin1ç÷，cos=1sin1ç÷，

è13ø13è5ø5

∴

coscoscoscossinsin

∴312æ4ö516

´ç÷´.

513è5ø1365

16

故答案为：.

65

1-2（23-24高一下·上海金山·期末）设x,y为锐角，且3sinx2siny,3cosx2cosy3，则cosxy.

1

【答案】

3

【分析】根据题意，两边平方再相加，结合同角基本关系式、和角的余弦公式求解.

【详解】根据题意，3sinx2siny0,3cosx2cosy3，

22

所以3sinx2siny0,3cosx2cosy9，

即9sin2x12sinxsiny4sin2y0,9cos2x12cosxcosy4cos2y9，

两式相加，得xcos9ysi2nxn4si1y9cos，

1

所以cosxy.

3

1

故答案为：

3

412

1-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知锐角，满足cos，cos，求cos的值．

513

33

【答案】

65

【分析】先由题设求得sin，sin的值，再结合coscos利用两角差的余角公式，代

入即可求得结果.

æπöæπö

【详解】因为Îç0,÷,Îç0,÷，所以Î0,π，

è2øè2ø

412

又因为cos，cos,

513

2

2æ4ö3

所以sin1cos1ç÷，

è5ø5

2

2æ12ö5

sin1cos1ç÷,

è13ø13

所以coscoscoscossinsin

4æ12ö3533

´ç÷´.

5è13ø51365

题型二、用和、差角的余弦公式化简、求值

1

例2（24-25高一下·上海·期中）已知cos45，则cossin．

4

【答案】2

4

【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得.

221

【详解】因为cos45coscos45sinsin45cossin，

224

2

解得cossin.

4

故答案为：2

4

æπö1

2-1（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足sinç÷，则cos.

è3ø3

【答案】223

6

æπöπæπö

【分析】首先求出cosç÷，再由coscosç÷及两角差的余弦公式计算可得.

è3ø3è3ø

πππæπö1

【详解】因为为锐角，所以<<，又sinç÷，

633è3ø3

æπö2æπö22

所以cosç÷1sinç÷，

è3øè3ø3

πæπöπæπöπæπö

所以coscosç÷coscosç÷sinsinç÷

3è3ø3è3ø3è3ø

12231223

´´.

23236

故答案为：223

6

æπö3æπö

2-2（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知Îç,π÷,sin，则cosç÷．

è2ø5è4ø

727

【答案】/2

1010

【分析】由同角三角函数的平方关系求得cos，再根据两角和的余弦公式即可求解．

æπö324

【详解】因为Îç,π÷,sin，所以cos1sin，

è2ø55

æπöππ423272

则cosç÷coscossinsin´´，

è4ø44525210

72

故答案为：．

10

æπöæπöæπö5

2-3（24-25高一下·上海·期中）已知aÎç0,÷,Îç,π÷,tanç÷7,cos.

è2øè2øè4ø13

sinsincos

(1)求的值;

2cos21

(2)求cos的值.

【答案】(1)3

16

(2).

65

【分析】（1）由正切函数的和差角公式可得tan的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果；

（2）由coscos代入计算，即可得到结果.

æπö1tan3

【详解】（1）tanç÷7Þtan

è4ø1tan4

2

æ3ö3

22ç÷

sinsincossinsincostantan

è4ø4

222223

2cos1cossin1tanæ3ö

1ç÷

è4ø

æπöæπö

（2）因为aÎç0,÷，Îç,π÷，所以Îπ,0，

è2øè2ø

512

又cos，所以sin，又，

1313

453æ12ö16

coscoscoscossinsin´´ç÷

5135è13ø65

题型三、逆用和、差角的余弦公式化简、求值

æπöæπö1

例3（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是锐角，且cosç÷cossinç÷sin，则

è6øè6ø2

．

π

【答案】

12

【分析】运用整体的思想，结合两角和的余弦公式进行求解.

æπöæπö1æπö1æπö1

【详解】cosç÷cossinç÷sincosç÷cosç2÷，

è6øè6ø2è6ø2è6ø2

pæπ7πöppπ

由题意，是锐角，则2Îç,÷，则2，解得.

6è66ø6312

π

故答案为：

12

3-1（24-25高一下·北京顺义·阶段练习）cos66cos6sin66sin6的值是

1

【答案】/0.5

2

【分析】应用两角差的余弦公式计算求解.

1

【详解】cos66cos6sin66sin6cos666=cos60.

2

1

故答案为：.

2

3-2（24-25高一上·上海·课后作业）cos75×cos15sin435×sin15.

【答案】0

【分析】运用诱导公式，结合和角公式逆用即可.

【详解】cos75×cos15sin435×sin15cos75×cos15sin(435360)×sin15

cos75×cos15sin75×sin15cos7515cos900.

故答案为：0.

题型四、用和、差角的正弦公式化简、求值

1æπöæπö

例4（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知sin,Îç,π÷，则sinç÷.

3è2øè3ø

【答案】126

6

【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可.

1æπö22

【详解】因为sin,Îç,π÷，所以cos1sin2，

3è2ø3

æπöππ11223126

则sinç÷sincoscossin´´.

è3ø3332326

故答案为：126.

6

4-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，sin3sincos()，则tan取得最大值时，

tan的值为．

【答案】2

【分析】先利用sinsin展开变形，可得tan4tan，再利用tantan展

开变形，将tan用tan表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可.

【详解】sinsinsincoscossin3sincos,

则sincos4sincos，

tantan

所以tan4tan4tan4´，

1tantan

3tan3

tan

整理得24，

tan4tan

tan

因为，均为锐角，且3sincossin0，即cos0，

所以tan0，

44

所以tan³2tan×4，

tantan

4

当且仅当tan，即tan2时等号成立，

tan

33

tan£

所以4，

tan4

tan

所以tan取得最大值时，tan的值为2.

故答案为：2

æπö1π

4-2（24-25高一下·上海·期中）已知sinçx÷，xÎ0,，则x．

è6ø23

【答案】0

æπöæπöπ

【分析】由平方关系求出cosçx÷，利用两角差的公式求出sinxsinçx÷得解.

è6øè6ø6

ππππ

【详解】QxÎ0,，\xÎ,，

3662

æπö2æπö3

\cosçx÷1sinçx÷，

è6øè6ø2

æπöπ1331

则sinxsinçx÷´´0，所以x0.

è6ø62222

故答案为：0.

125

4-3（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角，满足cos及cos()，则sin.

1313

【答案】119

169

【分析】结合角的范围根据同角关系求sin，sin，再根据两角差的正弦公式求sin.

ππ

【详解】由已知0<<，0<<，

22

所以0<<π，

125

因为cos，cos()，

1313

512

所以sin1cos2，sin1cos2，

1313

121255119

所以sinsinsincoscossin´´.

119

故答案为：.

169

题型五、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦

13

例5（24-25高一下·上海宝山·期中）已知,都是锐角，cos，cos，则sin.

35

【答案】462

15

【分析】先根据,的范围得出Î0,π，再根据同角三角函数的关系求出sin、sin，最后利

用两角和差的正弦公式即可.

æπö

【详解】因,都是锐角，则,Îç0,÷，则Î0,π，

è2ø

2