13.3.1 三角形的内角知识点梳理讲义（暑假预习）-2026-2027学年人教版八年级数学上册

13.3.1三角形的内角知识点梳理讲义（暑假预习）2026-2027学年人教版数学八年级上册

暑期自主预习专用·适用对象：八年级学生·预计学习时间：60分钟一、本节预习导航【与小学知识的联系】小学四年级时，我们把一张三角形纸片的三个角剪下来，拼在一起，发现正好拼成一个平角，于是知道了“三角形的内角和是一百八十度”。那时这是一个通过量一量、拼一拼得到的实验结论，只能说明“我量过的这些三角形”内角和都接近180°，并不能保证世界上所有的三角形都如此。进入初中以后，我们已经系统学习了平行线的性质与判定、平角与邻补角等知识，具备了严格推理的工具，于是这一节要做的事情就是：把小学的实验结论升级为一个可以证明的定理，并学会用它去解决求角度、判断三角形形状等一系列问题。【本节核心内容】①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；②定理的两种典型证明方法（过一个顶点作对边的平行线、过一个顶点作一边的平行线并延长另一边）；③用内角和求未知角度，包括已知两角求第三角、按角度比设未知数列方程、与角平分线和高结合求角；④直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；⑤直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；⑥直角三角形的记法Rt△ABC及其边角术语；⑦内角和定理在折叠问题、平行线问题、实际测量问题中的综合应用。【所需图形类型】标注三个内角的一般三角形1个；平角（180°）示意图1个；三个内角拼在同一顶点的“拼角图”1个；直角三角形标注图1个；证明思路流程图1个。建议自己也照着画一遍，边画边默念每一步的依据。【小升初术语衔接】小学说“三角形的三个角加起来是180度”，初中要说“三角形三个内角的和等于180°”，并写成符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。“内角”是相对“外角”而言的：三角形内部的三个角叫内角。此外，“互余”是初中的新词，指两个角的和等于90°；“互补”指两个角的和等于180°。这两个词在后面会反复使用，一定要分清。【数学思想渗透】转化思想（把三个分散的内角通过平行线“搬”到同一个顶点，转化为一个平角）；数形结合思想（用图形直观启发证明思路，再用符号语言严格书写）；方程思想（把未知角设为x，用内角和列出方程求解）；分类讨论思想（题目条件不唯一时，按“哪个角是直角”“哪个角是顶角”分情况讨论）；从特殊到一般的思想（先由剪拼实验猜想，再用推理证明对一切三角形都成立）。二、各小节知识清单（一）三角形内角和定理及其证明🎯第一步：预习目标✔能准确叙述三角形内角和定理，并写出它的符号语言。✔会用剪拼、折叠的方法直观验证内角和是180°，并说明实验只能验证不能证明。✔能完整写出“过顶点作平行线”证明内角和定理的推理过程，每一步都说得出依据。✔知道辅助线可以有多种作法，理解它们的共同思路都是“把三个内角搬到一起拼成平角”。✔体会“添辅助线”这一几何基本手段的作用。📌第二步：知识清单📌知识点1：三角形内角和定理。三角形三个内角的和等于180°。符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。这条定理对任何三角形都成立，不管它是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，也不管它是大是小、是胖是瘦。它是三角形所有角度计算的总源头，可以说是整章最重要的一条结论。📌知识点2：实验验证——剪拼法与折叠法。剪拼法：在硬纸上画一个任意三角形并剪下，再把三个角分别剪下来，把三个角的顶点拼在同一点、边紧挨着边，会发现三个角恰好拼成一条直线，也就是一个平角。折叠法：把三角形的三个角分别向内折，使三个顶点都落到同一条边（比如底边）上的同一点，三个角同样拼成平角。两种做法都指向同一个猜想：内角和等于180°。但要清楚：实验只能验证有限个三角形，不能代替证明，因为剪裁与折叠总有误差，而且我们不可能把所有三角形都试一遍。📌知识点3：定理的证明（作平行线法，教材主证法）。已知：△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。证明：过点A作直线EF∥BC。因为EF∥BC，所以∠EAB=∠B（两直线平行，内错角相等），∠FAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。又因为点E、A、F在同一条直线上，所以∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角的定义）。把前面两个相等关系代入，得∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°。证毕。📌知识点4：证明的其他作法（辅助线不唯一）。作法二：延长BC到点D，再过点C作CE∥AB。这时∠ACE=∠A（内错角相等），∠ECD=∠B（同位角相等），而∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°（平角），代入即得结论。作法三：在边BC上任取一点P，过P分别作PM∥AB、PN∥AC，也能把三个内角搬到点P处拼成平角。不同作法的辅助线不一样，但核心思路完全一致：借助平行线把分散的三个角“搬”到一起，拼成一个平角。这正是转化思想的典型体现。📌知识点5：辅助线的书写规范。添加辅助线时，要在证明的开头用一句话交代清楚：“过点A作EF∥BC”，并在图上把辅助线画成虚线。辅助线一旦作出，就和原图中的线一样可以使用其性质。切记不能“偷偷用图上没有的线”，也不能默认两条看起来平行的线就是平行的——平行必须是作出来的或由条件推出来的。💡方法点拨记忆窍门：“三角内角和一百八，平行搬角拼平角”。写证明时按“作—推—拼—代”四步走：作平行线；用平行线性质推出两组相等角；用平角写出三角和为180°；把相等角代换回三角形的内角。四步走顺了，任何一种辅助线作法都能自己写出来。图1△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C与三边a、b、c。内角和定理说的就是这三个角的度数之和恒为180°。图2平角180°：三个内角剪下后拼在一起，正好铺满一条直线，这就是内角和为180°的直观来源。⚠第三步：特别提醒⚠内角和是180°，与三角形的形状、大小完全无关。一个操场那么大的三角形和一个米粒那么小的三角形，内角和都是180°，不会因为“大”就变多。⚠剪拼、折叠只是“验证”，不是“证明”。凡是题目要求“证明”，必须写出以平行线性质为依据的推理过程。⚠辅助线必须交代作法。写“∵EF∥BC”之前，一定要先写“过点A作EF∥BC”，否则这条平行线就是凭空冒出来的。🔍第四步：易错点剖析❌错例：证明时直接写“∠EAB=∠B，∠FAC=∠C”，不说明理由。错因：漏掉依据“两直线平行，内错角相等”。几何证明的每一步都要有理有据，缺依据就要扣分。✅规避：每写一个等式，就在后面用括号注明依据，养成“一步一理由”的习惯。❌错例：认为“大三角形的内角和比小三角形大”。错因：把“边长”和“角度”混为一谈。角的大小只与两边张开的程度有关，与边的长短无关。✏️第五步：典型例题【例题1】（基础·★☆☆）在△ABC中，∠A=55°，∠B=65°，求∠C的度数。【解】由三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°−∠A−∠B=180°−55°−65°=60°。【答案】∠C=60°。旁批：已知两角求第三角，是内角和定理最直接的用法。【例题2】（中档·★★☆）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，求这三个内角的度数，并判断这个三角形按角属于哪一类。【解】设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x。由内角和定理得2x+3x+4x=180°，即9x=180°，解得x=20°。所以∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。三个角都小于90°，故该三角形是锐角三角形。【答案】40°、60°、80°；锐角三角形。旁批：见到“角度比”，立刻设一份为x，这是方程思想。📝第六步：随堂小测1.三角形三个内角的和等于______度。2.在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，则∠C=______。3.证明内角和定理时，过点A作EF∥BC，依据“两直线平行，______角相等”得到∠EAB=∠B。4.一个三角形的三个内角的度数之比为1∶1∶2，则最大的角是______。5.判断：把三角形放大一倍，它的内角和也放大一倍。（）（二）用内角和定理求角度的常见类型🎯第一步：预习目标✔会由两角求第三角，会由角度比求各角。✔会处理“某角比另一角大（小）多少度”“某角是另一角的几倍”这类关系式。✔会把角平分线、高等条件与内角和结合，分步求角。✔会用方程思想统一处理各类求角问题。📌第二步：知识清单📌知识点6：已知两角求第三角。直接用∠C=180°−∠A−∠B。这是最基本的类型，务必做到又快又准。计算时注意度数的加减，必要时化成同一单位（若出现分、秒，先统一为度或按60进制退位相减）。📌知识点7：按比例求角。若∠A∶∠B∶∠C=m∶n∶p，设一份为x，则三个角依次为mx、nx、px，由(m+n+p)x=180°求出x，再回代。特别地，比为1∶1∶1时三角都是60°（等边三角形），比为1∶2∶3时三角为30°、60°、90°（直角三角形），这两个常见比值可以直接记住。📌知识点8：含倍数、差数关系的求角。如“∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍”，就设∠A=x，则∠B=x+20°，∠C=2x，列方程x+(x+20°)+2x=180°，解得x=40°，从而三角为40°、60°、80°。要点是：把出现次数最多、关系最简单的那个角设为x，可以让方程最简洁。📌知识点9：与角平分线结合。若BD平分∠ABC，则∠ABD=∠DBC=∠ABC的一半。在△BDC中再用一次内角和，就能求出∠BDC。一个常用结论：在△ABC中，若BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB，两条角平分线交于点D，则∠BDC=90°+∠A的一半。推导：∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）的一半=（180°−∠A）的一半=90°−∠A的一半，所以∠BDC=180°−(90°−∠A的一半)=90°+∠A的一半。📌知识点10：与高结合。若AD是BC边上的高，则∠ADB=∠ADC=90°。在直角三角形ABD中，∠BAD=90°−∠B；在直角三角形ACD中，∠CAD=90°−∠C。由此可得一个常用结论：在锐角三角形中，高与角平分线的夹角等于两个底角之差的一半。这类题的通法是：在哪个三角形里求角，就在哪个三角形里用内角和。💡方法点拨求角三部曲：第一步，在图上把已知角标出来，把要求的角标成问号；第二步，找一个“三个角里已知两个”的三角形，用内角和补齐第三个；第三步，如果没有这样的三角形，就设未知数列方程。绝大多数求角题都逃不出这三步。图3内角和的“拼角”演示：把∠1、∠2、∠3分别等于三角形的∠B、∠A、∠C，它们在同一顶点处恰好拼成180°的平角。⚠第三步：特别提醒⚠设未知数时要写清“设∠A=x°”，并在最后检验三个角的和确实是180°，防止算错。⚠角平分线只把一个角平分成两个相等的角，不会把三角形分成两个全等的三角形，不要想当然。⚠钝角三角形的高可能落在三角形外部，画图时要按实际情况画，不能一律画在内部。🔍第四步：易错点剖析❌错例：已知∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，直接答“∠A=2°，∠B=3°，∠C=4°”。错因：把“比”当成了“实际度数”。比只表示倍数关系，必须设一份为x再求。✅规避：见比设份，写2x、3x、4x，再由和为180°解方程。❌错例：求∠BDC时，误在△ABC中用内角和。错因：∠BDC是△BDC的内角，不是△ABC的内角。要求哪个角，就要在包含它的那个三角形里用定理。✏️第五步：典型例题【例题3】（中档·★★☆）在△ABC中，∠A=80°，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于点D，求∠BDC的度数。【解】在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−80°=100°。因为BD、CD分别是角平分线，所以∠DBC+∠DCB等于∠ABC+∠ACB的一半，即50°。在△BDC中，∠BDC=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−50°=130°。【答案】∠BDC=130°。旁批：也可直接套结论∠BDC=90°+∠A的一半=90°+40°=130°。【例题4】（中档·★★☆）在△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，求三个内角的度数。【解】设∠A=x°，则∠B=x+10，∠C=x+20。由内角和得x+(x+10)+(x+20)=180，即3x+30=180，3x=150，x=50。所以∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°。检验：50+60+70=180，正确。【答案】50°、60°、70°。📝第六步：随堂小测1.△ABC中，∠A=42°，∠C=68°，则∠B=______。2.三个内角之比为1∶2∶3的三角形是______三角形。3.△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，则∠BDC=______。4.△ABC中，∠C比∠A大30°，∠B=70°，则∠A=______，∠C=______。（三）直角三角形的两个锐角互余🎯第一步：预习目标✔能由内角和定理推出“直角三角形的两个锐角互余”。✔会用性质由一个锐角求另一个锐角。✔掌握判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。✔会用记号Rt△ABC，并能说出直角边与斜边。📌第二步：知识清单📌知识点11：直角三角形的性质。直角三角形的两个锐角互余。推理：设∠C=90°，由∠A+∠B+∠C=180°，得∠A+∠B=180°−90°=90°，所以∠A与∠B互余。符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。📌知识点12：直角三角形的判定。有两个角互余的三角形是直角三角形。推理：若∠A+∠B=90°，则∠C=180°−(∠A+∠B)=180°−90°=90°，所以△ABC是直角三角形。性质与判定互为逆命题，一个由“直角”推“互余”，一个由“互余”推“直角”，使用时要分清方向。📌知识点13：直角三角形的记法与术语。直角三角形ABC记作Rt△ABC。夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。斜边是三角形中最长的一条边。习惯上把直角顶点写在字母的最后，如Rt△ABC中通常∠C=90°，此时AC、BC是直角边，AB是斜边。📌知识点14：一个三角形最多有一个直角或一个钝角。因为两个直角的和已经是180°，第三个角就没有度数可分了；两个钝角的和更大于180°，与内角和矛盾。由此还能得到：三角形中至少有两个锐角。这条结论在判断“某个三角形是否可能存在”的题目里非常好用。💡方法点拨看到“直角三角形”四个字，脑子里要立刻蹦出“两锐角互余”，把90°提前扣掉，问题往往就变简单了。反过来，题目给出“两个角的和是90°”，就要马上意识到这是一个直角三角形。“互余”只针对两个角，三个角的和是90°不叫互余。图4直角三角形Rt△ACB：∠C=90°，AC与CB是直角边，AB是斜边，两个锐角∠A与∠B互余。⚠第三步：特别提醒⚠“互余”是两个角的和为90°，“互补”是两个角的和为180°，两个词只差一个字，含义相差90°，千万别混。⚠只有直角三角形才谈“斜边”，锐角三角形和钝角三角形没有斜边这个说法。⚠一个三角形不可能有两个直角，也不可能有两个钝角，更不可能既有直角又有钝角。🔍第四步：易错点剖析❌错例：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，答∠B=180°−35°=145°。错因：忘了先减去直角。正确算法是∠B=90°−35°=55°，或180°−90°−35°=55°。✅规避：先把90°扣掉，剩下90°由两个锐角平分。❌错例：认为“三角形的三个角互余”。错因：“互余”这个概念专指两个角，且和为90°；三个内角的和是180°，不是互余关系。✏️第五步：典型例题【例题5】（基础·★☆☆）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，求∠A与∠B的度数。【解】因为∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。设∠B=x°，则∠A=2x°，于是2x+x=90，3x=90，x=30。所以∠B=30°，∠A=60°。【答案】∠A=60°，∠B=30°。旁批：这就是含30°角的直角三角形，第十五章还会再见到它。【例题6】（中档·★★☆）在△ABC中，∠A+∠B=∠C，判断△ABC的形状，并说明理由。【解】由内角和定理∠A+∠B+∠C=180°，把∠A+∠B换成∠C，得∠C+∠C=180°，即2∠C=180°，∠C=90°。所以△ABC是直角三角形。【答案】直角三角形。旁批：“一个角等于另两个角之和”是直角三角形的常见伪装。📝第六步：随堂小测1.Rt△ABC中∠C=90°，∠A=28°，则∠B=______。2.若一个三角形的两个内角互余，则这个三角形是______三角形。3.直角三角形中，直角所对的边叫做______。4.一个三角形最多有______个直角。（四）内角和定理的综合应用🎯第一步：预习目标✔会在含平行线的图形中综合使用平行线性质与内角和定理。✔会处理简单的折叠问题，抓住“折叠前后对应角相等”。✔能把实际测量、方位角问题转化为三角形求角问题。📌第二步：知识清单📌知识点15：与平行线综合。图形中一旦出现平行线，就要立刻想到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补三条性质。把平行线提供的相等角“搬”到某个三角形中，再配合内角和，往往一两步就能求出目标角。这类题的关键是找准“被截的两条平行线”和“截线”。📌知识点16：折叠（翻折）问题。折叠的本质是轴对称：折痕两侧的图形完全重合，所以折叠前后的对应角相等、对应线段相等。解折叠题的第一步是把重合的角用相同的记号标出来，第二步是在某个三角形中用内角和列方程。例如把△ABC沿DE折叠，点A落到A′，则∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED。📌知识点17：实际问题中的求角。航海、测量中常给出方位角（如“北偏东60°”），解题时先把方位线（正北、正南）画出来，把方位角标清楚，再在三角形中用内角和求解。要注意正北方向与正南方向平行，这常常是把角“搬”过去的桥梁。💡方法点拨综合题的通用套路：先在图上标已知、标问号；再找“三角形”与“平行线”这两个突破口；最后用内角和或平行线性质把未知角一步步逼出来。若一步求不出，就设未知数，把图上的角都用这个未知数表示，再用一个等量关系列方程。图5内角和定理证明的四步流程：作平行线→用平行线性质找相等角→用平角得三角之和→等量代换得结论。⚠第三步：特别提醒⚠折叠题中，重合的角一定相等，但重合的角不一定是你“看着像”的那一对，务必按折叠的对应关系确定。⚠方位角一律从正北或正南方向开始度量，写成“北偏东×°”，不要写成“东偏北×°”。🔍第四步：易错点剖析❌错例：折叠后直接认为“折痕平分某个内角”。错因：折痕只保证对应角相等，只有当折叠是把一条边翻到另一条边上时，折痕才是角平分线。✏️第五步：典型例题【例题7】（中档·★★☆）如图，在△ABC中，∠A=70°，DE∥BC，且D在AB上，E在AC上，∠ADE=60°，求∠C的度数。【解】在△ADE中，∠AED=180°−∠A−∠ADE=180°−70°−60°=50°。因为DE∥BC，所以∠C=∠AED=50°（两直线平行，同位角相等）。【答案】∠C=50°。旁批：平行线负责“搬角”，内角和负责“补角”。【例题8】（拓展·★★★）把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处（D在AB上，E在AC上）。若∠A=65°，求∠1+∠2的度数，其中∠1=∠BDA′，∠2=∠CEA′。【解】设∠ADE=∠A′DE=x，∠AED=∠A′ED=y。在△ADE中，x+y=180°−65°=115°。而∠1=180°−2x，∠2=180°−2y，所以∠1+∠2=360°−2(x+y)=360°−2×115°=130°。【答案】∠1+∠2=130°=2∠A。旁批：结论“∠1+∠2=2∠A”值得记住。📝第六步：随堂小测1.△ABC中，DE∥BC，∠A=50°，∠ADE=70°，则∠B=______。2.把顶角为40°的三角形纸片按上题方式折叠，则∠1+∠2=______。三、本节思维导图（中心：13.3.1三角形的内角）┌─定理：∠A+∠B+∠C=180°（对一切三角形成立）├─验证：剪拼法、折叠法（只能验证，不能代替证明）├─证明：过顶点作平行线→内错角相等→拼成平角→等量代换├─应用一：已知两角求第三角/按比设x/倍差关系列方程├─应用二：与角平分线结合（∠BDC=90°+∠A的一半）、与高结合├─推论：直角三角形两锐角互余；两角互余则为直角三角形└─综合：平行线搬角、折叠对应角相等、方位角实际问题四、本节核心概念速查卡🔑内角和定理：△ABC中∠A+∠B+∠C=180°。🔑证明关键：过顶点作对边的平行线，把三个角搬到一起拼成平角。🔑依据：两直线平行内错角相等；平角等于180°。🔑求第三角：∠C=180°−∠A−∠B。🔑按比求角：比为m∶n∶p，则各角为180°乘以各自所占的份数比例。🔑常见比值：1∶1∶1→等边；1∶2∶3→30°、60°、90°。🔑直角三角形性质：两个锐角互余（和为90°）。🔑直角三角形判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。🔑角平分线结论：两内角平分线的交点D满足∠BDC=90°+∠A的一半。🔑折叠结论：沿DE折叠△ABC，则∠1+∠2=2∠A。🔑角的个数限制：一个三角形最多一个直角、最多一个钝角，至少两个锐角。🔑术语：互余为90°，互补为180°；直角边与斜边只属于直角三角形。记忆口诀：三角内角和一百八，平行搬角拼平角；直角三角两锐余，见比设份列方程；折叠对应角相等，一加二等于两个甲。五、本节易错点汇总1.【实验代证明】用剪拼代替严格证明，或证明时不写辅助线的作法。2.【依据缺失】写出角相等却不注明“两直线平行，内错角相等”等依据。3.【比当度数】把角度比2∶3∶4直接当成2°、3°、4°。4.【张冠李戴】要求△BDC中的角，却在△ABC中用内角和。5.【余补混淆】把“互余”当成“互补”，在直角三角形中用180°减去一个锐角。6.【折叠误判】以为折痕一定平分某个内角，或找错重合的对应角。7.【形状误判】认为三角形可以有两个直角，或认为大三角形内角和更大。六、本节分层自测卷（共10题）A层·基础巩固（5题）1.三角形的内角和等于______。2.△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，则∠C=______。3.Rt△ABC中∠C=90°，∠B=37°，则∠A=______。4.三个内角相等的三角形，每个角是______。5.判断：一个三角形可以有两个钝角。（）B层·能力提升（3题）6.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，求三个内角的度数。7.△ABC中，∠A=50°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB且交于D，求∠BDC。8.△ABC中，∠B=2∠A，∠C=3∠A，判断三角形的形状。C层·拓展挑战（2题）9.已知AD是△ABC中BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度数。10.说理：为什么任意三角形中至少有两个锐角？请用内角和定理说明。七、参考答案与解析【随堂小测（一）】1.180；2.60°；3.内错；4.90°（设一份为x，4x=180°，x=45°，最大角2x=90°）；5.错误，内角和恒为180°，与大小无关。【随堂小测（二）】1.70°；2.直角（1+2+3=6份，一份30°，最大角90°）；3.120°（90°+30°）；4.∠A=40°，∠C=70°（设∠A=x，x+70+x+30=180，2x=80，x=40）。【随堂小测（三）】1.62°；2.直角；3.斜边；4.1。【随堂小测（四）】1.70°（DE∥BC且∠ADE与∠B是同位角）；2.80°（2×40°）。【分层自测卷】A：1.180°；2.60°；3.53°；4.60°；5.错误（两个钝角之和已大于180°）。B：6.设一份为x，12x=180°，x=15°，三角为45°、60°、75°；7.∠BDC=90°+25°=115°；8.设∠A=x，x+2x+3x=180°，x=30°，三角为30°、60°、90°，是直角三角形。C：9.在△ABC中∠BAC=180°−40°−70°=70°，AE平分∠BAC故∠BAE=35°；在Rt△ABD中∠BAD=90°−40°=50°；所以∠DAE=∠BAD−∠BAE=50°−35°=15°。（也可用结论：高与角平分线的夹角等于两底角之差的一半，即(70°−40°)÷2=15°。）10.反证：若三角形中最多只有一