小学六年级数学上册《构建模型 以简驭繁-分数除法“解决问题（2）”》教案

小学六年级数学上册《构建模型以简驭繁——分数除法“解决问题（2）”》教案一、教学分析（一）教材分析【基础】本课是义务教育人教版六年级上册第三单元《分数除法》中的第五课时，教学内容为教科书第36页例5及相应的练习。在此之前，学生已经掌握了分数乘法的意义，学习了“求一个数的几分之几是多少”的分数乘法问题，以及“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的简单分数除法问题。例5正是在此基础上，将情境复杂化，引入“比一个数多（或少）几分之几”的数量关系。这类问题是整数中小学“和倍问题”、“差倍问题”的延伸，也是后续学习百分数应用题（如“求比一个数多（少）百分之几的数是多少”）的重要基石，在整个分数、百分数应用体系中具有承上启下的核心地位。（二）学情分析【重要】六年级学生已具备一定的逻辑思维能力和画图分析能力，能从关键句中分析数量关系。但“比一个数多（少）几分之几”这类表述对学生来说依然是一个认知难点。学生的思维容易停留在对分率的机械记忆上，而难以深刻理解分率所对应的单位“1”以及比较量与单位“1”之间的动态关系。具体表现为：容易找错单位“1”，混淆具体数量和分率，难以将“比单位‘1’多（少）几分之几”转化为“比较量是单位‘1’的（1±几分之几）”。因此，本课的核心任务不在于教授所谓的“解题套路”，而在于帮助学生借助几何直观（线段图）和代数思维（列方程），完成对复杂数量关系的模型建构，实现从“算术思维”到“代数思维”的平滑过渡。二、教学目标1.【基础】通过自主探究与合作交流，能结合具体情境，理解“比一个数多（少）几分之几”的含义，能找准单位“1”，并准确分析数量关系。2.【核心】能借助线段图分析题目中的数量关系，会用两种等量关系（乘法关系、和差关系）列出方程解决“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，体会方程是解决逆向思维问题的优越性。3.【重要】在解决问题的过程中，经历“阅读与理解—分析与解答—回顾与反思”的完整步骤，培养几何直观、模型意识和应用意识，感受数学与生活的紧密联系。4.【热点难点】沟通分数乘法、分数除法及整数加减法之间的内在联系，感悟转化思想，构建知识网络，提升分析问题和解决问题的能力。三、教学重难点（一）教学重点【重要】掌握用方程解决“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的问题的方法，能正确找出题中的数量关系。（二）教学难点【难点】深刻理解分率句的含义，能将“比一个数多（少）几分之几”正确转化为“比较量是单位‘1’的几分之几”，并用线段图清晰表达这种关系。四、教学准备多媒体课件、学习任务单、直尺。五、教学过程（一）唤醒经验，引入新课（预计5分钟）1.【基础回顾】课件出示复习题。（1）小明的体重是35kg，他体内水分的质量占体重的4/5。小明体内水分有多少千克？（2）小明的体重是35kg，是爸爸体重的7/15。爸爸的体重是多少千克？学生独立完成，并指名汇报。【设计意图】通过两道简单的一步应用题，唤醒学生对“求一个数的几分之几”和“已知一个数的几分之几求这个数”的解题经验，为新课学习做好知识和方法的铺垫。2.【制造冲突】课件将第（2）题的条件进行修改：将“是爸爸体重的7/15”改为“比爸爸的体重轻8/15”。引出课题。师：同学们，现在条件变了，题目的意思发生了变化。这里的“轻8/15”是什么意思呢？单位“1”又是谁？今天我们就来继续研究分数除法的解决问题。（板书课题：解决问题（2））（二）合作探究，建构模型（预计20分钟）1.阅读与理解——理清脉络。（1）课件出示例5：小明的体重是35kg，他的体重比爸爸的体重轻8/15。小明爸爸的体重是多少千克？（2）学生默读题目，尝试用自己的话说说题目的意思。（3）聚焦核心问题：师：从“小明的体重比爸爸的体重轻8/15”这句话中，你读懂了什么？谁是单位“1”？“8/15”表示的是谁的几分之几？【学情预设】学生可能会回答：“爸爸的体重是单位‘1’”。“轻8/15”意思是小明的体重比爸爸轻的部分，占爸爸体重的8/15。【非常重要】教师引导学生明确：这里的8/15是两个数量比较的结果，它是一个分率。它表示把爸爸的体重看作单位“1”，平均分成15份，小明比他轻的正好相当于这样的8份。2.分析与解答——几何直观，代数建模。（1）画图分析，化抽象为具体。师：刚才我们通过文字理解了题意，但还不够直观。我们能否用线段图来清晰地表示出“爸爸的体重”、“小明的体重”以及“轻8/15”之间的关系？【核心活动】学生尝试在学习任务单上画线段图，教师巡视指导，寻找典型作品。交流展示：请一名学生上台展示自己的画法，并说明理由。【难点突破】教师引导全班讨论：为什么先画爸爸的体重？（因为它是单位“1”）把爸爸的体重平均分成几份？怎么表示“轻8/15”？小明的体重应该画多长？师生共同完善线段图（板书于黑板）：1.3.先画一条线段表示“爸爸的体重”，并标注“？kg”。2.4.将这条线段平均分成15份。3.5.在上面画出第二条线段表示“小明的体重”，这条线段要比爸爸的短，短的部分正好对应爸爸的8/15，并在短的部分上标注“轻8/15”。4.6.在小明的体重线段上标注“35kg”。（2）数形结合，探寻等量关系。师：看着这幅线段图，你能发现小明的体重和爸爸的体重之间有什么等量关系吗？小组内交流讨论，教师参与其中，倾听学生的想法。全班汇报，根据学生的回答板书不同的等量关系式。【学情预设】学生可能会出现两种关键思路：1.7.思路一（和差关系）：爸爸的体重—小明比爸爸轻的部分=小明的体重。板书：爸爸的体重—爸爸的体重×8/15=352.8.思路二（倍数关系）：小明的体重相当于爸爸体重的（1—8/15）。板书：爸爸的体重×（1—8/15）=35【非常重要】教师追问：为什么小明的体重是爸爸的（18/15）？引导学生结合线段图理解：从单位“1”中去掉轻的那部分，剩下的就是小明体重对应的分率。（3）尝试列式，体会方程优越性。师：根据我们找到的等量关系，你能独立列式解答吗？试试看。学生独立尝试，教师巡视，选择有代表性的解法在黑板上板演。【学情预设】学生可能出现的方法：1.9.算术法：35÷（1—8/15）=35÷7/15=35×15/7=75（kg）2.10.方程法一：解：设爸爸的体重为xkg。x—8/15x=35（1—8/15）x=357/15x=35x=35×15/7x=753.11.方程法二：解：设爸爸的体重为xkg。（1—8/15）x=35（4）对比优化，聚焦方程思想。组织学生对比三种解法。师：请观察黑板上的几种方法，它们之间有什么联系？你觉得哪种方法更能清晰地表达我们刚才从线段图中找到的等量关系？【核心归纳】引导学生认识到，算术法虽然书写简单，但需要逆向思考，列式时需要先求出小明体重对应的分率（18/15），思维过程是逆向的。而方程法将未知量设为x，直接顺着题意把等量关系“翻译”成方程，思维过程是顺向的，更容易理解和把握。特别是对于复杂的分数除法问题，方程是更通用、更有效的解题策略。12.回顾与反思——检验模型，完善认知。（1）检验结果。师：我们求出的75kg是正确答案吗？如何检验？【学情预设】引导学生从不同角度检验：1.13.看爸爸体重的7/15是否等于35kg。75×7/15=35（√）2.14.看小明的体重是否比爸爸轻8/15。（7535）÷75=40÷75=8/15（√）（2）总结解题步骤。师：回顾我们解决这个问题的过程，经历了哪些步骤？【重要】师生共同小结解决问题的三部曲：a.阅读与理解：找关键句，确定单位“1”，明确问题。b.分析与解答：画线段图分析数量关系；根据数量关系列出等量关系式；根据等量关系式列方程（或算式）解答。c.回顾与反思：检验结果，写答语。（三）变式练习，深化模型（预计8分钟）1.【基础练习】教材第38页“做一做”：我国建有杂交水稻试验田，其中A试验田的面积是1.2万平方米，比B试验田的面积少1/4。B试验田的面积是多少万平方米？要求：学生独立画图分析，并用方程解答。指名板演，集体评议。2.【变式练习】将例5中的“轻8/15”改为“重8/15”。师：如果把“比爸爸轻”改为“比爸爸重”，线段图会有什么变化？等量关系又该怎样写？学生口头改编题目，并尝试列方程。【热点】通过正反例的对比，强化学生对“比单位‘1’多（少）几分之几”的理解，体会当单位“1”未知时，方程法的普适性。（四）巩固应用，拓展提高（预计7分钟）1.【重要练习】教材第40页“练习八”第7题。题目：一本课外读物，小红读了35页，还剩下2/7没有读。这本课外读物一共有多少页？提示：先找到关键句，确定单位“1”，再画出线段图。重点理解“还剩下2/7没有读”意味着读了（12/7）。2.【拓展练习】教材第40页“练习八”第8题。题目：在通常情况下，体积相等的冰的质量比水的质量少1/10。现有一块重9kg的冰，如果有一桶水的体积和这块冰的体积相等，这桶水有多重？提示：本题信息较多，先要明确比较的对象。引导学生抓住核心句“冰的质量比水的质量少1/10”，理解这里单位“1”是“水的质量”。要求水的质量，可以设水的质量为xkg，列出方程x—1/10x=9。（五）课堂总结，畅谈收获（预计5分钟）1.师：通过今天这节课的学习，你有什么收获？【学情预设】引导学生从知识、方法、思想等角度进行总结。1.2.知识上：学会了解决“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的问题。2.3.方法上：可以通过画线段图帮助理解题意；可以利用方程顺向思维解决问题；解决问题的基本步骤是“阅读与理解—分析与解答—回顾与反思”。3.4.思想上：体会了数形结合、转化、模型等数学思想。5.教师总结升华：同学们，今天我们面对一个看起来复杂的问题，没有急于去寻找一个“窍门”或“公式”，而是踏踏实实地通过画图理解关系，再用方程把关系“翻译”出来。这种“以不变应万变”的方程思想，就是我们解决许多实际问题的“金钥匙”。六、板书设计解决问题（2）——已知比一个数多（少）几分之几，求这个数【线段图】等量关系：（略）方法一：爸爸体重—爸爸×8/15=小明x—8/15x=35方法二：爸爸×（1—8/15）=小明（1—8/15）x=35解：设爸爸的体重为xkg。（1—8/15）x=357/15x=35x=35×15/7x=75答：小明爸爸的体重是75kg。解题三部曲：阅读理解→分析解答→回顾反思七、教学反思本课教学设计，力求摒弃传统的“题型教学”模式，转而聚焦于数学核心素养的培养，特别是“模型意识”与“几何直观”的渗透。1.凸显几何直观，突破认知障碍。将线段图作为贯穿始终的核心工具，不仅仅是展示，更重要的是引导学生经历“尝试画—修正画—解读画”的过程，让抽象的“分率”变得可视、可感，从而深刻理解“轻8/15”的真正含义，为寻找等量关系奠定了坚实的基石。2.强化代数思维，实现思维进阶。在列式环节，没有简单否定算术法，而是通过