2025~2026学年福建莆田第五中学九华分校高一下册期中考试数学试题【含答案】

/数学一、单选题1.复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，，若，则实数（）A. B. C.2 D.43.在中，，则（）A.2 B.3 C.4 D.4.在中，D为的中点，E为上一点，则（）A. B. C. D.5.如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（

）A. B. C.2 D.6.下列命题中，正确的是（

）A.若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线B.若两直线a，b都与平面平行，则C若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行D.若直线a平行于平面，直线b在平面内，则7.如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（）A.30海里 B.40海里 C.50海里 D.60海里8.在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为（）①若，则一定为等腰三角形②若，则一定为锐角三角形③若，，则面积的最大值为A.0 B.1 C.2 D.3二、多选题9.已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）=i2020，则下列说法错误的是（）A.复数z的模为 B.复数z的共轭复数为C.复数z的虚部为 D.复数z在复平面内对应的点在第一象限10.下列关于空间几何体论述，不正确的是（

）A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线D.圆台的轴截面不可能为直角梯形11.已知向量，则下列结论正确的是（）AB.与同向的单位向量为C.在上的投影向量为D.若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是三、填空题12.已知，为相互垂直的单位向量，则__________.13.已知某圆锥侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______.14.如图，在棱长为4的正方体中，E、F分别是AB、的中点，点P是上一点，且平面CEF，则四棱锥外接球的表面积为________．四、解答题15.已知复数是实数，是虚数单位．（1）求复数；（2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．16.已知向量，.（1）当时，求的值；（2）当，，求向量与的夹角.17.如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是．（1）求这种“浮球”的体积；（2）现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角；（2）若的面积，，求边的大小.19.如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．（1）判断直线PM与位置关系（直接写答案，不用证明）（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．

数学一、单选题1.复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数,进而得到其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.解答过程：，因此，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D方法提示：本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，利用复数的除法法则将复数化为一般形式是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.2.已知向量，，若，则实数（）A. B. C.2 D.4答案：A解析：思路：直接根据向量平行得到关系式，解得答案.解答过程：已知向量，，若，所以，则实数.故选：A.3.在中，，则（）A.2 B.3 C.4 D.答案：A解析：思路：利用余弦定理计算即可.解答过程：由题可知：，所以.故选：A4.在中，D为的中点，E为上一点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解.解答过程：由已知，D为的中点，所以，所以.故选：D.5.如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（

）A. B. C.2 D.答案：D解析：思路：在直观图中求出，画出原图形，求出边长和面积.解答过程：在直观图中，，在三角形中，过点作⊥于点，则，，故，还原直观图得原图如下，，由得，所以的面积为.故选：D6.下列命题中，正确的是（

）A.若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线B.若两直线a，b都与平面平行，则C.若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行D.若直线a平行于平面，直线b在平面内，则答案：C解析：解答过程：对于A，若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，错误；对于B，若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，错误；对于C，如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，正确.对于D，若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，错误；7.如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（）A.30海里 B.40海里 C.50海里 D.60海里答案：A解析：解答过程：在中，，，则，，由正弦定理得（海里）．则B、C两点间的距离为海里.8.在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为（）①若，则一定为等腰三角形②若，则一定为锐角三角形③若，，则面积的最大值为A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：思路：①根据正弦定理及二倍角公式化解可得或，进而判断即可；②结合平面向量的定义可得，即可得到为锐角，进而判断即可；③根据余弦定理及基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解判断即可.解答过程：①由，根据正弦定理得，则，所以或，则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故①错误；②由，则，所以为锐角，此时不一定为锐角三角形，故②错误；③由余弦定理得，则，当且仅当时等号成立，则，故③正确.故选：B.二、多选题9.已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）=i2020，则下列说法错误的是（）A.复数z的模为 B.复数z的共轭复数为C.复数z的虚部为 D.复数z在复平面内对应的点在第一象限答案：ABC解析：思路：直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断A、B、C、D的结论．解答过程：解：复数满足，整理得．对于A：由于，故，故A错误；对于B：由于，故，故B错误；对于C：复数的虚部为，故C错误；对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确；故选：ABC．10.下列关于空间几何体的论述，不正确的是（

）A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线D.圆台的轴截面不可能为直角梯形答案：ABC解析：解答过程：对于A，如图1利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误；对于B，如图2该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误；对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误；对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形，这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线形成对称的等腰梯形，故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确．11.已知向量，则下列结论正确的是（）A.B.与同向的单位向量为C.在上的投影向量为D.若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是答案：AB解析：思路：对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断．解答过程：对于，故A正确；对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确；对于在上的投影向量为，故C错误；对于D，因，则，由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误．故选：AB.三、填空题12.已知，为相互垂直的单位向量，则__________.答案：解析：解答过程：因为，为相互垂直的单位向量，所以，所以.13.已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______.答案：##解析：思路：设圆锥母线长为，底面圆半径长，根据圆面积解得，进而求得圆锥的高，即可求解体积.解答过程：设圆锥母线长为，底面圆半径长，因为侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为，半圆弧长为，所以，即，因为表面积是侧面积与底面积的和，所以，所以，则圆锥的高，所以.故答案为：14.如图，在棱长为4的正方体中，E、F分别是AB、的中点，点P是上一点，且平面CEF，则四棱锥外接球的表面积为________．答案：解析：思路：根据线面平行的性质定理可得，进而，然后根据长方体的性质及球的表面积公式即得.解答过程：连接BD交CE于O，连接OF，则，因为平面，平面，平面平面，所以，．∵F是的中点，，所以，∴三棱锥外接球直径为，所以所求表面积为．故答案为：．四、解答题15.已知复数是实数，是虚数单位．（1）求复数；（2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．答案：（1）（2）.解析：思路：（1）利用复数的除法运算以及实数的概念求解；（2）利用复数的乘法运算化简，结合复数的几何意义求解.（1）因为，所以.又因为是实数，所以，所以.所以.（2）因为，所以.又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得，即实数的取值范围是.16.已知向量，.（1）当时，求的值；（2）当，，求向量与的夹角.答案：（1）或（2）解析：思路：（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解；（2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解.（1）向量，，则，由，可得，即，即，解得或.（2）由，，则，由，可得，解得，所以，，，又，所以.17.如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是．（1）求这种“浮球”的体积；（2）现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？答案：（1）（2）元解析：思路：（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求出几何体的表面积，即可估计费用.（1）因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径，圆柱筒的高，所以两个半球的体积之和为，圆柱的体积，∴该“浮球”的体积是；（2）根据题意，上下两个半球的表面积是，而“浮球”的圆柱筒的侧面积为，∴“浮球”的表面积；所以共需花费（元）.18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角；（2）若的面积，，求边的大小.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解；（2）由面积公式求出，即可求出、，再由余弦定理计算可得.（1）因为，由正弦定理得，∴，∴，在中，，得，，，，.（2），又，，所以，得，又∵，∴或，由余弦定理得，所以.19.如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．（1）判断直线PM与的位置关系（直接写答案，不用证明）（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．答案：（1）异面（2）证明见解析（3）解