2025~2026学年甘肃兰州新区贺阳高级中学等校高一下册期中数学试题【含答案】

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若，则＝（）A. B. C. D.3.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.4.已知向量，，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.5.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.某游艇从A地出发向北航行了一段距离到达B地，然后从B地向东偏南60°方向航行了40km到达C地，且C地在A地北偏东20°方向上，则A地与C地之间的距离为（取）（）A.30km B.50km C.60km D.80km8.函数的图象经过点，且的最小值为，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知奇函数在上单调递减，且，则的值可能为（）A. B. C. D.10.已知点，向量，且是直角三角形，则的值可能为（）A. B. C. D.11.已知的内角的对边分别为，且，为线段上的一点，则下列结论正确的是（）A.B.的周长为C.若为的中线，则D.若为的角平分线，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某企业8名员工的年收入（单位：万元）分别为5.2，6，6.4，7.5，8，8.3，9，10，则这组数据的第25百分位数为______万元．13.已知，则的值为______．14.若向量满足，，则与夹角的余弦值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求△ABC外接圆的面积；（2）若，求的面积．16.已知复数．（1）若为实数，求m的值；（2）若为纯虚数，求；（3）证明：在复平面内对应的点位于第四象限．17.已知函数．（1）求在上的值域；（2）已知，且，求．18.如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点均在圆O上，E为边BC的中点．（1）用表示．（2）求．（3）若P为圆O上的一个动点，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求a．（2）已知．（i）证明：．（ii）求的最大值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，故B正确．2.若，则＝（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：．3.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以的共轭复数为，故D正确.4.已知向量，，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合数量积的坐标运算，根据数量积的几何意义可得.解答过程：因为，，所以，所以在方向上的投影为．5.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：．6.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由得．因为，所以，得．7.某游艇从A地出发向北航行了一段距离到达B地，然后从B地向东偏南60°方向航行了40km到达C地，且C地在A地北偏东20°方向上，则A地与C地之间的距离为（取）（）A.30km B.50km C.60km D.80km答案：C解析：解答过程：如图，由题意得．由，得．8.函数的图象经过点，且的最小值为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由点坐标可得，且，分别为函数的图象上最高点和最低点及的最小值可得.解答过程：由，得．因为，且的最小值为，且点为最高点，为最低点，如图:所以，得，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知奇函数在上单调递减，且，则的值可能为（）A. B. C. D.答案：BC解析：解答过程：由题意得，因为在上单调递减，所以，得，故BC正确.10.已知点，向量，且是直角三角形，则的值可能为（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：以分别为直角时，再用向量的数量积计算可得.解答过程：因为，所以，．当为直角时，则，得；当为直角时，则，得．当为直角时，，不符合题意．11.已知的内角的对边分别为，且，为线段上的一点，则下列结论正确的是（）A.B.的周长为C.若为的中线，则D.若为的角平分线，则答案：ABD解析：解答过程：因为，所以，A正确．由，得．由余弦定理，得，所以的周长为，B正确．，得，C错误．由，得，得，D正确三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某企业8名员工的年收入（单位：万元）分别为5.2，6，6.4，7.5，8，8.3，9，10，则这组数据的第25百分位数为______万元．答案：6.2解析：解答过程：因为，所以这组数据的第25百分位数为万元．13.已知，则的值为______．答案：解析：思路：根据三角函数的基本关系式和倍角公式，代入即可求解.解答过程：因为，所以．14.若向量满足，，则与夹角的余弦值为______．答案：解析：解答过程：设与的夹角为，由得两式相加得＝1，则，则，得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求△ABC外接圆的面积；（2）若，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，进而求出面积；（2）利用余弦定理求出，再用三角形面积公式求解.（1）设外接圆的半径为R，由正弦定理，得，所以外接圆的面积为．（2）由余弦定理，得，得（负根舍去）．故的面积为．16.已知复数．（1）若为实数，求m的值；（2）若为纯虚数，求；（3）证明：在复平面内对应的点位于第四象限．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）根据实数的定义即可求解；（2）根据纯虚数的定义即可求解；（3）根据复数的几何意义即可证明.（1），因为为实数，所以，得．（2）因为为纯虚数，所以解得．故．（3）．因为，所以在复平面内对应的点位于第四象限．17.已知函数．（1）求在上的值域；（2）已知，且，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先由辅助角公式将函数化为一个角的三角函数，再由正弦函数的性质可得；（2）根据所给函数值得，再由同角三角函数关系式及两角和的余弦公式可得.（1）因为．由，得，则，得．故在上的值域为．（2）由，得．由，得，所以，故．18.如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点均在圆O上，E为边BC的中点．（1）用表示．（2）求．（3）若P为圆O上的一个动点，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案：（1），（2）（3）是定值，解析：思路：（1）利用向量的线性运算进行表示；（2）由（1）及向量的数量积的运算律和定义求解；（3）在圆O上任取点P，得，，再由得到为定值.（1）．．（2）．（3）如图，在圆O上任取点P，连接AP，BP，CP，DP，OP，BO，CO，DO，易得．因为，所以．同理可得．因为，所以.19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求a．（2）已知．（i）证明：．（ii）求的最大值．答案：（1）a＝2（2）（i）证明见解析；（ii）解析：思路：（1）利用正弦定理角化边，求解即可；（2）（i）证明：利用两角和正弦公式，二倍角公式以及同角三角函数的基本关系变