高中数学 加练 专题8　第86练　阿波罗尼斯圆与蒙日圆

第86练阿波罗尼斯圆与蒙日圆(分值：32分)1.“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Cλ2+1λ22.在椭圆x2a2+y2b2=1(a(1)设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.性质1PA⊥PB.性质2kOP·kAB=-b2性质3kOA·kPA=-b2a2，kOB·kPB=-b2性质4PO平分椭圆的切点弦AB.性质5延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.性质6S△AOB的最大值为ab2，S△AOB的最小值为a性质7S△APB的最大值为a4a2+b2，(2)蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广①双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2-b2(只有当②抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x=-p2(可以看作半径无穷大的圆)一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.在圆(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆x23+y2=1的两条互相垂直的切线，则r的取值范围是 (A.(3，7) B.[3，7] C.(1，9) D.[1，9]答案B解析根据蒙日圆的定义得椭圆x23+y2=1的蒙日圆方程为x2+y2其圆心为(0，0)，半径为2，依题意，点P在圆x2+y2=4上，又点P在圆(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)上，且其圆心为(3，4)，所以|2-r|≤(3-0)2+(4-0)即|2-r|≤5≤2+r，所以r的取值范围是[3，7].2.已知在平面直角坐标系中，圆O：x2+y2=1，点A-12，0和点B0，12，M为圆O上的动点，则2|MA|-|A.52 B.172 C.32答案B解析设点M(x，y)，令2|MA|=|MC|，则|MA||MC|=1由题知圆x2+y2=1是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，且λ=12设点C(m，n)，则|MA||MC|=x+1整理得x2+y2+2m+43x+2n比较两方程可得2m+43=0，2n3=0，m2+n2-13=1，即m=-2当点M位于图中M1的位置时，2|MA|-|MB|=|M1C|-|M1B|，此时取得最大值，最大值为|BC|=1723.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：x2+y2a=1(a>1)上的两个动点，动点P在直线3x+4y-10=0上，若∠APB∈0，π2恒成立，则A.0，6C.13，答案A解析根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为x2+y2=a+1，其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，因此当直线3x+4y-10=0与圆x2+y2=a+1相离时，∠APB∈0，由a+1<|0+0-10|32所以离心率e=1-1a∈即E的离心率的取值范围为0，二、多项选择题(每小题6分，共12分)4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，F2(2，0)，其短轴上的一个端点到F2的距离为3，点A在椭圆上，直线l：bx+ay-a2-bA.直线l与蒙日圆相切B.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=2C.若点P是椭圆C的蒙日圆上的动点，过点P作椭圆C的两条切线l1，l2，分别交蒙日圆于M，N两点，则MN的长恒为4D.记点A到直线l的距离为d，则d-|AF2|的最小值为2+2答案AC解析由题意知椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2.又由题意可得c=2，c2+b结合a2=b2+c2，解得a=3，b=1.对于A，蒙日圆圆心到直线l的距离d=a2+b所以直线l与蒙日圆相切，故A正确；对于B，椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=4，故B错误；对于C，由题意可知，l1⊥l2，所以MN为蒙日圆的直径，|MN|=4，故C正确；对于D，由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|=23，所以d-|AF2|=d+|AF1|-23，直线l的方程为x+3y-4=0，点F1到直线l的距离d1=4+2所以d-|AF2|=d+|AF1|-23≥d1-23=4+2当且仅当AF1⊥l且点A在F1与直线l之间时，等号成立，故D错误.5.若椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圆为C：x2+y2=32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A.椭圆Γ的离心率为2B.△MPQ面积的最大值为32aC.M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2-2)aD.若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2=-1答案ABD解析由蒙日圆的定义可知a2+b2=32a2得a2=2b2，所以椭圆Γ的离心率e=ca=1-b2a2因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ=90°，所以PQ为圆C的直径，所以|PQ|=2×32a2=所以△MPQ面积的最大值为12|PQ|×32a2=6a2×32a设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F(-c，0)，因为c2=a2-b2=12a2所以|MF|2=(x0+c)2+y02=x02+y02+2x0c+c2=32a2+2x0×22a+12a又-62a≤x0≤62所以(2-3)a2≤|MF|2≤(2+3)a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为(6-2由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(-x1，-y1)，k1=y1-y2x1又x122b2+所以y12-y22x所以k1k2=-12，故D正确三、填空题(共5分)6.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系Oxy中，A(-2，1)，B(-2，-2)，点P是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E：y2=8x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则|PA|+|PQ|+|QH|的最小值为答案(x+2)2+(y-2)2=417-2解析设P(x，y)，已知A(-2，1)，B(-2，-2)，则|PA||PB|=(x+2化简整理得(x+2)2+(y-2)2=4，所以点P的轨迹为以(-2，2)为圆心，2为半径的圆.抛物线E：y2=8x的焦点为F