2025~2026学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一下册学业质量检测（二）数学试题【含答案】

/数学满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ部分选择题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. D.2.若向量，则下列正确的是（）A. B. C. D.3.的值为（）A.1 B.0 C. D.4.如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，已知轴，轴且，则的周长为（）A. B.C. D.5.在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A.1 B.2 C.1或2 D.6.已知，则的值为（）A. B. C. D.7.三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（）A. B. C. D.8.已知在中，，设，记的最大值为，则的最小值为（）A. B.2 C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（）A. B.复数在复平面内对应的点位于第一象限C. D.为纯虚数10.已知点，，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若，的夹角为锐角，则且11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，，，的中点，则（）A.与为异面直线B.与所成的角为C.平面截该正方体所得的截面形状为矩形D.三棱锥是鳖臑，即四个面均为直角三角形第Ⅱ部分非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，，则的坐标为__________．13.已知，分别为第一、第三象限角，且，则_____.14.已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求．16.已知为虚数单位，复数．（1）若复数满足，求的虚部；（2）设复数（），若复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围．17.如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.18.已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.19.在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．（1）已知，求；（2）①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；②在中，且，若，求．

数学满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ部分选择题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解.解答过程：由复数，则.故选：A.2.若向量，则下列正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由向量不能比较大小可判断A；由向量坐标可知，可判断BC；根据向量垂直的坐标表示可判断D.解答过程：对于A，向量不能比较大小，A错误；对于BC，由题知，B错误，C正确；对于D，因为，所以不垂直，D错误.故选：C3.的值为（）A.1 B.0 C. D.答案：C解析：思路：利用诱导公式及两角差的正弦公式计算可得.解答过程：.故选：C4.如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，已知轴，轴且，则的周长为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由斜二测画法还原原图即可求解解答过程：因为轴，轴且，由题意得，，且，则，则的周长为.故选：A.5.在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A.1 B.2 C.1或2 D.答案：A解析：解答过程：由余弦定理得，化简得，解出或2，当时，为钝角三角形符合题意，当时，为直角三角形不符合题意.6.已知，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，解得，所以.7.三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值.解答过程：按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分；（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；综上，可以为、、、部分，不能为部分，故选：B.8.已知在中，，设，记的最大值为，则的最小值为（）A. B.2 C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用正弦定理、辅助角公式，结合正弦函数的性质求出，再求出最小值.解答过程：在中，令内角所对边分别为，由正弦定理得，则而，则，由，得，锐角由确定，又，则，因此当时，取得最大值，即，显然函数在上单调递增，所以.故选：B方法提示：结论点睛：，其中.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（）A. B.复数在复平面内对应的点位于第一象限C. D.为纯虚数答案：ABD解析：思路：由复数除法化简复数，进而求模判断A；由共轭复数的定义及对应点坐标判断B；再由复数的性质判断C、D.解答过程：，则，故A正确；，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确；为纯虚数，不能比较大小，故C错误，D正确.故选：ABD10.已知点，，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若，的夹角为锐角，则且答案：AC解析：思路：根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.解答过程：因为，，，所以，，选项A：，所以A正确；选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误；选项C：因为，所以，所以，所以C正确；选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得

，所以D错误.故选：AC11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，，，的中点，则（）A.与为异面直线B.与所成的角为C.平面截该正方体所得的截面形状为矩形D.三棱锥是鳖臑，即四个面均为直角三角形答案：ABD解析：思路：由与是异面直线可判断A；取的中点为，与所成的角即为与所成的角，即或其补角，求得可判断B；分别取，的中点为，，可得平面截该正方体所得截面即为六边形可判断C；求出四个面均为直角三角形可判断D.解答过程：对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确；对于B，取的中点为，连接，，如下图所示：由正方体性质可知，又，所以，因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角，易知，，，满足，即，所以，因此与所成的角为，即B正确；对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如下图所示：易知，，，即可知M，G，N，P，R，F在同一平面内，所以平面截该正方体所得截面即为六边形，又，所以截面形状为正六边形，即C错误；对于D，，，，因为，所以，即，因为，所以平面，平面，所以，且，，所以，所以四个面均为直角三角形，故D正确.第Ⅱ部分非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，，则的坐标为__________．答案：解析：解答过程：．13.已知，分别为第一、第三象限角，且，则_____.答案：解析：思路：先由，结合同角三角函数关系可得，，，，即可求解.解答过程：因，得，又，得，即，因为第一象限角，故，，同理：，得，又，得，即，因为第三象限角，故，，所以，故答案为：14.已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________.答案：解析：思路：分析可知，作出图形，设，，利用余弦定理求出的值，对点的位置进行分类讨论，求出的值，利用余弦定理结合基本不等式可求出的取值范围，再利用平面向量数量积的定义可求得的取值范围.解答过程：在等腰中，，则，若，则，矛盾；若，则，合乎题意.由于余弦定理可得，设，，当点在优弧（不包括点、）上运动时，，则，由余弦定理可得，所以，，当且仅当点与点重合时，等号成立，又因为，此时，，此时，；当点与点或点重合时，；当点在劣弧（不包括点、）上运动时，，此时，，由余弦定理可得，即，当且仅当点为劣弧的中点时，等号成立，又因为，则，此时，.综上所述，的取值范围是.故答案为：.方法提示：方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由余弦定理求解即可；（2）由正弦定理求解即可.（1）由余弦定理，，∵，∴.（2）由正弦定理，，由第（1）问，，∴.16.已知为虚数单位，复数．（1）若复数满足，求的虚部；（2）设复数（），若复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设，根据复数相等可得答案；（2）求出，根据复平面内表示复数的点位于第二象限可得答案．（1）设，则由可得，整理得，所以，解得，，所以的虚部为；（2），因为复平面内表示复数的点位于第二象限，所以，即的取值范围为．17.如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先证明，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）通过平移得到或其补角就是异面直线与所成的角，利用余弦定理即可求出其余弦值.（1）若分别为，的中点，，，且，四边形为平行四边形，，又平面，不在平面内，平面；（2）取中点，连接AE，AF，BG，FG，，四边形为正方形，且，四边形是平行四边形，又且，四边形是平行四边形，，，或其补角就是异面直线与所成的角.在中，，，，由余弦定理，，故异面直线与所成角的余弦值为.18.已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用两角和的正弦展开式化简可得答案；（2）转化为，令，利用二次函数的单调性可得答案.（1）当时，，则，当且仅当时，函数的最小值为；（2），整理得，即，，，可得，即求，令，令，函数在上递减，在上单调递增，当时，，当时，，当时，，则，则，则.所以实数的取值范围为.19.在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．（